W250線性代數(shù)-期末復(fù)習五六及答案

線性代數(shù)練習五及其答案一、填空題345.一35一--八一DO一、1、設(shè)D= D=510，則D=1 = 。1 12， 2 OD200 22、四階方陣A、B,已知A=A,且B=2A-i—(2A>1，則IB=3、三階方陣A的特征值為1,-1,2,且B=A3-5A2，則B的特征值為4、若n階方陣A滿足關(guān)系式A2-3A-2E=O,若其中E是單位陣，那么AT二5、設(shè)α=(1,1,1),1α=(1, 2,23）,α=（1, 3,t）線性相關(guān)，則t=3二、單項選擇題1、若方程x—103x2X+13x—2 2 1—6“成立，則X是—4(A)-2或3；(C)-2或-3；(B)-3或2；(D)3或2；2、設(shè)A、B均為n階方陣，則下列正確的公式為(A)(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3；(B)(A—B)(A+B)=A2—B2；(C)A2—E=(A—E)(A+E)；3、設(shè)A為可逆n階方陣，則Q*)=(A)AlE； (B)A；(D)(AB)2=A2B2(C)AnA；(D)∣A∣n-2A；4、下列矩陣中哪一個是初等矩陣(A)「100、、002)「100、(B)0101011)(C)(0—110—D1,(D)(00100)—2,1001JU00J5、下列命題正確的是k,,k,使kα+kα+(A)如果有全為零的數(shù)k,k13m11 22+kα=θ，則α,α，mm 1 22，ɑ線性無關(guān);m(B)向量組(α2若其中有→向量可由向量組線性表示，則%α2，一，ɑ線性相關(guān);m,,ɑm(C)向量組(α2的一個部分組線性相關(guān)，則原向量組本身線性相關(guān);,,ɑm(D)向量組a/α,,2ɑ線性相關(guān)，則每一個向量都可由其余向量線性表示。m6、(α2，和。1β2，’‘，β為兩個n維向量組，且mα=β+β123+…+βm,ɑm,α=β+β++β213 m??■+≡?B?9+9?≡?ιl-?a-B*I+-B*9α=β+β++βm1 2 m—1則下列結(jié)論正確的是(A)R(α,α,1 2,α)<R(β,β,m 1 2,β)m(B)R(α1，%，,α)>R(β,β,,β)m(C)R(α1,α)=R(β,P,,β)m(D)無法判定,九mm1 21 27、設(shè)A為n階實對稱方陣且為正交矩陣，則有A=EA相似于E (C)A2=E(D)A合同于E8、若1口口口是線性方程組AX=。的基礎(chǔ)解系，(A)解向量(B)基礎(chǔ)解系(C)通解;貝∣η+η+η+η是AX=O的12 3 4(D)A的行向量；9、λ,λ都是n階矩陣A的特征值，λ≠λ，且X和X分別是對應(yīng)于λ和λ的特征12121212向量，當k,k滿足什么條件時，X=kX+kX必是矩陣A的特征向量。1211 22k=0且k=0；1 2k≠0,k≠012(C)kk≠0 (D)k≠0而k=012 1 2一1-10一10、下列哪一個二次型的矩陣是一1 300 00f(X,X)=X2-2XX+3X2；1 2 1 22 2f(X,X)=X2-XX+3X2;1 2 1 12 2f(X,X,X)=X2-2XX+3X2；1 2 3 1 22 2f(X,X,X)=X2-XX-XX+3X2；1 2 3 1 12 23 2三、計算題-α-P1、設(shè)3階矩陣，A=2，B=N，其中a，P，N，N均是3維行向量，且已知22233nJ3」N3行列式IA=18,B=2，求∣A+B∣2、解矩陣方程AX+B=X,其中0A=ZI101-111，B=200-15-33、設(shè)有三維列向量組1+λ11α=

1110a=1+λ，a=1，P=λ2311+λλ2λ為何值時:(1)P可由α，α，α線性表示，且表示式是唯一的;1 2 3⑵P不能由％α2，。3線性表示;(3)P可由α，α，α線性表示，且有無窮種表示式，并寫出表示式。1234、已知四元非齊次線性方程組AX=β滿足R(A)=3，N1，N2,N3是AX=P的三個解向量，其中(2、n—4O2JO

γ+γ

2 3求AX二β的通解。15、已知A=B,且A="1a1OOO1b,B=010b1002求a,b6、齊次線性方程組2x-x+3x=01 2 3<X-3x+4x=0>1 2 3-X+2x+ax=0V1 2 j中當a為何值時，有非零解，并求出通解。7、用正交變換法化二次型/(%,%,%)=4%2+4%2+4%2+4XX+4xX+4xx為標1 2 3 1 2 3 12 13 23準型，并求出正交變換。四、證明題(7分)設(shè)A為HiXn矩陣，B為n階矩陣，已知尺(A)=Il證明：若AB=。，則B=O線性代數(shù)練習五參考答案一填空題1、-10； 2、81； 3、-4,—6,—12； 4、1(A—3E)； 5、5；二、單項選擇題題號J _2 _3 _4 _5 6_7 _8 _9 10 答案番號ACDBCCCADC三、計算題1、a+βa+β∣A+B∣=3γ2=12γ4γ3ɑ=12γ2γ3+12βγ2γ3=2ɑγ2γ3+12βγ2γ3γ232、=2×18+12×2=60AX+B=Xn(E—A)X=B1-1 0IE-Al=10-1=3≠010 2X=(E-A)1B0-30(E-A>1=132121-11XW0-3022-1111125-1

0-3321-10-13、設(shè)β=kα+kα+kα221133囿二1+λ111

1+λ111

1+λ二(λ+3)1

1+λ111

1+λ二九2(九+3)≠0nλ≠0且λ≠-3時,方程組有唯一解111即β可由α,1(2)當λ=-3時,ɑ3唯一線性表示，ɑ2G)=-2111-2111-20-39-2101-1

0-326J→100jR(A)=2,R(A)=3???無解即當λ=-3時,*(3)當λ=0時/、n11G)=111U11β不能由α1，α2，α3線性表示0→0000J 100001 (1110)00JR(A)=R(A)=1<3有無窮組解（-1、??基礎(chǔ)解系為：η二1η2-1

011I0J，J通解為1122(-c-c1c1IC2當λ=0時β可由α1α3線性表示為無窮多種形式β=(-c-c)α1 2 1+cα+cα12 23C1，C2為任意常數(shù)4、 R(A)=3<4???AX=θ的基礎(chǔ)解系含一個解Aγ=βi（i=1，2，3）X=Cη+Cη，。2，2J口10(1)3(1)二（丫戶2）Y2+Y3）二—4-3為基礎(chǔ)解系設(shè)η(1Λ-2)≠0-2)A[2(γι+γ2)卜2AyI+1Aγ2 2=β???U0=2(γ1+γ2)=(1)―2為特解（8分）故AX=β的通解為X=u0+w-2-4C-3CC為任意常數(shù)1+C)1-2C)5、AB .?.∣λE-Al=∣λE-B九一1 —Q∣λE?-Af=-a λ-1-1 -b-1-b=λ3-3λ2+(2-a2-b2)λ+(a-b)2

λ-1λ∣λE-B∣=-a00 0λ-1 0=λ(λ-1)(λ-2)=λ3-3λ2+2λ0 λ-2.?.λ3-3λ2+(2-a2-b2)λ+(a-b)2=λ3-3λ2+2λ比較同次幕系數(shù)有2-a2-b2=2(a-b)2=0解之，得a=b=06、A=1—1-32a—3,當a=3時， R(A)=2<3有非零解基礎(chǔ)解系為η通解為X=W C為任意常數(shù)λ-47、∣λE—Al=-2—2—2 —2λ—4 —2=(λ—2)2(λ-8)=0—2 λ—4特征值為λ=8，λ=λ=21 2 3特征向量為η11VlJη2η3f0]1正交單位化為1UJβ^2ITJITJ(2「—131 (014→10a) (0011Jβ1，(1)1，)-1?1，1ITJ(1)(—D0，W312標7隹型為f=8y2+2y2+2y2

1 2 31?正交變換為X=1一√31一√31一√3√6102J6.?.?正袤)Y四、證明題()\o"CurrentDocument"B=(β,P, ,P)1 2 nAB=A(β,β, ,β)=(Aβ,Aβ, ,Aβ)=O12 n 1 2 n???.?.Aβ=θ(i=1,2,,n)i???B的每一列向量為齊次方程組AX=θ的解…由于R(A)=n λ.AX=θ只有零解.?.B=O線性代數(shù)練習六及其答案、填空題1—3.若0 5—1 21X=0，則X=—2λX+X+X=01 2 3.若齊次線性方程組IX+λX+X=0只有零解，則λ應(yīng)滿足1 2 3X+X+X=0123.已知矩陣A，B，C=（C）,滿足AC=CB,則A與B分別是

ijSXn階矩陣。4．a(chǎn)11矩”=a21C 、a12a22的行向量組線性a31aJ325．n階方陣A滿足A2—3A—E=0，則A-1=、判斷正誤（正確的在括號內(nèi)填“√”，錯誤的在括號內(nèi)填“X”。）.若行列式D中每個元素都大于零，則D〉0。（）.零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合。（）.向量組aJaJ…，“〃中,如果a1與aJ對應(yīng)的分量成比例,則向量組aJa2,…，a.線性相關(guān)。（4.A=0100)100000010010，則A-1=A。()5.若λ為可逆矩陣A的特征值，則A-1的特征值為λ。（）三、單項選擇題1.設(shè)A為n階矩陣，且A=2，則IAIATl=（ ）。①2n②2n—1③2n+1④42.n維向量組受αJ…，α’（3GSGn）線性無關(guān)的充要條件是（）。①a,α,12，ɑ中任意兩個向量都線性無關(guān)s②ɑ，ɑ，12，α中存在一個向量不能用其余向量線性表示s③a」αJ…,α,中任一個向量都不能用其余向量線性表示④a,a，…，a中不含零向量1 2 S.下列命題中正確的是（ ）。①任意n個n+1維向量線性相關(guān)②任意n個n+1維向量線性無關(guān)③任意n+1個n維向量線性相關(guān)④任意n+1個n維向量線性無關(guān).設(shè)A，B均為n階方陣，下面結(jié)論正確的是（①若A，B均可逆，則A+B可逆AB可逆③若A+B可逆，則A—B可逆）。②若A，B均可逆，則④若A+B可逆，則A，B均可逆5.若〉V2,V3,V4是線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，則VJV2+V「V4是AX=0的（）①解向量②基礎(chǔ)解系 ③通解四、計算題④A的行向量x+abca1.計算行列式ax+bc

bx+cabcd

d

dx+d2.設(shè)AB=A+2B，HAJ300[求B。、014,3.(1-10 0)(2134λ01-100213設(shè)B=00 1-1，C=0021且矩陣X滿足關(guān)系式[00 0 1J[0002JX(C—B),=E,求X。a4.問a取何值時，下列向量組線性相關(guān)？α1=-2，α2&IJ(1)一2a，a3-1(1)一2_1一2aVJλx+x+x=λ—31 2 35.λ為何值時，線性方程組1X+λX+X=-2有唯一解，無解和有無窮多解？當方程1 2 3x+x+λx=-212 3組有無窮多解時求其通解。146.設(shè)α=…α120

vj√(2\9-1V1(3),α30-3，α410-7.求此向量組的秩和一個極大無關(guān)-3JV-1I-7J組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。(100、7.設(shè)A=010，求A的特征值及對應(yīng)的特征向量。、021J五、證明題若A是n階方陣，且AAT=I,|Al=-1，證明IA+1?=0。其中I為單位矩陣。線性代數(shù)練習六答案、填空題1.52.λ≠13.s×s，n×n4.相關(guān)5.A-3E二、判斷正誤1.×2.√3.√4. √5.×三、單項選擇題1.③2.③3.③4. ②5.①四、計算題1.x+abcdx+a+b+c+dbcdax+bcdx+a+b+c+dx+bcdabx+cdx+a+b+c+dbx+cdabcx+dx+a+b+c+dbcx+d1bcd1bcd1x+bcd0x00=(X+a+b+c+d)bd=(X+a+b+c+d)0=(X+a+b+c+d)x31x+c0x01bcx+d000X2.(A—2E)B=A2 -1-1(A-2E)-1=2-2-1-1 1 1-5-2-2B=(A-2E)-1A=4-3-2-2233.12C—B=0010032104321，(C-B),=1234000100210321L-B)1=1-21001-2100100,01X=E^(C