《實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程》課堂實(shí)錄

《實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（第1課時(shí)）》課堂實(shí)錄一、教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)利用一元二次方程解決簡(jiǎn)單的圖形問(wèn)題.2.培養(yǎng)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí).二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)1.重點(diǎn)：利用一元二次方程解決簡(jiǎn)單的圖形問(wèn)題.2.難點(diǎn)：根據(jù)圖形問(wèn)題列方程.三、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課師：前面我們學(xué)習(xí)了有關(guān)一元二次方程的知識(shí)，我們學(xué)習(xí)了什么是一元二次方程，學(xué)習(xí)了什么是一元二次方程的根，學(xué)習(xí)了如何解一元二次方程.現(xiàn)在，老師要同學(xué)們想這樣一個(gè)問(wèn)題：為什么要學(xué)習(xí)這些知識(shí)？學(xué)習(xí)這些知識(shí)的目的是什么？（稍停后再叫學(xué)生）生：……（多讓幾名同學(xué)發(fā)表看法）師：和一元一次方程一樣，一元二次方程也是解決實(shí)際問(wèn)題的工具.學(xué)習(xí)一元二次方程不是為了什么，而是為了解決實(shí)際問(wèn)題.從這節(jié)課開(kāi)始，我們來(lái)學(xué)習(xí)如何利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題（板書(shū)課題：22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程）.師：下面我們來(lái)看一個(gè)例子.（二）嘗試指導(dǎo)，講授新課（師出示下面的例題）例扎西家有一個(gè)長(zhǎng)方形院子，它的長(zhǎng)比寬多3米，面積為54平方米，院子的長(zhǎng)和寬各是多少米？師：大家把這個(gè)題目默讀幾遍.（生默讀）師：題目要求院子的長(zhǎng)和寬，我們?cè)O(shè)院子的長(zhǎng)為x米，則院子的寬為多少米？生：(x-3)米（師板書(shū)：解：設(shè)院子的長(zhǎng)為x米，則院子的寬為(x-3)米）.師：讀了題目，又設(shè)好了未知數(shù)，你能按題目的意思畫一個(gè)圖嗎？大家試一試.（生畫圖，師巡視）師：我們一起來(lái)畫圖.扎西家有一個(gè)長(zhǎng)方形的院子（邊講邊畫一個(gè)長(zhǎng)方形），現(xiàn)在設(shè)這個(gè)院子的長(zhǎng)為x米（邊講邊標(biāo)：x米），則寬為(x-3)米（邊講邊標(biāo)：(x-3)米），院子的面積為54平方米（邊講邊標(biāo)：面積54平方米，畫好的圖如下所示）.師：根據(jù)這個(gè)圖，大家列一列方程.（生列方程，師巡視）師：（板書(shū)：根據(jù)題意列方程，得）列出的方程是什么？生：x(x-3)=54.（多讓幾名同學(xué)回答，然后師板書(shū)：x(x-3)=54）師：（指方程）列出的方程是一個(gè)一元二次方程，大家把它整理成一般形式.（生整理方程）師：整理后的方程是什么？生：x2-3x-54=0（師板書(shū)：整理，得x2-3x-54=0）.師：（指x2-3x-54=0）大家用公式法解這個(gè)方程.（生解方程，師巡視）師：方程的兩個(gè)根x1等于什么？x2等于什么？生：x1=9，x2=-6（師板書(shū)：解方程，得x1=9，x2=-6，如有必要師可在黑板的其它地方板演解方程過(guò)程）師：（指準(zhǔn)x(x-3)=54）這里的x表示什么？（稍停）表示院子的長(zhǎng)，院子的長(zhǎng)不能是負(fù)數(shù)，（指準(zhǔn)x1=9，x2=-6）所以x2=-6不符合題目的意思，要舍去（板書(shū)：（不合題意，舍去））.所以院子的長(zhǎng)為9米（板書(shū)：答：院子的長(zhǎng)為9米）.師：院子的寬為多少米？生：寬為6米.（師板書(shū)：寬為6米）師：這道題目做完了，做了這道題目，誰(shuí)來(lái)歸納一下怎么利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題？（讓生思考一會(huì)兒后再叫學(xué)生）生：……（讓幾名同學(xué)回答）師：（指準(zhǔn)例題）利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，第一步要讀題，反復(fù)地讀題，有的時(shí)候還可以畫一畫圖，通過(guò)讀題畫圖弄清題目的意思；第二步設(shè)未知數(shù)；第三步根據(jù)題目的意思列出一元二次方程；第四步解一元二次方程，一元二次方程的根有兩個(gè)，要根據(jù)題意來(lái)取舍解出的根，-6這個(gè)根不符合題目意思，要舍去；第五步答.師：利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題就這么五步，實(shí)際上與利用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟是一樣的.師：下面就請(qǐng)同學(xué)們自己來(lái)做兩個(gè)練習(xí).（三）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié)1.完成下面的解題過(guò)程：一個(gè)直角三角形的兩條直角邊相差5cm，面積是7cm2,求兩條直角邊的長(zhǎng).解：設(shè)一條直角邊的長(zhǎng)為cm，則另一條直角邊的長(zhǎng)為cm.根據(jù)題意列方程，得.整理，得.解方程，得x1=，x2=（不合題意，舍去）.答：一條直角邊的長(zhǎng)為cm，則另一條直角邊的長(zhǎng)為cm.2.一個(gè)菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和是10cm，面積是12cm2，(1)求菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)；(2)求菱形的周長(zhǎng).（提示：菱形的面積=兩條對(duì)角線積的一半）（四）歸納小結(jié)，布置作業(yè)師：（指例題）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一個(gè)例題，大家再看一看這個(gè)例題，回顧一下利用一元二次方程解決問(wèn)題有哪幾個(gè)步驟.（作業(yè)：P48習(xí)題1(1)(2)2.3.）實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（第2課時(shí)）一、教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題.2.培養(yǎng)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí).二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)1.重點(diǎn)：利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題.2.難點(diǎn)：根據(jù)傳播問(wèn)題列方程.三、教學(xué)過(guò)程（一）基本訓(xùn)練，鞏固舊知1.填空：(1)有一人得了流感，他把流感傳染給了10個(gè)人，共有人得流感；第一輪傳染后，所有得流感的人每人又把流感傳染給了10個(gè)人，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有人得流感.(2)有一人得了流感，他把流感傳染給了x個(gè)人，共有人得流感；第一輪傳染后，所有得流感的人每人又把流感傳染給了x個(gè)人，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有人得流感.（(1)題答案為11，121，(2)題答案為1+x，1+x+x(x+1)，先讓生自己做，然后師進(jìn)行講解）（二）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課師：和一元一次方程一樣，利用一元二次方程可以解決實(shí)際問(wèn)題，上節(jié)課我們做了一個(gè)例題，本節(jié)課我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例題.（三）嘗試指導(dǎo)，講授新課（師出示下面的例題）例有一人得了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有121人得了流感，每輪傳染中平均每一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？師：大家把這個(gè)題目好好默讀幾遍.（生默讀）師：誰(shuí)能不看黑板說(shuō)出題目的意思？生：……（讓幾名同學(xué)說(shuō)）師：這個(gè)題目怎么設(shè)？生：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人.（師板書(shū)：解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人）師：（在黑板的其它地方板書(shū)：第一輪后）設(shè)平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，那么第一輪后，共有多少人得了流感？生：1+x.（多讓幾名同學(xué)回答，然后師板書(shū)：1+x）師：（在黑板的其它地方板書(shū)：第二輪后）那么第二輪后，共有多少人得了流感？（讓生思考一會(huì)兒再叫學(xué)生）生：1+x+x(1+x).（多讓幾名同學(xué)回答，然后師板書(shū)：1+x+x(1+x)）師：下面大家根據(jù)題目的意思列一列方程.（生列方程，師巡視）師：（板書(shū)：根據(jù)題意列方程，得）列出的方程是什么？生：1+x+x(1+x)=121（生答師板書(shū)：1+x+x(1+x)=121）.師：（指方程）這是一個(gè)一元二次方程，怎么解這個(gè)方程？大家試著解一解.（生解方程）師：解出來(lái)的結(jié)果是什么？生：x1=10，x2=-12（生答師板書(shū)：x1=10，x2=-12）.師：（指方程）解這個(gè)方程是有講究的，很多同學(xué)用公式法解，發(fā)現(xiàn)數(shù)字比較大，解起來(lái)比較麻煩.實(shí)際上我們可以用直接開(kāi)平方法來(lái)解.怎么用直接平方法來(lái)解？（稍停）師：（指準(zhǔn)1+x+x(1+x)=121）1+x+x(1+x)有公因式1+x，我們把1+x提取出來(lái)，得到(1+x)(1+x)（邊講邊在其它地方板書(shū)：(1+x)(1+x)），可見(jiàn)方程可以化成(1+x)2=121（邊講邊在其它地方板書(shū)：(1+x)2=121），用直接開(kāi)平方法解這個(gè)方程，容易求出x1=10，x2=-12.師：方程中的x表示每個(gè)人傳染的人數(shù)，所以x2=-12不符合題目的意思，要舍去（板書(shū)：（不合題意，舍去））.師：最后還要答.（板書(shū)：答：每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了10個(gè)人）師：下面請(qǐng)大家自己來(lái)做一個(gè)練習(xí).（三）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié)2.完成下面的解題過(guò)程：有一個(gè)人知道某個(gè)消息，經(jīng)過(guò)兩輪傳播后共有49人知道這個(gè)消息，每輪傳播中平均一個(gè)人傳播了幾個(gè)人？解：設(shè)每輪傳播中平均一個(gè)人傳播了x個(gè)人.根據(jù)題意列方程，得.提公因式，得()2=.解方程，得x1=，x2=（不合題意，舍去）.答：每輪傳播中平均一個(gè)人傳播了個(gè)人.3.一個(gè)人知道某個(gè)消息，設(shè)每輪傳播中一個(gè)人傳播了x個(gè)人，填空：(1)經(jīng)過(guò)一輪傳播后，共有人知道這個(gè)消息；(2)經(jīng)過(guò)兩輪傳播后，共有人知道這個(gè)消息；(3)經(jīng)過(guò)三輪傳播后，共有人知道這個(gè)消息；(4)請(qǐng)猜想，經(jīng)過(guò)十輪傳播后，共有人知道這個(gè)消息.（五）歸納小結(jié)，布置作業(yè)師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題.俗話說(shuō)：一傳十，十傳百.這一傳十，十傳百是怎么么傳的？（指準(zhǔn)方程）用方程來(lái)表示就是(1+x)2=121.如果傳了三輪，就成了(1+x)3；如果傳了十輪，就成了(1+x)10.（作業(yè)：P48習(xí)題1(3)(4)4，4題中91改為81）四、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（第3課時(shí)）一、教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)利用一元二次方程解決增長(zhǎng)問(wèn)題.2.培養(yǎng)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí).二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)1.重點(diǎn)：利用一元二次方程解決增長(zhǎng)問(wèn)題.2.難點(diǎn)：根據(jù)增長(zhǎng)問(wèn)題列方程.三、教學(xué)過(guò)程（一）基本訓(xùn)練，鞏固舊知1.填空：(1)扎西家2006年收入是2萬(wàn)元，以后每年增長(zhǎng)10％，則扎西家2007年的收入是萬(wàn)元，2008年的收入是萬(wàn)元；(2)扎西家2006年收入是2萬(wàn)元，以后每年的增長(zhǎng)率為x，則扎西家2007年的收入是萬(wàn)元，2008年的收入是萬(wàn)元.（(1)題答案為2.2，2.42，(2)題答案為2(1+x)，2(x+1)2，先讓生自己做，然后師進(jìn)行講解，并寫出過(guò)程）（二）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題.什么是傳播問(wèn)題？就是像“一傳十，十傳百”這樣的問(wèn)題.與傳播問(wèn)題類似的還有一種問(wèn)題，叫什么問(wèn)題？叫增長(zhǎng)問(wèn)題.師：下面我們就來(lái)看一個(gè)增長(zhǎng)問(wèn)題.（三）嘗試指導(dǎo)，講授新課（師出示下面的例題）例扎西家2006年收入是2萬(wàn)元，2008年的收入是2.6萬(wàn)元，求扎西家收入的年平均增長(zhǎng)率.師：大家把這個(gè)題目好好看幾遍.（生默讀）師：誰(shuí)能不看黑板說(shuō)出題目的意思？生：……（讓幾名同學(xué)說(shuō)）師：這個(gè)題目怎么設(shè)？生：設(shè)扎西家收入的年平均增長(zhǎng)率為x.（師板書(shū)：解：設(shè)扎西家收入的年平均增長(zhǎng)率為x）師：（指準(zhǔn)板書(shū)）扎西家2006年收入是2萬(wàn)元（板書(shū)：2006年2萬(wàn)元），年平均增長(zhǎng)率為x，那么，2007年扎西家的收入是多少萬(wàn)元？（板書(shū)：2007年）生：2(1+x).（生答師板書(shū)：2(1+x)萬(wàn)元）師：（指準(zhǔn)板書(shū)）2007年收入是2(1+x)萬(wàn)元，年平均增長(zhǎng)率x，那么，2008年扎西家的收入是多少萬(wàn)元？（板書(shū)：2008年）生：2(1+x)2.（生答師板書(shū)：2(1+x)2萬(wàn)元）師：知道了扎西家2008年的收入可以表示成2(1+x)2，下面大家根據(jù)題目的意思列一列方程.（生列方程，師巡視）師：（板書(shū)：根據(jù)題意列方程，得）列出的方程是什么？生：2(1+x)2＝2.6（生答師書(shū)：2(1+x)2＝2.6）.師：接下來(lái)解方程（板書(shū)：解方程，得）用什么方法解這個(gè)方程比較簡(jiǎn)單？（稍停）用直接開(kāi)平方法.（以下師在其它地方板書(shū)解方程過(guò)程）師：得到x1≈0.14，x2≈-2.14（生答師板書(shū)：x1≈0.14，x2≈-2.14）.師：扎西家的收入是增加的，所以增長(zhǎng)率應(yīng)該是正數(shù)，x2≈-2.14不符合題目的意思，要舍去（板書(shū)：（不合題意，舍去））.師：扎西家收入的年平均增長(zhǎng)率約為0.14，也就是14％（板書(shū)：答：扎西家收入的年平均增長(zhǎng)率約為14％）.師：下面請(qǐng)大家自己來(lái)做一個(gè)練習(xí).（三）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié)2.完成下面的解題過(guò)程：某公司今年利潤(rùn)預(yù)計(jì)是300萬(wàn)元，后年利潤(rùn)要達(dá)到450萬(wàn)元，該公司利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率是多少？解：設(shè)該公司利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率是x.根據(jù)題意列方程，得.解方程，得x1≈，x2≈（不合題意，舍去）.答：該公司利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率是%.3.某公司今年利潤(rùn)預(yù)計(jì)是300萬(wàn)元，設(shè)該公司利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率是x，填空：(1)明年該公司年利潤(rùn)要達(dá)到萬(wàn)元；(2)后年該公司年利潤(rùn)要達(dá)到萬(wàn)元；(3)第三年該公司年利潤(rùn)要達(dá)到萬(wàn)元；(4)第十年該公司年利潤(rùn)要達(dá)到萬(wàn)元.（五）歸納小結(jié)，布置作業(yè)師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用一元二次方程解決增長(zhǎng)問(wèn)題，增長(zhǎng)問(wèn)題在現(xiàn)在生活中很常見(jiàn)，它與傳播問(wèn)題類似，希望大家掌握解決這兩個(gè)問(wèn)題的方法.（作業(yè)：P48習(xí)題1(5)(6)7）實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程疑難分析1．一元二次方程的應(yīng)用是一元一次方程應(yīng)用的繼續(xù)和發(fā)展,能用一元一次方程解的應(yīng)用題,一般可以用算術(shù)方法求解.而用一元二次方程解的應(yīng)用題,一般不能用算術(shù)方法求解.2．列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審:認(rèn)真審題，分清題意,弄清已知和未知,尋找相等關(guān)系;（2）設(shè):就是設(shè)未知數(shù),分直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù),所謂直接設(shè)未知數(shù)就是問(wèn)什么設(shè)什么,反之就是間接設(shè)未知數(shù),到底選擇何種方式設(shè)未知數(shù),要以有利于列出方程為準(zhǔn)則.（3）列:就是根據(jù)題目中的已知量和未知量之間的關(guān)系列出方程.（4）解:就是求出所列方程的解.列一元二次方程解應(yīng)用題時(shí),一般會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)解,必須檢驗(yàn)每個(gè)解是否符合題意和生活實(shí)際,再正確取舍.（5）答:就是寫出答案．在答之前應(yīng)對(duì)解得的方程進(jìn)行檢驗(yàn),舍去不符合實(shí)際意義的解.3.列一元二次方程解應(yīng)用題,關(guān)鍵是正確地找到等量關(guān)系.如何迅速地探求出相等關(guān)系列出方程呢?(1)要正確熟練地作語(yǔ)言與式子的互化;(2)充分運(yùn)用題目中所給的條件;(3)要善于發(fā)現(xiàn)利用間接的,潛在的等量關(guān)系;(4)對(duì)一般應(yīng)用題,可以從以下幾個(gè)方面著手尋找相等關(guān)系;①利用題目中的關(guān)鍵語(yǔ)句作為相等關(guān)系;②利用公式、定理作為等量關(guān)心;③從生活、生產(chǎn)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系.例題選講例1要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng).根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？解