2022-2023學(xué)年湖北省荊州市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省荊州市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．120° D．150°【答案】A【分析】將直線的一般式改寫成斜截式，再由斜率公式可求得結(jié)果.【詳解】∵∴∴又∵∴故選：A.2．在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對(duì)于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系.該運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度（單位：m/s）為（

）A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5【答案】D【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把代入即可求解．【詳解】解：因?yàn)椋?，令，得瞬時(shí)速度為．故選：D.3．圓與圓恰有兩條公切線．則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，依題意兩圓相交，則，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】解：圓，即，圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閮蓤A恰有兩條公切線，則兩圓相交，所以，即，解得，即；故選：A4．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，是的等差中項(xiàng)，則（

）A．16 B．27 C．32 D．54【答案】D【分析】由題可得，進(jìn)而可得，即得.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，∴，解得，（舍去），∴.故選：D.5．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值【答案】D【詳解】則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減6．等差數(shù)列、中的前項(xiàng)和分別為、，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其前項(xiàng)和公式可得，將代入即可求解.【詳解】∵等差數(shù)列、中的前項(xiàng)和分別為、，，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及其前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.7．已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【詳解】分析：首先根據(jù)g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，得到方程有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，即直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫出函數(shù)的圖像（將去掉），再畫出直線，并將其上下移動(dòng)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，滿足與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得結(jié)果.詳解：畫出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，再畫出直線，之后上下移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，并且向下可以無限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，也就是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿足，即，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的思路是將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題，將式子移項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為兩條曲線交點(diǎn)的問題，畫出函數(shù)的圖像以及相應(yīng)的直線，在直線移動(dòng)的過程中，利用數(shù)形結(jié)合思想，求得相應(yīng)的結(jié)果.8．已知點(diǎn)，過點(diǎn)作直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，則（

）A． B． C．2 D．無法確定【答案】A【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，得到，代入兩點(diǎn)斜率公式即可化簡求解.【詳解】設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得，設(shè)，，可得，則故選：A二、多選題9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，，A不正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C不正確；對(duì)于D，，D正確.故選：BD10．已知曲線C的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C為圓B．曲線C為橢圓的充要條件是C．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則D．存在實(shí)數(shù)k使得曲線C為拋物線【答案】AC【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征即可逐項(xiàng)判斷求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，所以A正確；對(duì)于B，若曲線C為橢圓，則，且，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則，，解得，所以C正確；對(duì)于D，曲線C不存在x，y的一次項(xiàng)，所以曲線C不可能是拋物線，所以D錯(cuò)誤．故選：AC.11．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則（

）A． B．是等差數(shù)列C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)的關(guān)系，即可求解是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，故A正確；于是，當(dāng)時(shí)，，所以，即，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故，，故BC錯(cuò)誤，D正確．故選：AD12．在棱長為1的正方體中，為底面的中心，，為線段的中點(diǎn)，則（

）A．與共面B．三棱錐的體積跟的取值無關(guān)C．時(shí)，過A，Q，M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為D．【答案】ABC【分析】由為的中點(diǎn)，得到，可判定A正確；由到平面的距離為定值，且的面積為定值，根據(jù)，可得判定B正確，由時(shí)，得到三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形，可判定C正確；當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可判定D不正確．【詳解】在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以與共面，所以A正確；由，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積跟的取值無關(guān)，所以B正確；當(dāng)時(shí)，過三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形，所以平面截正方體所得截面的周長為，所以C正確；當(dāng)時(shí)，可得，則，所以不成，所以D不正確．故選：ABC三、填空題13．已知函數(shù)，則_________．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式，代入求解即可．【詳解】，，令，則，，故答案為：．14．直線：截圓的弦為，當(dāng)取最小值時(shí)的值為__________．【答案】1【分析】由于直線恒過，所以當(dāng)直線與定點(diǎn)和圓心連線的直線垂直時(shí)，取得最小值，從而可求出的值【詳解】直線：恒過，圓的圓心，半徑為，所以定點(diǎn)與圓心的距離為：，所以則的最小值為：，此時(shí)直線與定點(diǎn)和圓心連線的直線垂直．可得．故答案為：．15．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】由單調(diào)性可知在上恒成立，采用分離變量法可得，由二次函數(shù)的最值可求得的范圍.【詳解】在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立；又當(dāng)時(shí)，，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、雙空題16．在一次珠寶展覽會(huì)上，某商家展出一套珠寶首飾，第一件首飾是顆珠寶，第二件首飾是由顆珠寶構(gòu)成如圖所示的正六邊形，第三件首飾是由顆珠寶構(gòu)成如圖所示的正六邊形，第四件首飾是由顆珠寶構(gòu)成如圖所示的正六邊形，第五件首飾是由顆珠寶構(gòu)成如圖所示的正六邊形，以后每件首飾都在前一件上，按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶，使它構(gòu)成更大的正六邊形，依此推斷第件首飾上應(yīng)有________顆珠寶；則第件首飾所用珠寶總數(shù)為________顆.（結(jié)果用表示）【答案】66【分析】分析數(shù)據(jù)規(guī)律可得，再利用累加法即可求解.【詳解】設(shè)第件首飾上的珠寶顆數(shù)為，則，，，，因?yàn)?，，，，所以猜想，所以推斷，?由，則，…,,以上各式相加得,所以.故答案為：66；.五、解答題17．已知函數(shù)，的圖象在點(diǎn)處的切線為．(1)求a，b的值;(2)設(shè)，求最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用切線的斜率以及經(jīng)過的點(diǎn)即可求解，（2）求導(dǎo)得單調(diào)性，即可求解最值.【詳解】（1），，由已知，得，解得，∴函數(shù)的解析式為．（2），則，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，∴．18．已知三點(diǎn)共線，其中是數(shù)列中的第n項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由三點(diǎn)共線可知斜率相等，即可得出答案；(2)由題可得，利用錯(cuò)位相減法即可求出答案.【詳解】（1）三點(diǎn)共線，（2）

①

②①—②得19．如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明出，，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：由于，，所以，由于，，、平面，所以平面，平面，由平面，得.取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸侵苯翘菪?，且，，故四邊形為矩形，且且，，所以在中，，，，即，由于，、平面，所以平?（2）解：平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，.所以，直線與平面所成角的正弦值為.20．已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證:【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，即可求出通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求出數(shù)列的和，進(jìn)而利用不等式放縮即可證明結(jié)果.【詳解】（1）由為等差數(shù)列，得，則又構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即解得或(舍)，所以;（2）因?yàn)?，所?1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，半焦距為1，以線段為直徑的圓恰好過橢圓的上、下頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若關(guān)于直線對(duì)稱的射線與分別與橢圓位于軸上方的部分交于，兩點(diǎn)，求證：直線過軸上一定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先求出，之間的等量關(guān)系，再結(jié)合，，間的關(guān)系即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及已知即可得出，的關(guān)系，進(jìn)而即可得到直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）以線段為直徑的圓恰好過橢圓的上下頂點(diǎn)，.，，，橢圓的方程為.（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得.設(shè)點(diǎn)，，則，.，且由題意知和必存在，.又，，即，整理得，得，即，解得，的方程為.，即，，解得.，位于橢圓軸上方，，此時(shí)直線過軸上的定點(diǎn).22．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求證：恒成立；（2）若關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（1）見證明；（2）3【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，求最值，證明不等式；（2）將方程轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性及取值范圍，數(shù)形結(jié)合得的最小值【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，，令，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故，所以.（2）至