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文檔簡介

§3

基本不等式3.1

基本不等式1.理解兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們之積的二倍的不等式的證明；2.理解基本不等式的證明以及它的幾何解釋.要做一段周長為200米的的柵欄，如何使其面積最大？

兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)

兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們正的等比中項(xiàng)[答案]

C[答案]

D3．不等式a2＋4≥4a中等號(hào)成立的條件是(

)A．a(chǎn)＝±2

B．a(chǎn)＝2C．a(chǎn)＝－2

D．a(chǎn)＝4[答案]

B[解析]

因?yàn)閍2－4a＋4＝(a－2)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時(shí)取“＝”，所以a＝2.探究：△ABC是直角三角形，CD為斜邊AB上的高。你能從射影的角度來考察AC與AD，BC與BD等的關(guān)系。你能發(fā)現(xiàn)這些線段之間的某些關(guān)系嗎？ABDC∽∽∽射影定理直角三角形斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。ABDC用勾股定理能證明嗎?∵AB2=AC2+BC2∴(AD+BD)2=AC2+BC2即2AD·BD=AC2-AD2+BC2-BD2∵AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2∴2AD·BD=2CD2∴CD2=AD·BD而AC2=AD2+CD2=AD2+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·AB同理可證得BC2=BD·ABAOCBD對(duì)于基本不等式，用文字語言可敘述為：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．從幾何的角度可敘述為：圓的半徑不小于弦長的一半．從數(shù)列的角度可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們正的等比中項(xiàng)．幾何平均數(shù)的解釋：對(duì)于正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)，我們可以有以下兩種解釋：另外，我們可以把兩個(gè)正數(shù)a,b看成是兩條線段的長度，并以它們?yōu)檫呑饕婚L方形，如圖1，如果我們想作一正方形，使它的面積等于這個(gè)長方形的面積，那么它的邊長就是和b的幾何平均數(shù)，如圖2.b圖1圖2

D

Ｅ

AOCB

A

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