高數(shù)課件同濟(jì)版上下冊(cè)

一、無(wú)窮限的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分§5.4反常積分已知：在上有界為有限的區(qū)間.定義中：無(wú)界無(wú)限2/19一、無(wú)窮限的反常積分無(wú)窮限的反常積分的定義

在反常積分的定義式中,如果極限是存在的,

則稱此反常積分收斂,否則稱此反常積分發(fā)散.

連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

)上的反常積分定義為:

類似地,連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,

b]上和在區(qū)間(,

)的反常積分定義為:dxxfdxxfdxxfbbaa)(lim)(lim)(00òòò+￥?-￥?0￥-+=.

dxxf)(ò+￥￥-=dxxf)(ò+￥0+3/19一、無(wú)窮限的反常積分反常積分的計(jì)算

如果F(x)是f(x)的原函數(shù)則有可用如下簡(jiǎn)記形式：

類似地有:4/19例1：求解：5/19例2

計(jì)算廣義積分解:原式6/19證7/19例4

計(jì)算廣義積分解8/19例5：求解：由于可見：定積分的某些性質(zhì)，在反常積分中可能不成立.(-∞,+∞)不是對(duì)稱區(qū)間。發(fā)散.奇函數(shù)即9/19特別提醒：若均收斂，則規(guī)定2）若右邊積分有一個(gè)不存在,則發(fā)散在內(nèi)連續(xù)，且與是獨(dú)立變化的.1)上式中3)10/19

二、無(wú)界函數(shù)的反常積分注：

如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的任一鄰域內(nèi)都無(wú)界那么點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn)(也稱為無(wú)界間斷點(diǎn))

無(wú)界函數(shù)的反常積分又稱為瑕積分

無(wú)界函數(shù)反常積分的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,

b]上連續(xù),

點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn).

函數(shù)f(x)在(a,

b]上的反常積分定義為：

如果上述極限存在,

則稱此反常積分收斂;

否則稱此反常積分發(fā)散.

11/19

函數(shù)f(x)在[a

c)(c

b]上(c為瑕點(diǎn))的反常積分定義為

二、無(wú)界函數(shù)的反常積分

類似地,函數(shù)f(x)在[a,

b)上(b為瑕點(diǎn))的反常積分定義為無(wú)界函數(shù)反常積分的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,

b]上連續(xù),

點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn).

函數(shù)f(x)在(a,

b]上的反常積分定義為12/19

二、無(wú)界函數(shù)的反常積分反常積分的計(jì)算如果F(x)為f(x)的原函數(shù)則f(x)可簡(jiǎn)記為

在(a,

b]的反常積分為提問(wèn)：

f(x)在[a,

b)上和在[a

c)(c

b]上的反常積分如何計(jì)算？如何判斷反常積分的斂散性？當(dāng)c(acb)為瑕點(diǎn)時(shí)(區(qū)間內(nèi)含有瑕點(diǎn))：

13/192)當(dāng)c(acb)為瑕點(diǎn)時(shí)(區(qū)間內(nèi)含有瑕點(diǎn))：

1)判斷反常積分的斂散性:當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí)，14/19所以點(diǎn)a為被積函數(shù)的瑕點(diǎn)

解

例6

注意：15/19解:

例7

當(dāng)c(acb)為瑕點(diǎn)時(shí)

錯(cuò)解:

16/19

解

例7

當(dāng)c(acb)為瑕點(diǎn)時(shí)

注意：17/19解

當(dāng)q1時(shí)此反常積分發(fā)散

因此,

當(dāng)q<1時(shí),

此反常積分收斂,

其值為qabq---1)(11;

例8

討論反常積分ò-baqaxdx)(的斂散性.

特別地：注意比較：18/19例9

計(jì)算反常積分解故原廣義積分發(fā)散.19/19例10

計(jì)算解瑕點(diǎn)錯(cuò)解：注意：暇點(diǎn)在積分區(qū)間內(nèi)的試題具備極大的迷惑性！20/19例10

計(jì)算正解：瑕點(diǎn)21/19無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）無(wú)窮限的廣義積分（注意：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)）三、小結(jié)22/19思考題積分的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？思考題解答積分