探究絕對(duì)值函數(shù)最值的求法

探究絕對(duì)值函數(shù)最值的求法及應(yīng)用2011年陜西省理科高考試題第14題。題目是：植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為米。該題考查了求絕對(duì)值函數(shù)的最小值問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題。另外2009年上海高考有一道數(shù)學(xué)試題；其題目是：某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)絡(luò)格狀，相鄰街距都為1。兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn)。若以互相垂直一兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）為報(bào)刊零售點(diǎn)，請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn)（除零售點(diǎn)外）為發(fā)行站，使6個(gè)零售點(diǎn)沿街道發(fā)行站之同路程的和最短。該題也需要轉(zhuǎn)化為求絕對(duì)值函數(shù)的最小值問題。那么如何求這種多個(gè)絕對(duì)值和的函數(shù)的最小值問題呢？對(duì)此，筆者運(yùn)用以下方法進(jìn)行了探索研究，得出了解決這種問題的基本方法，以此與各位同仁商榷。利用函數(shù)圖象研究這類函數(shù)的值域，從而達(dá)到求函數(shù)的最值：由于含絕對(duì)值函數(shù)可以等價(jià)化為分段函數(shù)，因此運(yùn)用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值。例1求函數(shù)的最小值。解：由于函數(shù)，作出其圖象如右圖：由圖象可知其當(dāng)時(shí)，原絕對(duì)值函數(shù)的最小值為0。例2求函數(shù)的最小值。解：由于該函數(shù)，作出其圖象如右圖所示。則當(dāng)時(shí)，其函數(shù)的最小值為3：例3、求函數(shù)的最小值。解：由于該函數(shù)可化成分段函數(shù)，則=作出其圖象如右圖：結(jié)論1：對(duì)于函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值。證明如下：由于函數(shù)該函數(shù)等價(jià)于：，作出其圖象如右圖：從圖象可知，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最小值為。結(jié)論2：對(duì)于函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為。證明如下：由于函數(shù)該函數(shù)等價(jià)于該函數(shù)的圖象如右圖所示：由圖象中知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)該函數(shù)的最小值為。