2022-2023學(xué)年福建省福寧古五校聯(lián)合體高一下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省福寧古五校聯(lián)合體高一下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】由可得：.故選：B2．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，可得，因?yàn)?，可得，解?故選：C.3．，是兩個(gè)平面，，是兩條直線，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中，直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A：若，，則或，故A不正確；對(duì)于B：若，，則或，故B不正確；對(duì)于C：若，，，則或與異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，故D正確.故選：D.4．中，點(diǎn)M為邊AC上的點(diǎn)，且，若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量的基本定理結(jié)合圖形計(jì)算即可.【詳解】由題意易得：，故，故選：D5．已知正方形的邊長(zhǎng)為，按照斜二測(cè)畫(huà)法作出它的直觀圖，直觀圖面積為，則值為（

）A． B．2 C．1 D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，得出邊長(zhǎng)為的正方形的直觀圖，過(guò)作，求得，結(jié)合的面積為，列出方程，即可求解.【詳解】以為原點(diǎn)，以和所在的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（1）所示，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，得到邊長(zhǎng)為的正方形的直觀圖，如圖（2）所示，因?yàn)椋傻?，又因?yàn)?，過(guò)作，可得，由直觀圖的面積為，所以，解得.故選：B.6．在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量的數(shù)量積與模的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，由題意可得：，即，解之得.故選：A7．體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為380N，則該學(xué)生的體重（單位kg）約為（

）(參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為10m/s2，)A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積求得兩只胳膊的拉力的合力大小，再依據(jù)物理定理即可求得該學(xué)生的體重.【詳解】由物理定理可得，該學(xué)生的重力與兩只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反兩只胳膊的拉力的合力大小為則該學(xué)生的體重約為（kg）故選：B8．將邊長(zhǎng)為2的正方形紙片折成一個(gè)三棱錐，使三棱錐的四個(gè)面剛好可以組成該正方形紙片，若三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出三棱錐的直觀圖，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，可計(jì)算出該三棱錐的外接球的半徑，結(jié)合球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在邊長(zhǎng)為的正方形中，設(shè)、分別為、的中點(diǎn)，、、分別沿、、折起，使、、三點(diǎn)重合于點(diǎn)，滿足題意，如下圖所示：翻折前，，，翻折后，則由，，，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，其中，，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，，故該三棱錐的外接球的表面積為.故選：A二、多選題9．設(shè)向量，則（

）A． B．C．與的夾角為 D．在上的投影向量為【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示判斷模長(zhǎng)、共線、夾角、投影向量即可.【詳解】由得：，故A正確；而，即與不平行，故B錯(cuò)誤；，即，故C正確；在上的投影向量為，故D正確；故選：ACD10．已知，下列結(jié)論正確的為（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式和共軛復(fù)數(shù)的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)于A中，，，所以，所以A不正確；對(duì)于B中，由，可得，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由，所以，所以D正確.故選：CD.11．在中，，角所對(duì)的邊，下列結(jié)論正確的為（

）A．若，有一個(gè)解 B．若，無(wú)解C．若，有兩個(gè)解 D．若，有一個(gè)解【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由正弦定理求得，結(jié)合選項(xiàng)中的取值范圍，分類討論，即可求解.【詳解】因?yàn)榍?，由正弦定理，即，?dāng)時(shí)，可得，所以，此時(shí)有一個(gè)解，故A不正確；當(dāng)時(shí)，可得，不成立（舍去），此時(shí)無(wú)解，故B正確；當(dāng)時(shí)，即，則，由，此時(shí)有兩解，即有兩解，故C正確；當(dāng)，即，則，由，此時(shí)只有一解，故D正確.故選：BCD.12．在正方體中，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，直線與直線異面B．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值C．當(dāng)時(shí)，直線平面D．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值【答案】CD【分析】當(dāng)時(shí)，直線與直線平行否定選項(xiàng)A；當(dāng)，時(shí)的周長(zhǎng)與當(dāng)時(shí)的周長(zhǎng)不相等否定選項(xiàng)B；利用線面平行判定定理證明直線平面則選項(xiàng)C判斷正確；利用線面平行性質(zhì)定理證明三棱錐的體積為定值則選項(xiàng)C判斷正確.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)P在線段上，當(dāng)時(shí)，即，則，即.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)P在線段上，當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)不為定值.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)P在線段上，則平面即平面，由，平面，平面，可得平面，則直線平面.判斷正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)P在線段上，由，平面，平面，可得平面，則點(diǎn)P到平面的距離為定值，則三棱錐的體積為定值.判斷正確.故選：CD三、填空題13．已知點(diǎn)，，，若，則值為_(kāi)___．【答案】【分析】利用向量垂直的充要條件列關(guān)于的方程，解之即可求得的值.【詳解】，，，則，由可得，，則，解之得故答案為：14．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，且，則復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)________．【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)復(fù)數(shù)，由，列出方程，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的實(shí)部為，可設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)?，可得，可得，解?故答案為：.15．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.【答案】【詳解】由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長(zhǎng)為2.圓錐的底面周長(zhǎng)為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.16．如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)A，分別在軸的正半軸、軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，則的取值范圍為_(kāi)____．【答案】【分析】先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，則，則又，則，則，則，則的取值范圍為故答案為：四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，(1)若為純虛數(shù)，求的值；(2)若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的向量得復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的分類求得a的值；（2）計(jì)算，由其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列出不等式組，解不等式組得a的取值范圍.【詳解】（1）由題，則，由為純虛數(shù)得，，解得．（2），在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，則，即，解得．18．如圖，某中學(xué)在實(shí)施“五項(xiàng)管理”中，將學(xué)校的“五項(xiàng)管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學(xué)樓的頂部（如圖所示），該中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在山坡的坡腳A處測(cè)得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿該中學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測(cè)得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知．(1)分別求AE、BH的長(zhǎng)；(2)求宣傳牌CD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由及，可得BH，由及，可得AE；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，解三角形可得結(jié)果.【詳解】（1）由于所以，設(shè)，則，所以在中，所以（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為．則，又所以故宣傳牌CD的高度為19．如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面(2)過(guò)三點(diǎn)的一個(gè)平面，截三棱柱得到一個(gè)截面，畫(huà)出截面圖，說(shuō)明理由并求截面面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)截面圖見(jiàn)解析，截面面積為【分析】（1）設(shè)，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由三角形中位線性質(zhì)和平行關(guān)系的傳遞性可得，由此可確定截面即為四邊形，知其為等腰梯形，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系計(jì)算即可得到截面面積.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2）作圖過(guò)程：取中點(diǎn)，連接，則四邊形即為截面圖形.證明如下：是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，；，，四點(diǎn)共面，四邊形即為所求截面，此時(shí)四邊形為等腰梯形；，，，四邊形的高，四邊形的面積為.20．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求A；(2)若，三角形面積，求邊上的中線的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，化簡(jiǎn)可解；（2）先由三角形面積公式求出，再借助，可求的長(zhǎng)；或者利用余弦定理求的長(zhǎng).【詳解】（1）由正弦定理得，又，則，化簡(jiǎn)得．又，所以，則．因?yàn)?，所以．?）由得，法一：由得邊上的中線的長(zhǎng)為．法二：由余弦定理得：，由，得，解得，，即邊上的中線的長(zhǎng)為．21．如圖，在三棱臺(tái)中，，，，為線段中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，平面．(1)求證：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；(2)求三棱臺(tái)的表面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，設(shè)，由平面，證得，結(jié)合是的中點(diǎn)，得到點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）根據(jù)題意，先求得上下底面正三角形的面積分別和，再結(jié)合側(cè)面和側(cè)面均為直角梯形，求得面積為，由側(cè)面為等腰梯形，過(guò)點(diǎn)作，求得的長(zhǎng)，得到側(cè)面的面積為，即可求解.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接、，因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面，所以，又因?yàn)樗倪呅问钦叫?，且是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的中點(diǎn).（2）三棱臺(tái)中，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以也為等邊三角形，且，上底面為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為1，可得面積為，下底面為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為2，可得面積為，又因?yàn)?，所以?cè)面和側(cè)面均為直角梯形，且，其面積均為，側(cè)面為等腰梯形，其中，且,過(guò)點(diǎn)作，垂足為，可得，所以側(cè)面的面積為，所以三棱臺(tái)的表面積為.22．如圖，A，B是單位圓上的相異兩定點(diǎn)（為圓心），（），點(diǎn)C為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段AC交線段于點(diǎn)M（點(diǎn)M異于點(diǎn)、B），記的面積為．(1)記，求的表達(dá)式；(2)若①求的取值范圍；②設(shè)，記，求的最小值．【答