線性定常系統(tǒng)的綜合課件

第五章線性定常系統(tǒng)的綜合5

線性定常系統(tǒng)的綜合

控制系統(tǒng)的分析與綜合是控制系統(tǒng)研究的兩大課題。前面我們介紹的內(nèi)容都屬于系統(tǒng)的描述與分析。主要解決系統(tǒng)的建模、各種數(shù)學(xué)模型(時(shí)域、頻域、內(nèi)部、外部描述)之間的相互轉(zhuǎn)換等；主要研究系統(tǒng)的定量變化規(guī)律(如狀態(tài)方程的解，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析等)和定性行為(如能控性、能觀測性、穩(wěn)定性等)及其與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和外部作用間的關(guān)系。系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的分析5

線性定常系統(tǒng)的綜合是在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)(被控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)控制器，尋找控制規(guī)律，以保證系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)得到滿足。綜合與設(shè)計(jì)問題

本章主要討論常規(guī)綜合，在時(shí)域內(nèi)討論線性反饋控制規(guī)律的綜合與設(shè)計(jì)方法。根據(jù)綜合指標(biāo)目標(biāo)提法不同將綜合分為：常規(guī)綜合最優(yōu)綜合僅使性能滿足某種籠統(tǒng)指標(biāo)要求；要確保性能指標(biāo)在某種意義下達(dá)到最優(yōu)。目錄5.1線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.2極點(diǎn)配置問題5.3系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題5.4系統(tǒng)解耦問題5.5狀態(tài)觀測器5.6利用狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋第五章線性定常系統(tǒng)的綜合1、狀態(tài)反饋的基本形式；2、極點(diǎn)任意配置的條件和方法；3、能鎮(zhèn)定條件；4、解耦的條件和方法；5、狀態(tài)觀測器存在的條件及其實(shí)現(xiàn)；6、利用狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特點(diǎn)。重點(diǎn)第五章線性定常系統(tǒng)的綜合學(xué)習(xí)要求1、熟悉狀態(tài)反饋的基本形式；2、掌握極點(diǎn)任意配置的條件和方法；3、掌握系統(tǒng)能鎮(zhèn)定條件；4、掌握解耦的條件和方法；5、掌握狀態(tài)觀測器存在的條件及其實(shí)現(xiàn)；6、熟悉采用狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特點(diǎn)。5.1

線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性反饋的兩種基本形式：狀態(tài)反饋和輸出反饋。一、狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋方框圖如圖所示，受控系統(tǒng),通常D＝0，則記為K狀態(tài)反饋增益陣

將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律。狀態(tài)反饋5.1

線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性狀態(tài)反饋控制律代入原系統(tǒng)方程得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式若D＝0，則為記為：閉環(huán)傳遞函數(shù)陣為：特性：狀態(tài)反饋并沒有增加系統(tǒng)的維數(shù)，通過改變K，可以任意改變系統(tǒng)特征值，使系統(tǒng)獲得所要求的性能。5.1

線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性HB輸出反饋是利用輸出矢量構(gòu)成線性反饋律。將系統(tǒng)的每一個(gè)輸出變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律。受控系統(tǒng)輸出反饋結(jié)構(gòu)圖如下，輸出反饋控制律Ｈ輸出反饋增益陣二、輸出反饋5.1

線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性或閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：若受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)為則代入原系統(tǒng)，若D＝0，則5.1

線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性

H：r×m維；K：r×n維，由于m<n，故H的可供選擇的自由度比K小，所以輸出反饋效果不如狀態(tài)反饋，但是比較容易實(shí)現(xiàn)。輸出反饋特性：由此，輸出反饋是狀態(tài)反饋的特殊情況。此時(shí)，狀態(tài)反饋就等價(jià)于輸出反饋。則,若狀態(tài)反饋增益矩陣K=HC,5.1

線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性GB三、從輸出到的反饋結(jié)構(gòu)圖，若D＝0，則5.1

線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性直接引入一個(gè)子系統(tǒng)來改善系統(tǒng)的性能。串聯(lián)連接反饋連接系統(tǒng)的維數(shù)等于受控系統(tǒng)與動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器維數(shù)之和。四、動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器上述3種反饋基本結(jié)構(gòu)共同點(diǎn)：1）不增加新的狀態(tài)變量；2）開環(huán)與閉環(huán)同維；3）反饋增益陣是常陣，反饋是線性反饋。動(dòng)態(tài)補(bǔ)償特點(diǎn)：－－5.1

線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性定理1：狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性，但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。五、閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀性證明：利用變換前后能控性矩陣的秩相等來判斷。的列向量是B，AB列向量的線性組合。是KB的第i個(gè)行向量。是B的第i個(gè)列向量。的列是列的線性組合。…5.1

線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性可以看成是由經(jīng)初等變換得到的。

狀態(tài)反饋不保持系統(tǒng)能觀性的說明：實(shí)際上，對(duì)SISO系統(tǒng)而言，狀態(tài)反饋雖然不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，但可以任意改變系統(tǒng)的極點(diǎn)，有可能造成零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，從而可能會(huì)改變系統(tǒng)的能觀性。以SISO能控標(biāo)準(zhǔn)Ｉ型為例說明。也根據(jù)線性表示的兩組向量線性無關(guān)組的大小關(guān)系證。5.1

線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性例試分析以下系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋K＝[-10]后的能控性和能觀性。原系統(tǒng)的能控性和能觀性解：加入狀態(tài)反饋，因此，原系統(tǒng)既是能控也是能觀的。5.1

線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性

故引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)是能控但不能觀的。實(shí)際上，由傳遞函數(shù)5.1

線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性定理2輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性。分析：1）輸出反饋是狀態(tài)反饋的特例，由狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性輸出反饋也不改變能控性。2）關(guān)于能觀性，根據(jù)反饋前后的能觀性矩陣的秩來分析，同狀態(tài)反饋的能控性分析相似。5.2

極點(diǎn)配置問題

極點(diǎn)配置問題是通過選擇反饋增益矩陣K，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)性能。（只分析SISO系統(tǒng)）控制系統(tǒng)的性能主要取決于系統(tǒng)極點(diǎn)在根平面上的分布。因此，作為綜合系統(tǒng)性能指標(biāo)的一種形式，往往給定一組期望極點(diǎn)，或根據(jù)時(shí)域指標(biāo)轉(zhuǎn)換成一組等價(jià)的期望極點(diǎn)。5.2

極點(diǎn)配置問題一、采用狀態(tài)反饋定理：采用狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)任意配置極點(diǎn)的充要條件是完全能控。即證：若完全能控，則通過狀態(tài)反饋K必能使證明：此證明過程即為極點(diǎn)配置問題的設(shè)計(jì)步驟。僅證充分性：期望的極點(diǎn)5.2

極點(diǎn)配置問題1）若能控，則必能通過變換將化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型。5.2

極點(diǎn)配置問題2）設(shè)狀態(tài)反饋陣，加入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為其中，5.2

極點(diǎn)配置問題閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為3）欲使閉環(huán)極點(diǎn)與期望的極點(diǎn)相符，必須滿足：4）最后，把對(duì)應(yīng)于的，變回對(duì)應(yīng)于的則必要性的證明由不完全能控，按能控性分解得子系統(tǒng)得矛盾。5.2

極點(diǎn)配置問題解：例：設(shè)計(jì)反饋控制器，使得閉環(huán)極點(diǎn)為1）因?yàn)闆]有零極點(diǎn)對(duì)消，故系統(tǒng)完全能控，2）加入狀態(tài)反饋直接寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型，可以由傳遞函數(shù)法15.2

極點(diǎn)配置問題3）由期望的閉環(huán)極點(diǎn)可得期望的特征多項(xiàng)式4）閉環(huán)特征多項(xiàng)式與期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式比較系數(shù)得閉環(huán)特征多項(xiàng)式為5.2

極點(diǎn)配置問題-2-3x2x1uvx3加入狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖5.2

極點(diǎn)配置問題此法一開始就采用能控標(biāo)準(zhǔn)形，可以免去狀態(tài)變換，根據(jù)特征多項(xiàng)式直接計(jì)算Ｋ；但能控標(biāo)準(zhǔn)形所需的狀態(tài)變量的信息難以檢測，往往給工程實(shí)現(xiàn)增加困難。如果按串聯(lián)分解法選擇狀態(tài)變量，實(shí)現(xiàn)起來方便得多。如下，5.2

極點(diǎn)配置問題從圖中可以看出，由于各狀態(tài)變量均是各子系統(tǒng)的輸出，因而易于檢測。由模擬結(jié)構(gòu)圖可以寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：-1-210模擬結(jié)構(gòu)圖如下：法25.2

極點(diǎn)配置問題閉環(huán)特征多項(xiàng)式引入狀態(tài)反饋5.2

極點(diǎn)配置問題期望的特征多項(xiàng)式為比較系數(shù)即可得閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖-1-2105.2

極點(diǎn)配置問題法２的方法實(shí)際為直接配置算法，用于系統(tǒng)階數(shù)較低時(shí)。1)將帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程，并求得相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式

其中,2）計(jì)算理想特征多項(xiàng)式3)列方程組并求解。其解即為所求。5.2

極點(diǎn)配置問題1、選擇期望極點(diǎn)，是個(gè)確定綜合指標(biāo)的復(fù)雜問題，一般要注意以下問題：討論：

1）對(duì)一個(gè)n維的系統(tǒng)，必須指定n個(gè)實(shí)極點(diǎn)或共軛復(fù)極點(diǎn)；

2）極點(diǎn)位置的確定，要充分考慮它們對(duì)于系統(tǒng)性能的主導(dǎo)影響及其與系統(tǒng)零點(diǎn)分布狀況的關(guān)系；同時(shí)要兼顧系統(tǒng)抗干擾能力和對(duì)參數(shù)漂移低敏感性的要求。2、對(duì)單輸入系統(tǒng)，只要系統(tǒng)能控必能通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置，而且不影響原系統(tǒng)零點(diǎn)的分布；但可能影響能觀性。5.2

極點(diǎn)配置問題4、極點(diǎn)配置原理適用于多輸入系統(tǒng)，但具體設(shè)計(jì)要困難得多，表現(xiàn)在1）綜合指標(biāo)轉(zhuǎn)化為期望極點(diǎn)需要經(jīng)過工程處理；2）把受控系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)形相對(duì)麻煩，且反饋矩陣非唯一；3）可能會(huì)改變系統(tǒng)零點(diǎn)的狀態(tài)。3、若系統(tǒng)是不完全能控的，可通過能控性分解將其狀態(tài)方程變換成如下形式

其中，的特征值不能任意配置；5.2

極點(diǎn)配置問題定理對(duì)完全能控的單輸入－單輸出系統(tǒng)，通過帶動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置的充要條件是：二、采用輸出反饋對(duì)完全能控的單輸入－單輸出系統(tǒng)，不能采用輸出線性反饋來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置。定理：這是輸出反饋的弱點(diǎn)。極點(diǎn)只能落在確定的根軌跡上。通過增加零、極點(diǎn)調(diào)整根軌跡。1）完全能觀；2）動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)為n－1。5.2

極點(diǎn)配置問題1）定理中動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)為n-1是任意配置的條件；如果不要求任意性，補(bǔ)償器的階數(shù)可進(jìn)一步降低。說明：2）這種閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)，在串聯(lián)情況下是原系統(tǒng)零點(diǎn)與動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器零點(diǎn)的總和；在反饋聯(lián)結(jié)時(shí)是原系統(tǒng)零點(diǎn)與動(dòng)態(tài)補(bǔ)償極點(diǎn)的總和。5.2

極點(diǎn)配置問題

能觀性等價(jià)于其對(duì)偶系統(tǒng)的能控性；1)

極點(diǎn)配置等價(jià)于其對(duì)偶系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題；2)上述問題變?yōu)橐粋€(gè)狀態(tài)反饋問題。分析：定理對(duì)系統(tǒng)采用從輸出到的線性反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是：完全能觀。三、采用從輸出到的反饋5.2

極點(diǎn)配置問題上述第2步對(duì)于維數(shù)較高的系統(tǒng)使用，如果維數(shù)不高，則不必先得到能觀標(biāo)準(zhǔn)型。例：見P199－120具體求解步驟：1、先分析能觀性（能觀則可通過上法進(jìn)行極點(diǎn)配置）；3、對(duì)能觀標(biāo)準(zhǔn)II型，引反饋矩陣進(jìn)行極點(diǎn)配置；4、由求得原系統(tǒng)的反饋矩陣。2、得到能觀標(biāo)準(zhǔn)II型（變換矩陣為）；5.3

系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題是對(duì)受控系統(tǒng),通過反饋使其極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，保證系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定。狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定是指通過狀態(tài)反饋能使其漸近穩(wěn)定。輸出反饋能鎮(zhèn)定是指通過輸出反饋能使其漸近穩(wěn)定。

說明：輸出反饋不能任意配置極點(diǎn)，因此不能保證一定有輸出反饋的能鎮(zhèn)定性。系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題實(shí)際上是極點(diǎn)配置問題的一種特殊情況，只要求極點(diǎn)配置在左半平面。因此只需對(duì)不穩(wěn)定因子進(jìn)行配置。5.3

系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題定理3對(duì)系統(tǒng)采用從輸出到的反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是的不能觀子系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定。定理1對(duì)系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定。（證明見P200－201）定理2系統(tǒng)通過輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀的子系統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。（證明見P201－202）5.3

系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題例：不能通過輸出反饋鎮(zhèn)定。系統(tǒng)5.4

系統(tǒng)解耦問題

解耦問題：尋求適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)律，使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)（耦合）的多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)每一個(gè)輸出僅受相應(yīng)的一個(gè)輸入所控制，每一個(gè)輸入也僅能控制一個(gè)輸出。（如下圖所示）輸入輸出具有相同的維數(shù)5.4

系統(tǒng)解耦問題1）能解耦的充要條件；2）解耦的具體控制規(guī)律和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。則稱其是解耦的。對(duì)于系統(tǒng)，如果其傳遞函數(shù)為解耦問題需要考慮的兩個(gè)問題：

這兩個(gè)問題隨著解耦方法的不同而不一樣。目前實(shí)現(xiàn)解耦的兩種主要方法：1）前饋補(bǔ)償器解耦2）狀態(tài)反饋解耦。5.4

系統(tǒng)解耦問題一、前饋補(bǔ)償器解耦前饋補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)陣待解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣其結(jié)構(gòu)圖如下：前饋補(bǔ)償器解耦只需在待解耦系統(tǒng)的前面串聯(lián)一個(gè)前饋補(bǔ)償器，使串聯(lián)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣成為我們所期望的對(duì)角形傳遞函數(shù)陣。5.4

系統(tǒng)解耦問題組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣因此，若存在，則簡單方便,但增加了系統(tǒng)的維數(shù)。特點(diǎn)：5.4

系統(tǒng)解耦問題二、狀態(tài)反饋解耦狀態(tài)反饋解耦系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：K：m×n狀態(tài)反饋矩陣F：m×m非奇異變換矩陣F

如何設(shè)計(jì)K和F，使系統(tǒng)從v到y(tǒng)是解耦的？5.4

系統(tǒng)解耦問題1、狀態(tài)反饋解耦中的幾個(gè)特征量1）定義是滿足不等式且介于0到m－1之間的一個(gè)最小整數(shù),表示C中第i行向量，的下標(biāo)i表示行數(shù)。例試計(jì)算a）計(jì)算5.4

系統(tǒng)解耦問題是滿足的最小的b）計(jì)算5.4

系統(tǒng)解耦問題故2）根據(jù)定義下列矩陣5.4

系統(tǒng)解耦問題例試計(jì)算前例的D、E、L矩陣5.4

系統(tǒng)解耦問題2、能解耦性判據(jù)定理受控系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋能解耦的充要條件是m×m維矩陣E非奇異。5.4

系統(tǒng)解耦問題即3、積分型解耦系統(tǒng)定理若系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能解耦的，則閉環(huán)系統(tǒng)是一個(gè)積分型解耦系統(tǒng)，其中5.4

系統(tǒng)解耦問題解耦后子系統(tǒng)為階獨(dú)立子系統(tǒng)。閉環(huán)（解耦后）系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣為5.4

系統(tǒng)解耦問題于是得到閉環(huán)系統(tǒng)為：例試求上例所示系統(tǒng)的解耦系統(tǒng)。解：在前2例中已經(jīng)算出5.4

系統(tǒng)解耦問題解耦后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：該系統(tǒng)的狀態(tài)反饋解耦結(jié)構(gòu)圖見下，5.4

系統(tǒng)解耦問題從圖中可以看出，K陣中的元素的實(shí)際作用在于抵消狀態(tài)變量間的耦合，從而實(shí)現(xiàn)解耦控制。5.4

系統(tǒng)解耦問題如果能解耦系統(tǒng)具有如下形式4、能解耦標(biāo)準(zhǔn)型則稱為能解耦標(biāo)準(zhǔn)型。而且是的一個(gè)最小實(shí)現(xiàn)。5.4

系統(tǒng)解耦問題定理狀態(tài)反饋使系統(tǒng)解耦并任意配置極點(diǎn)的充要條件是，它們具有如下形式：5.4

系統(tǒng)解耦問題已是解耦標(biāo)準(zhǔn)型，所以可以任意配置極點(diǎn)?？稍O(shè)：例試對(duì)上例的積分型解耦系統(tǒng)設(shè)計(jì)附加狀態(tài)反饋，使閉環(huán)解耦系統(tǒng)的極點(diǎn)配置為-1，-1，-1，-1。解上例得到的積分型解耦系統(tǒng)為：5.4

系統(tǒng)解耦問題于是令其特征多項(xiàng)式為期望的特征多項(xiàng)式，即可解得5.4

系統(tǒng)解耦問題附加極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖見下頁。也可以分成兩個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋，以配置希望的極點(diǎn)。對(duì)子系統(tǒng)對(duì)子系統(tǒng)，用同樣的方法可得5.4

系統(tǒng)解耦問題5.4

系統(tǒng)解耦問題5、狀態(tài)反饋解耦的設(shè)計(jì)步驟1）檢驗(yàn)是否滿足能解耦的充要條件；2）計(jì)算K、F陣，將系統(tǒng)化為積分型解耦形式；3）對(duì)各獨(dú)立子系統(tǒng)采用附加狀態(tài)反饋配置極點(diǎn)。5.4

系統(tǒng)解耦問題1、上述問題討論是在積分型解耦系統(tǒng)能控的條件下進(jìn)行的，如果積分型解耦系統(tǒng)存在不能控和不能觀的狀態(tài)，則在采用附加狀態(tài)反饋時(shí)，必須通過非奇異變換，使之化為能解耦標(biāo)準(zhǔn)形；2、對(duì)不能用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦的系統(tǒng)，如果傳遞函數(shù)矩陣是非奇異的，除單獨(dú)采用前饋補(bǔ)償器外，還可兼用狀態(tài)反饋和串聯(lián)補(bǔ)償進(jìn)行解耦。說明：5.5

狀態(tài)觀測器這就是所謂狀態(tài)觀測（或狀態(tài)重構(gòu)）問題。

在線性定?？刂葡到y(tǒng)中，要實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置，或是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦，都離不開狀態(tài)反饋。

但狀態(tài)反饋物理實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)是系統(tǒng)的狀態(tài)向量X的每一個(gè)分量Xi均應(yīng)能直接量測得到。

然而在許多復(fù)雜的實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)內(nèi)部的每個(gè)狀態(tài)分量未必都能量測得到，這就給狀態(tài)反饋的物理實(shí)現(xiàn)造成困難。能否通過對(duì)原系統(tǒng)的輸出輸入加以改造來重新構(gòu)造新的狀態(tài)向量，以復(fù)現(xiàn)或近似復(fù)現(xiàn)原系統(tǒng)狀態(tài)向量？5.5

狀態(tài)觀測器一、狀態(tài)觀測器的定義設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)向量不能直接檢測，如果動(dòng)態(tài)系統(tǒng)以的輸入u和輸出y作為輸入量，能產(chǎn)生一組輸出量漸近，即。則是的一個(gè)狀態(tài)觀測器。1）以的輸入u和輸出y作為其輸入；2）須滿足3)趨近于的速度應(yīng)當(dāng)足夠快；但又不能太快。根據(jù)以上定義，可知構(gòu)造狀態(tài)觀測器的原則是：4）結(jié)構(gòu)應(yīng)盡量簡單，維數(shù)應(yīng)盡量低，以方便物理實(shí)現(xiàn)。5.5

狀態(tài)觀測器對(duì)線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)觀測器也是線性定常系統(tǒng)。按其結(jié)構(gòu)可分為全維狀態(tài)觀測器和降維狀態(tài)觀測器。二、狀態(tài)觀測器的存在性

定理：(證明過程中用的是漸近狀態(tài)觀測器）分析：假設(shè)系統(tǒng)已經(jīng)按能觀性進(jìn)行分解；，狀態(tài)觀測器存在的充要條件是對(duì)不能觀子系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。5.5

狀態(tài)觀測器三、狀態(tài)觀測器的實(shí)現(xiàn)1、定理：則其狀態(tài)向量可由輸出和輸入進(jìn)行重構(gòu)。(SISO)若線性定常系統(tǒng)完全能觀，

證明考慮輸出方程并對(duì)其逐次求導(dǎo)得：5.5

狀態(tài)觀測器令上式等號(hào)左邊為Z向量，則完全能觀，則,N為非奇異，其逆存在。若可得根據(jù)上式構(gòu)造的觀測器結(jié)構(gòu)如圖所示：ＺＮ-1

由于Z中用到了0階到n-1階微分器，大大增加了噪聲對(duì)估計(jì)值的影響，因而沒有工程應(yīng)用價(jià)值。5.5

狀態(tài)觀測器2、開環(huán)觀測器

直接仿照原系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)一個(gè)相同的系統(tǒng)來觀測狀態(tài)。其結(jié)構(gòu)圖如下，這種觀測器沒有實(shí)際意義。(初始狀態(tài)要完全相同）5.5

狀態(tài)觀測器Ｇ由結(jié)構(gòu)圖可得狀態(tài)觀測器的方程：3、漸進(jìn)狀態(tài)觀測器其結(jié)構(gòu)圖如下,利用輸出信息對(duì)狀態(tài)誤差進(jìn)行校正。5.5

狀態(tài)觀測器又可以將觀測器的結(jié)構(gòu)圖表示成如下圖形：由圖可以看出，觀測器的輸入有兩個(gè)：

u、y，輸出則是狀態(tài)向量的估計(jì)值。5.5

狀態(tài)觀測器狀態(tài)誤差向量：

狀態(tài)誤差方程：

其解為：如果矩陣（A－GC）的特征值均具有負(fù)實(shí)部，不管待觀測系統(tǒng)與觀測器的初始狀態(tài)是否相同，狀態(tài)估計(jì)值總能趨近于狀態(tài)真實(shí)值。狀態(tài)逼近的速度取決于G的選擇和（A－GC）的特征值的配置。觀測器方程原系統(tǒng)狀態(tài)方程令可得5.5

狀態(tài)觀測器G的設(shè)計(jì)實(shí)際上轉(zhuǎn)化為極點(diǎn)配置問題。例已知系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器使其極點(diǎn)為-10,-10。

四反饋矩陣G的設(shè)計(jì)解：1）檢測能觀性故能觀，可構(gòu)造觀測器。2）將系統(tǒng)化為能觀II型得：系統(tǒng)特征多項(xiàng)式5.5

狀態(tài)觀測器3)引入反饋矩陣得觀測器特征多項(xiàng)式5.5

狀態(tài)觀測器6）變回到X狀態(tài)下4）由期望的極點(diǎn)得期望特征多項(xiàng)式5）比較和的系數(shù)得5.5

狀態(tài)觀測器7）得到觀測器方程為或5.5

狀態(tài)觀測器對(duì)于維數(shù)較低，計(jì)算簡單的情況，也可以不進(jìn)行能觀性變換，而直接比較特征多項(xiàng)式的系數(shù)來確定G.則如本例，可直接設(shè)比較系數(shù)得：5.5

狀態(tài)觀測器本例的狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖，5.5

狀態(tài)觀測器

以上介紹的狀態(tài)觀測器，其維數(shù)與受控系統(tǒng)維數(shù)相同，稱為全維狀態(tài)觀測器。五、降維狀態(tài)觀測器事實(shí)上，系統(tǒng)的輸出y總是可以測量的，因此，可以利用y來直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測器的維數(shù)?？梢宰C明，若系統(tǒng)能觀，輸出矩陣C的秩為m，那么它的m個(gè)狀態(tài)分量可由y直接獲得，只需對(duì)剩余的n-m個(gè)狀態(tài)分量進(jìn)行重構(gòu)，從而構(gòu)造出n-m維的降維狀態(tài)觀測器。5.5

狀態(tài)觀測器（1）通過線性變換把狀態(tài)按能檢測性分解。降維狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)步驟：為保證T奇異的任意(n-m)×n維矩陣。設(shè)系統(tǒng)能觀，且rankC＝m，則存在線性變換n-mmr驗(yàn)證：使得，5.5

狀態(tài)觀測器上式兩邊同時(shí)右乘得：這樣，原系統(tǒng)經(jīng)過變換后具有如下形式可見，n維向量中，m維的可以由直接得到，而n-m維的需要重構(gòu)。5.5

狀態(tài)觀測器將M、Z當(dāng)作待觀測系統(tǒng)的輸入和輸出量，則相當(dāng)于系統(tǒng)矩陣，相當(dāng)于輸出矩陣。2）對(duì)構(gòu)造n-m維降維觀測器由得：針對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)觀測器。5.5

狀態(tài)觀測器仿照全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)方法，有通過選擇反饋矩陣，可將矩陣的特征值配置在期望位置。將代入降維觀測器方程，得5.5

狀態(tài)觀測器方程中出現(xiàn)了，為消去之，引入變量于是為的估計(jì)值，整個(gè)狀態(tài)向量的估計(jì)值為整理得，最后，將變回狀態(tài)5.5

狀態(tài)觀測器降維觀測器的具體設(shè)計(jì)步驟：（1）按能檢測性分解；（2）根據(jù)期望極點(diǎn)求得；（3）由得到觀測器方程；（4）變回狀態(tài)下。例給定系統(tǒng)試設(shè)計(jì)極點(diǎn)為-3,-4的降維狀態(tài)觀測器。5.5

狀態(tài)觀測器2）作能檢測性分解故系統(tǒng)完全能觀，又所以可設(shè)計(jì)n－m＝2維觀測器。解：1）判斷能觀性得5.5

狀態(tài)觀測器引入，觀測器特征多項(xiàng)式：期望特征多項(xiàng)式比較系數(shù)得5.5

狀態(tài)觀測器3）觀測器方程或者5.5

狀態(tài)觀測器（4）變回X狀態(tài)下5.5

狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖如下：5.6

利用狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋一、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)空間表達(dá)式利用狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示K5.6

利用狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋帶有觀測器的反饋系統(tǒng)存在兩個(gè)問題2)狀態(tài)觀測器本身的特性是否會(huì)受到影響？1)中，用代替實(shí)施反饋，對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果是否有影響？兩個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是否具有同樣的特征值？在5.6

利用狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋原系統(tǒng)方程觀測器方程狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：代入上式得5.6

利用狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋引入等效變換：寫成矩陣形式為：這是一個(gè)2n維閉環(huán)系統(tǒng)。二、閉環(huán)系統(tǒng)的基本特性1、閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)計(jì)的分離性設(shè)狀態(tài)估計(jì)的誤差為：5.6

利用