高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新人教A)12.2總體期望值和方差的估計(jì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精12.2總體期望值和方差的估計(jì)●知識(shí)梳理1.平均數(shù)的計(jì)算方法（1）如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn,那么=（x1+x2+…+xn）叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，讀作“x拔”。(2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1，x2,…,xn的各個(gè)數(shù)值較大時(shí),可將各數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a,得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a,那么，=+a.(3）加權(quán)平均數(shù)：如果在n個(gè)數(shù)據(jù)中,x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，…，xk出現(xiàn)fk次（f1+f2+…+fk=n），那么=。2.方差的計(jì)算方法（1)對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1,x2,…，xn，s2=［（x1－）2+(x2－)2+…+（xn－)2］叫做這組數(shù)據(jù)的方差,而s叫做標(biāo)準(zhǔn)差.(2)公式s2=［（x12+x22+…+xn2)－n2］.（3）當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中的各數(shù)較大時(shí)，可以將各數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a.則s2=[（x1′2+x2′2+…+xn′2)－n］。3?？傮w平均值和方差的估計(jì)人類的長期實(shí)踐和理論研究都充分證明了用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體平均值，用樣本方差估計(jì)總體方差是可行的，而且樣本容量越大,估計(jì)就越準(zhǔn)確.●點(diǎn)擊雙基1。描述總體離散型程度或穩(wěn)定性的特征數(shù)是總體方差,以下統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體穩(wěn)定性的是A。樣本均值 B.樣本方差C.樣本最大值 D。樣本最小值解析：統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想是用樣本來估計(jì)總體。因此選B。答案：B2。甲、乙兩人在相同的條件下，射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：甲：8，6，9，5，10，7，4，8，9，5；乙：7,6，5，8，6，9，6,8,7，7。根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)兩人的技術(shù)穩(wěn)定性，結(jié)論是A.甲優(yōu)于乙 B。乙優(yōu)于甲C。兩人沒區(qū)別 D。兩人區(qū)別不大解析:x甲=（8+6+…+5）=7。1，x乙=(7+6+…+7）=6。9.s甲2=[（8－7。1）2+…+（5－7.1)2］=3。69，s乙2=［（7－6.9）2+…+（7－6。9）2]=1.29.∴乙優(yōu)于甲。答案：B3。樣本a1，a2，a3，…，a10的平均數(shù)為,樣本b1，b2,b3，…，b10的平均數(shù)為，那么樣本a1，b1，a2,b2，…,a10，b10的平均數(shù)為A.+ B。（+)C。2（+） D.（+）答案：B4.電池廠從某日生產(chǎn)的電池中抽取10個(gè)進(jìn)行壽命測(cè)試，得到數(shù)據(jù)如下（單位：h）：30，35，25，25，30，34，26,25，29，21。則該電池的平均壽命估計(jì)為___________，方差估計(jì)為___________.解析：=（30+35+25+25+30+34+26+25+29+21）=（0+5－5－5+0+4－4－5－1－9)+30=28,26－28）2+（25－28）2+（29－28）2+（21－28）2]=(4+49+9+9+4+36+4+9+1+49）=17.4。答案：2817。4●典例剖析【例1】是x1，x2，…，x100的平均數(shù)，a是x1,x2，…，x40的平均數(shù),b是x41，x42，…，x100的平均數(shù)，則下列各式正確的是A。= B。=C.=a+b D.=剖析：這100個(gè)數(shù)的平均數(shù)是a+b還是（a+b），這都很容易讓人誤解.我們可以從概率及加權(quán)平均數(shù)的角度來思考.設(shè)Pi是x1,x2,…，x100中xi被抽到的概率，qi是x1，x2，…,x40中xi被抽到的概率，ri是x41，x42，…，x100中xi被抽到的概率，則Pi=qi，Pi=ri。故x1，x2，…，x100的平均數(shù)=（x1q1+x2q2+…+x40q40)+（x41r41+…+x100r100）=a+b。答案:A評(píng)述：除上述解法外，你還有其他解法嗎?特別提示除了上述方法外，我們還可以先分別求出x1+x2+…+x40=40a，x41+x42+…+x100=60b，再求?！纠?】甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤恚▎挝唬涵h(huán)）甲108999乙1010799如果甲、乙兩人只有1人入選，則入選的應(yīng)是___________。剖析：判斷誰入選，首先應(yīng)考慮選手的成績是否穩(wěn)定.因此分別求其方差.甲的平均數(shù)為1=（10+8+9+9+9)=9，乙的平均數(shù)為2=（10+10+7+9+9）=9，甲的方差為s甲=（10－9）2×+(8－9）2×=,乙的方差為s乙=（10－9）2××2+（7－9）2×=.s乙＞s甲，說明乙的波動(dòng)性大，故甲入選.答案：甲評(píng)述：方差的大小可看出成績的穩(wěn)定性，平均數(shù)的大小可看出成績的高低.【例3】某班40人隨機(jī)分為兩組，第一組18人，第二組22人，兩組學(xué)生在某次數(shù)學(xué)檢測(cè)中的成績?nèi)缦卤恚悍纸M平均成績標(biāo)準(zhǔn)差第一組906第二組804求全班的平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差.剖析:代入方差公式s2=［（x12+x22+…+xn2）－n2］即可求得.解:設(shè)全班的平均成績?yōu)?，全班成績的方差為s2，則s12=［（x12+x22+…+x182)－18×902]=36，s22=[（x192+x202+…+x402）－22×802］=16.∴=（90×18+80×22）==84.5，s2=[（x12+x22+…+x182）+（x192+x202+…+x402）－40·2］=[18×（36+8100)+22×（16+6400）－40×]=（146448+141152－10×1692)=×1990=49.75.∴s=≈7.05。評(píng)述：平均成績應(yīng)為總成績除以總?cè)藬?shù),而總成績可由每組成績之和求得.【例4】已知c為常數(shù)，s2=［（x1－)2+（x2－）2+…+（xn－）2］，sc2=[（x1－c)2+（x2－c）2+…+（xn－c）2］。證明:s2≤sc2,當(dāng)且僅當(dāng)c=時(shí)，取“=”.剖析：證明sc2≥s2，可證明sc2－s2≥0。因此應(yīng)用方差公式進(jìn)行變形即可。證明：∵s2=［（x1－）2+…+（xn－)2］=［（x12+x22+…+xn2）－n2］，sc2=［（x1－c）2+（x2－c）2+…+（xn－c）2]=［（x12+x22+…+xn2）－2c(x1+x2+…+xn)+nc2],∴sc2－s2=2－(x1+x2+…+xn）+c2=2－2c·+c2=（－c)2≥0?！鄐c2≥s2，當(dāng)且僅當(dāng)=c時(shí)取“="。評(píng)述:作差是比較大小的常用手段.●闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.一組數(shù)據(jù)的方差為s2，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都乘以2，所得到的一組新數(shù)據(jù)的方差是A.s2 B.2s2 C.4s2 D。s2解析：由方差公式易求得新數(shù)據(jù)的方差為4s2。答案：C2.某班有48名學(xué)生,在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分為70分，方差為75，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績有誤，甲實(shí)得80分卻記為50分，乙實(shí)得70分卻記為100分，更正后平均分和方差分別是A。70，25 B。70，50C。70，1。04 D。65,25解析：易得沒有改變,=70,而s2=[（x12+x22+…+502+1002+…+x482）－482］=75，s′2=［（x12+x22+…+802+702+…+x482)－482］=［（75×48+482－12500+11300）－482］=75－=75－25=50.答案：B3。甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位:t/hm2）:品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910。11010。2乙9。410.310.89.79。8其中產(chǎn)品比較穩(wěn)定的小麥品種是_______.解析:甲=(9.8+9。9+10.1+10+10。2）=10，乙=（9.4+10。3+10.8+9。7+9.8）=10,s甲2=［（9.8－10)2+(9。9－10）2+（10。1－10）2+（10－10）2+(10.2－10）2］=0。02，s乙2=［（9。4－10）2+（10.3－10)2+（10。8－10）2+（9。7－10）2+（9。8－10）2］=0.244.所以，甲比乙穩(wěn)定.答案：甲4.為了科學(xué)地比較考試的成績，有些選拔性考試常常會(huì)將考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分,轉(zhuǎn)化關(guān)系式為Z=（其中x是某位學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)，是該次考試的平均分，s是該次考試的標(biāo)準(zhǔn)差，Z稱為這位學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)分）.轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分后可能出現(xiàn)小數(shù)和負(fù)值，因此,又常常再將Z分?jǐn)?shù)作線性變換轉(zhuǎn)化成其他分?jǐn)?shù).例如某次學(xué)生選拔考試采用的是T分?jǐn)?shù)，線性變換公式是T=40Z+60.已知在這次考試中某位考生的考試分?jǐn)?shù)是85分，這次考試的平均分是70分，標(biāo)準(zhǔn)差是25，則該考生的T分?jǐn)?shù)為___________。解析:由已知Z==，∴T=40×+60=24+60=84.故考生成績的T分?jǐn)?shù)為84.答案:845。已知兩家工廠,一年四季上繳利稅情況如下（單位：萬元）:季度一二三四甲廠70508040乙廠55655565試分析兩廠上繳利稅的情況。解：甲、乙兩廠上繳利稅的季平均值分別為甲=(70+50+80+40)=60，乙=（55+65+55+65）=60；甲、乙兩廠上繳利稅的方差為s甲2=[（70－60)2+（50－60）2+（80－60）2+（40－60）2]=250，s乙2=［（55－60）2+（65－60)2+（55－60）2+（65－60）2］=25。經(jīng)上述結(jié)果分析,兩廠上繳利稅的季平均值相同,但甲廠比乙廠波動(dòng)大，導(dǎo)致它們生產(chǎn)出現(xiàn)的差異大，乙廠不同季節(jié)的繳稅量比較接近平均值，生產(chǎn)穩(wěn)定，而甲廠不穩(wěn)定。培養(yǎng)能力6。某校從甲、乙兩名優(yōu)秀選手中選拔1名參加全市中學(xué)生百米比賽,該校預(yù)先對(duì)這兩名選手測(cè)試了8次,成績?nèi)缦卤?選手成績(s）12345678甲12。112.21312。513。112.512.412.2乙1212。412.81312。212。812.312。5根據(jù)成績，請(qǐng)你作出判斷，派哪位選手參加更好,為什么?解：甲=12.4=乙,s甲2=0。12,s乙2≈0.10,∴甲、乙兩人的平均成績相等,但乙的成績較穩(wěn)定，應(yīng)派乙選手參加比賽.7。某農(nóng)場(chǎng)為了從三種不同的西紅柿品種中選取高產(chǎn)穩(wěn)定的西紅柿品種,分別在五塊試驗(yàn)田上試種,每塊試驗(yàn)田均為0.5公頃，產(chǎn)量情況如下：品種產(chǎn)量（kg）12345121.520.422.021.219.9221。318。918。921.419。8317。823.321.419.120。9問：哪一品種的西紅柿既高產(chǎn)又穩(wěn)定？解：1=（21。5+20.4+…+19。9）=21，2=（21.3+18。9+…+19。8)=21，3=(17。8+23。3+…+20。9）=20。5，s1=0.756,s2=1.104,s3=1.901.由1=2〉3,而s1<s2<s3，說明第1種西紅柿品種既高產(chǎn)又穩(wěn)定。8.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床在相同的條件下同時(shí)生產(chǎn)一種零件，現(xiàn)在從中各抽測(cè)10個(gè)，它們的尺寸分別為(單位：mm）：甲：10.210.110。98。99。910。39.7109。910。1乙：10。310.49。69.910.1109。89。710。210分別計(jì)算上面兩個(gè)樣本的平均數(shù)與方差，如果圖紙上的設(shè)計(jì)尺寸為10mm，從計(jì)算結(jié)果看，用哪臺(tái)機(jī)床加工這種零件較合適?解：甲=（10。2+10.1+…+10。1）=10,乙=（10.3+10.4+…+10）=10，s甲2=［（10.2－10)2+（10.1－10）2+…+（10。1－10）2］=0.03，s乙2=［（10.3－10)2+(10。4－10)2+…+（10－10)2］=0.06。由上述結(jié)果分析,甲臺(tái)機(jī)床加工這種零件穩(wěn)定，較合適。探究創(chuàng)新9。有一個(gè)容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[12。5,15.5）,6；［15。5，18。5)，16；［18.5，21.5），18；［21。5，24.5）,22；［24。5，27.5），20；[27。5,30。5），10；［30。5，33.5），8.(1）列出樣本的頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)數(shù)據(jù)小于30。5的概率.解：（1)樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率12。5~15。560。0615。5～18.5160。1618。5～21。5180。1821.5～24。5220.2224.5～27。5200。2027.5～30.5100。1030.5~33。580。08合計(jì)1001。00(2）頻率分布直方圖如下圖。(3）數(shù)據(jù)大于等于30。5的頻率是0。08,∴小于30。5的頻率是0。92.∴數(shù)據(jù)小于30。5的概率約為0。92.探究：解決總體分布估計(jì)問題的一般程序如下:（1）先確定分組的組數(shù)（最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差除組距得組數(shù)）；（2）分別計(jì)算各組的頻數(shù)及頻率（頻率=）；（3）畫出頻率分布直方圖，并作出相應(yīng)的估計(jì)。注意直方圖與條形圖的區(qū)別。●思悟小結(jié)1。用樣本估計(jì)總體，除在整體上用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布外，還可以用平均值和方差對(duì)總體進(jìn)行估計(jì),即用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)μ；用樣本方差s2去估計(jì)總體的方差σ2，進(jìn)一步對(duì)總體的分布作出判斷。2。進(jìn)行幾次實(shí)驗(yàn),得到樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn，設(shè)c是任意常數(shù)，k為任意的正數(shù),作變換yi=（xi－c）（i=1,2，…,n），則有:①=k+c；②sx2=k2sy2?！窠處熛螺d中心