35角動(dòng)量的本征值和本征態(tài)課件

§3.5角動(dòng)量的本征值和本征態(tài)

本節(jié)討論一般的角動(dòng)量的本征值和本征態(tài)，并給出角動(dòng)量算符矩陣表示的矩陣元。一、對(duì)易關(guān)系和本征態(tài)角動(dòng)量算符的基本對(duì)易關(guān)系為這里Ji是繞i軸無(wú)窮小角轉(zhuǎn)動(dòng)的生成元。定義角動(dòng)量的平方算符由角動(dòng)量算符的基本對(duì)易關(guān)系可知J2與任何Ji對(duì)易。由于不同Ji不對(duì)易,只能選擇某個(gè)Ji與J2的共同本征態(tài)為基,通常選J2與Jz的共同本征態(tài)。若用|a,b>標(biāo)記該本征態(tài)，則有J2|a,b>=a|a,b>，Jz|a,b>=b|a,b>。二、階梯算符定義:J±=Jx±iJy,稱(chēng)為階梯算符，或角動(dòng)量的升(降)算符，是以前講過(guò)的自旋升降算符在一般角動(dòng)量情形的推廣。J±是非厄米的。容易證明：由于

J±|a,b>也是Jz的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)于本征值。

既J±作用于Jz的本征態(tài)結(jié)果仍為Jz的本征態(tài)，但相應(yīng)本征值增加。又由于J±與J2對(duì)易,J±不改變J2的本征值.

即：J±|a,b>=c±|a,b>

，c±由歸一化條件確定。三、J2與Jz的本征值由于，Jx、Jy是厄米算符，其任意態(tài)的期望值為實(shí)數(shù)，故a-b2≥0對(duì)給定a,b有上限bmax和下限bmin,且J+|a,bmax>=0,J-|a,bmin>=0.由

得；類(lèi)似有bmin=-bmax由bmin和bmax的唯一性知，J+作用于|a,bmin>有限次數(shù)應(yīng)能達(dá)到|a,bmax>，故記Jz的最大本征值為，則j=n/2為整數(shù)或半整數(shù)，而J2的本征值為。Jz的本征值一般為，其中-j≤m≤j，共有2j+1個(gè)可能值-j，-j+1…，j-1，j。改記|a,b>為|j,m>，則上述推導(dǎo)只用了角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系，即角動(dòng)量的量子化源于轉(zhuǎn)動(dòng)和角動(dòng)量作為轉(zhuǎn)動(dòng)生成元的基本性質(zhì)。四、角動(dòng)量算符的矩陣元取|j,m>為歸一化的，則因而故取c±為實(shí)數(shù)，有：類(lèi)似地J±的矩陣元為而由Jx=(J++J-)/2，Jy=(J+-J-)/2i可定出Jx和Jy的矩陣元(Ji不改變j)

五、轉(zhuǎn)動(dòng)算符的表示對(duì)繞轉(zhuǎn)Φ角的轉(zhuǎn)動(dòng)R，轉(zhuǎn)動(dòng)算符的矩陣元為

(D在不同j之間的矩陣元為零)這些矩陣元有時(shí)稱(chēng)Wigner函數(shù)。由形成的(2j+1)x(2j+1)矩陣稱(chēng)為D(R)的(2j+1)維的不可約表示。即對(duì)一般的轉(zhuǎn)動(dòng)，D可按不同j而成分塊對(duì)角化形式，且每一塊不可用任何基而進(jìn)一步劃分為更小的塊對(duì)角化形式，即D(R)=,六、轉(zhuǎn)動(dòng)算符表示的一般性質(zhì)1.由任一確定j所表征的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣形成一個(gè)群

a)有單位矩陣（無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)），b)逆（繞同軸轉(zhuǎn)-Φ角），c)乘積也是成員，其中乘積R1R2表示單一轉(zhuǎn)動(dòng)；d)結(jié)合律也滿足。2.幺正性：3.是|jm>經(jīng)R轉(zhuǎn)動(dòng)后在|jm’>態(tài)中找到的幾率振幅:

七、Euler轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)算符矩陣表示對(duì)用Euler角表征的轉(zhuǎn)動(dòng)，有可見(jiàn)只要求出則可得到例如對(duì)j=1/2,對(duì)j=1，d(1)是3x3矩陣.利用Jy=(J+-J-)/2i及J±的矩陣元可知：可以驗(yàn)證：利用級(jí)數(shù)展開(kāi)，可知從而得到類(lèi)似方法可給出d(j>1)(β)，只是過(guò)程比較復(fù)雜。簡(jiǎn)便獲得d(j)的方法將在下次課介紹?！?.6軌道角動(dòng)量

經(jīng)典物理中，粒子的軌道角動(dòng)量為L(zhǎng)=x×p。量子化后，根據(jù)位置與動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系，容易驗(yàn)證L滿足角動(dòng)量的基本對(duì)易關(guān)系:即軌道角動(dòng)量是一類(lèi)角動(dòng)量。其實(shí)，不考慮內(nèi)稟（自旋）角動(dòng)量時(shí)，粒子的角動(dòng)量J即與軌道角動(dòng)量L=x×p相同。此外，將作用于|x’y’z’>，有正是繞z軸無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果。即若p是平移的生成元，則L是轉(zhuǎn)動(dòng)的生成元。一、坐標(biāo)空間中的軌道角動(dòng)量對(duì)無(wú)自旋粒子的任意態(tài)|α>，其波函數(shù)為<x’y’z’|α>。繞z軸轉(zhuǎn)無(wú)窮小角δΦ后，其波函數(shù)為用球坐標(biāo)：即或在坐標(biāo)空間與直接用Lz=xpy-ypx

結(jié)果相同；利用球坐標(biāo)推導(dǎo)更容易看出Lz作為轉(zhuǎn)動(dòng)生成元的作用。由利用球坐標(biāo)可得類(lèi)似可得再由，得方括號(hào)中微分算符與拉普拉斯算符在球坐標(biāo)表示的角度部分僅差一因子1/r2(即軌道角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)部分的動(dòng)能相聯(lián)系)二、球諧函數(shù)無(wú)自旋粒子受球?qū)ΨQ(chēng)勢(shì)作用,波動(dòng)方程在球坐標(biāo)下可分離變量,能量本征函數(shù)可寫(xiě)為n是徑向量子數(shù)，l、m為軌道和磁量子數(shù)。由于球?qū)ΨQ(chēng)，H與L2及Lz對(duì)易，能量本征態(tài)也可同時(shí)是L2和Lz的本征態(tài)，L2的本征值為，Lz的本征值為角度部分對(duì)所有球?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題都是共同的，應(yīng)單獨(dú)考慮:

是方向本征態(tài)矢。由此可稱(chēng)是在由θΦ確定的方向找到由l,m標(biāo)記的態(tài)的幾率振幅。三、球諧函數(shù)的求解由軌道角動(dòng)量本征矢的相關(guān)關(guān)系，可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的關(guān)于球諧函數(shù)的關(guān)系。如

故依賴于Φ的部分為exp(imΦ)(波函數(shù)單值:m必為整數(shù))又由知?dú)w一化條件：

此外，可得：θ部分為sinθ**|m|*(cosθ的l-|m|階多項(xiàng)式）規(guī)定：l必須為整數(shù):是波函數(shù)單值、非奇異、Ylm構(gòu)成完備集等基本性質(zhì)的要求(m≥0)四、球諧函數(shù)與轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣設(shè)