2022-2023學(xué)年廣東省江門市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省江門市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】求出共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)所對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)果.【詳解】，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，故選：A.2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解.【詳解】，故選：B.3．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的（）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖象向左平移.B．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖象向左平移.C．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖象向左平移.D．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖象向右平移.【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的平移和伸縮變換的規(guī)律求出即可.【詳解】為了得到函數(shù)的圖象，先把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍到函數(shù)y＝3sin2x的圖象，再把所得圖象所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝3sin（2x+）的圖象.故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．若平面四邊形ABCD滿足，則該四邊形一定是A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形【答案】C【詳解】試題分析：因?yàn)?所以四邊形ABCD為平行四邊形，又因?yàn)?所以BD垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.【解析】向量在證明菱形當(dāng)中的應(yīng)用.點(diǎn)評：在利用向量進(jìn)行證明時(shí)，要注意向量平行與直線平行的區(qū)別，向量平行兩條直線可能共線也可能平行.5．，，，且三點(diǎn)共線，則=（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】A【分析】由已知可求，由三點(diǎn)共線得,根據(jù)向量共線的定理即可求出的值.【詳解】由題得,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以,所以存在實(shí)數(shù),使得,所以,所以,解得.故選：A6．如圖，一個(gè)圓柱的底面半徑為，高為2，若它的兩個(gè)底面圓周均在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)勾股定理可得球的半徑，然后利用球的表面積公式，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，畫圖如下：則，，，故在中，，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查球的表面積，屬基礎(chǔ)題.7．在中，，．若點(diǎn)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，故選A．8．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ等于A． B． C．－1 D．－1【答案】C【分析】在ABC中，由正弦定理得AC＝100，再在ADC中，由正弦定理得解.【詳解】在ABC中，由正弦定理得，∴AC＝100．在ADC中，，∴cosθ＝sin(θ＋90°)＝.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解一個(gè)三角形需要已知三個(gè)幾何元素（邊和角），且至少有一個(gè)為邊長，對于未知的幾何元素，放到其它三角形中求解.二、多選題9．下面關(guān)于復(fù)數(shù)，正確的是（

）A． B． C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．的虛部為【答案】ABC【分析】化簡復(fù)數(shù)之后，即可逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的對錯(cuò)【詳解】因?yàn)樗怨蔄正確故B正確，故C正確的虛部為故D錯(cuò)誤故選：ABC10．某工廠生產(chǎn)出一種機(jī)械零件，如圖所示零件的幾何結(jié)構(gòu)為圓臺，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4cm，CD＝2AB，則下列說法正確的有（

）A．該圓臺的高為B．該圓臺軸截面面積為C．該圓臺的體積為D．一只螞蟻從點(diǎn)C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為10cm【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圓臺的高，即可判斷A選項(xiàng)；由梯形面積公式即可判斷B選項(xiàng)；由圓臺體積公式即可判斷C選項(xiàng)；由圓臺側(cè)面展開圖結(jié)合勾股定理即可判斷D選項(xiàng).【詳解】如圖，作交于，易得，則，則圓臺的高為，A錯(cuò)誤；圓臺的軸截面面積為，B正確；圓臺的體積為，C正確；將圓臺一半側(cè)面展開，如圖中，設(shè)為中點(diǎn)，圓臺對應(yīng)的圓錐一半側(cè)面展開為扇形，由圓臺補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為8cm，底面半徑為4cm，側(cè)面展開圖的圓心角為，連接CP，可得∠COP＝90°，OC＝8，OP＝4＋2＝6，則，所以沿著該圓臺表面從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為10cm，故D正確．故選：BCD.11．已知平面向量，，則正確的有（

）A．若，則B．若，則在方向上的投影向量是C．若與的夾角為銳角，則的取值范圍為D．若，的夾角為，則【答案】AB【分析】對于A：根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；對于B：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得；對于C：依題意可得且與不同向，即可得到不等式組，解得即可；對于D：根據(jù)夾角公式得到方程，代入檢驗(yàn)即可；【詳解】解：因?yàn)?，，對于A：若，則，解得，故A正確；對于B：若，則，解得，所以，所以，所以，，所以在方向上的投影向量是，故B正確；對于C：，若與的夾角為銳角，則且與不同向，即且，解得且，故C錯(cuò)誤；對于D：若，的夾角為，則，（）整理得，顯然當(dāng)時(shí)，上式不成立，故D錯(cuò)誤；故選：AB12．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，的面積最大值為 D．當(dāng)時(shí)，為直角三角形【答案】BD【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理的邊角互化可判斷A錯(cuò)誤，B正確，結(jié)合均值不等式可判斷C，根據(jù)余弦定理的邊的關(guān)系，代入可得三邊關(guān)系滿足勾股定理，可判斷D.【詳解】，由正弦定理得：，即，，由余弦定理得：，又，，故A錯(cuò)誤；B正確，若，由得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，即面積的最大值為，故C錯(cuò)誤；由得將其代入中得：，進(jìn)而得，，故，進(jìn)而可得：，所以滿足，故為直角三角形，D正確.故選：BD三、填空題13．在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，則AC=_________________【答案】【詳解】試題分析：由正弦定理得AC的長度是4．【解析】本題主要考查正弦定理．點(diǎn)評：簡單題，直接套用公式．14．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．【答案】3【詳解】分析：根據(jù)純虛數(shù)的條件可得出等式，解出即可.詳解：由題可得，故答案為3.點(diǎn)睛：考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.15．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為__________【答案】【分析】利用直觀圖中的信息，求出的長度，從而得到原平面圖形中的長度，利用梯形的面積公式求解即可.【詳解】過作于，在直觀圖中，，，，所以，，故原平面圖形的上底為，下底，高為，所以這塊菜地的面積為，故答案為：.16．在平面四邊形中（如圖所示），，若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____________；

【答案】/【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立函數(shù)關(guān)系求解作答.【詳解】因，則以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，過點(diǎn)C作于G，作于F，因?yàn)?，所以，即，于是有，，則，而，則有，設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題17．已知向量的夾角為，且，．(1)求的值；(2)求的值；【答案】(1)2(2)【分析】（1）直接利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算律求解；（2）利直接利用模的計(jì)算公式求解.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄康膴A角為，且，，所以.所以.（2）.18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，．(1)若，求B；(2)若，求b．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用余弦定理進(jìn)行求解；（2）用正弦定理求出或，分兩種情況進(jìn)行求解，得到或.【詳解】（1）由余弦定理，得，又，∴．（2）由正弦定理，得，∵，∴或．當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴．綜上，或．19．在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1，，．(1)求，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)判斷的形狀，并求的面積．【答案】(1)，，(2)直角三角形，2【分析】（1）求出對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果；（2）分別求出對應(yīng)的線段的長，再根據(jù)勾股定理即可判斷，利用直角三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，（2），，，為直角三角形.20．如圖，已知正三棱錐S﹣ABC的底面邊長為2，正三棱錐的高SO＝1．(1)求正三棱錐S﹣ABC的體積；(2)求正三棱錐S﹣ABC表面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意分別確定三棱錐的底面積和三棱錐的高即可確定其體積；（2）連接CO延長交AB于E，連接SE，則E為AB的中點(diǎn)，分別求得底面積和側(cè)面積，然后計(jì)算其表面積即可．【詳解】（1）在正三棱錐S﹣ABC中，,所以.（2）連接CO延長交AB于E，連接SE，則E為AB的中點(diǎn)，如圖所示，所以，在直角三角形SOE中，，在△ABS中，SA＝SB，所以SE⊥AB，所以，則表面積為：．21．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由，故由正弦定理知：，所以.