探究勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)

探究勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)于正榮（江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)224041）摘要高中物理教材教材在研究平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)采用了運(yùn)動(dòng)的分解和合成的方法。然而在研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，卻避開了的這種方法，這究竟是什么原因？勻速圓周運(yùn)動(dòng)否存在分運(yùn)動(dòng)？本文擬對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了相關(guān)探討，并給出了四種特殊的分解結(jié)果。關(guān)鍵詞

勻速圓周運(yùn)動(dòng)

運(yùn)動(dòng)的分解

等時(shí)性

平行四邊形定則眾所周知，勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種十分簡單的運(yùn)動(dòng)形式，能否如果再對(duì)它進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分解呢？若能，其分運(yùn)動(dòng)會(huì)不會(huì)像分解平拋運(yùn)動(dòng)的那樣簡單？另外，高中物理教材《曲線運(yùn)動(dòng)》一章，在處理平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，強(qiáng)調(diào)將復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解成幾個(gè)（通常是兩個(gè)）簡單的運(yùn)動(dòng)，以使問題簡化，然而，在緊接著研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，卻另砌爐灶，采用線速度、角速度、周期等新的物理量去描述，完全回避了運(yùn)動(dòng)分解的處理方法，這又究竟是基于什么原因？帶著這些問題，筆者對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)進(jìn)了的有益探討，供大家教學(xué)中參考。1分運(yùn)動(dòng)是兩個(gè)周期相同、相互正交的簡諧運(yùn)動(dòng)yAOxPα圖1如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)以O(shè)點(diǎn)為圓心、R為半徑，沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從經(jīng)過x軸上的A點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)時(shí)間t，相對(duì)圓心O轉(zhuǎn)過α角運(yùn)動(dòng)到圖1中的yAOxPα圖1（1）（2）不難看出，如將該圓周運(yùn)動(dòng)分別沿x、y方向分解，則質(zhì)點(diǎn)在x、y方向的運(yùn)動(dòng)就應(yīng)分別滿足（1）、（2）兩式。再設(shè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為，有，則，，這正是簡諧運(yùn)動(dòng)的方程。所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以分解為兩個(gè)相互正交、周期和振幅都相同、位相相差的簡諧運(yùn)動(dòng)。yAOxPαMNθv1v2vθ圖2實(shí)際上，高中教材在研究簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，曾提到了所謂的參考圓，即勻速圓周運(yùn)動(dòng)在yAOxPαMNθv1v2vθ圖22分運(yùn)動(dòng)是兩個(gè)周期相同、方向成任一角度的簡諧運(yùn)動(dòng)設(shè)質(zhì)點(diǎn)以原點(diǎn)O為圓心從x軸上的A點(diǎn)開始沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過α角度運(yùn)動(dòng)到圖2中的P點(diǎn)。將速度v分別沿平行于x方向、平行于MN方向（設(shè)MN與x軸成θ角度）分解，得到兩分速度和，如圖2所示。由于速度v與半徑OP垂直、與x軸平行、與MN平行，所以v與成（）角，與圖2中上方的水平虛線成θ角，v與成（）角。在由速度矢量v、以及圖2上方虛線所構(gòu)成的三角形中，根據(jù)正弦定理有：，解得：（3）（4）其中為定值，因此兩分速度、都隨時(shí)間t按余弦規(guī)律變化，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)顯然也是簡諧運(yùn)動(dòng)，兩運(yùn)動(dòng)分別沿平行于x軸方向、平行于MN方向，并且它們的振幅、周期也相同，位相相差θ角。所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以分解為兩個(gè)方向成任意角度θ的簡諧運(yùn)動(dòng)。不難看出，前述的第一種分解實(shí)際上就是這里時(shí)的一種特殊情形。3分運(yùn)動(dòng)是兩個(gè)周期相同、速度相互正交的勻速圓周運(yùn)動(dòng)yORα-θθvv1v2QPα圖3Mθ設(shè)質(zhì)點(diǎn)以速度v從O點(diǎn)出發(fā)，沿順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在O點(diǎn)時(shí)速度方向與x軸成θ角，將速度yORα-θθvv1v2QPα圖3Mθ設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)半徑為R、圓心為P，由于PO與v垂直，所以O(shè)P與PM（PM與y軸平行）成θ角。再設(shè)質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)開始經(jīng)時(shí)間t轉(zhuǎn)過角到達(dá)Q點(diǎn)，則由幾何關(guān)系可知PQ與PM成（）角，因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（5）圖4yOxv1圖4yOxv1P1Q1αR1甲Ov2αP2R2Q2xy乙假設(shè)質(zhì)點(diǎn)以速度從O點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向順時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4（甲）所示。設(shè)其半徑為，經(jīng)時(shí)間t轉(zhuǎn)過角到達(dá)Q1點(diǎn)，因此Q1點(diǎn)的坐標(biāo)為（7）（8）同理，再假設(shè)質(zhì)點(diǎn)以速度從O點(diǎn)出發(fā)沿順時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4（乙）所示。設(shè)其半徑為，也經(jīng)時(shí)間t轉(zhuǎn)過角到達(dá)Q2點(diǎn)，則Q2點(diǎn)的坐標(biāo)為：（9）（10）將（7）、（9）兩式相加有：（11）將（8）、（10）兩式相加有：（12）由于分別以v、、各自做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，所以有：，并且根據(jù)圖3有：，，由以上兩式得：、，代入（11）、（12）兩式可得：，與（6）式比較有：（13）同理，不難計(jì)算，可得：（14）（13）、（14）兩式說明任一時(shí)刻以速度v做圓周運(yùn)動(dòng)的位移，總等于分別以其分速度、各自做圓周運(yùn)動(dòng)的位移之和，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)可解為兩個(gè)周期相同、速度相互正交的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。4分運(yùn)動(dòng)是兩個(gè)周期相同、速度成任意角度的勻速圓周運(yùn)動(dòng)本結(jié)論的證明采用前面的方法完全可行，但運(yùn)算過程更加復(fù)雜，這里不作推導(dǎo)。為此，我們換一種方法予以證明：如圖5所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，以速度v（沿x軸正方向）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，將速度v分解，得到兩分速度、，且、分別與v成、角。設(shè)質(zhì)點(diǎn)再經(jīng)任意時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，這時(shí)我們?nèi)钥蓪⒋丝痰乃矔r(shí)速度v分解，使它的兩個(gè)分量大小仍為、，且仍與v分別成、角。假設(shè)質(zhì)點(diǎn)從O到Q相對(duì)圓心P轉(zhuǎn)過角，不難看出，此過程合速度v以及兩個(gè)分速度、也都同時(shí)轉(zhuǎn)過了角，這說明勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v始終存在著這樣的兩個(gè)分速度：它們的大小以及與合速度v的夾角始終保持不變，并以相同的周期和旋轉(zhuǎn)方向隨著合速度v變化而變化。顯然，這兩個(gè)分速度、所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)也是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。α圖5yvOQxv2vα圖5yvOQxv2v1θ1θ2vv1v2θ1θ2P綜上所述，勻速圓周運(yùn)動(dòng)盡管本身已經(jīng)非常簡單，但我們?nèi)钥蓪?duì)它進(jìn)行分解。并隨著分解方式的不同，分運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜程度也不同，但結(jié)果都不如平拋的分運(yùn)動(dòng)那樣簡單、直觀。正是基于這樣的原因，在高中力學(xué)部分學(xué)習(xí)勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，鑒于學(xué)生的認(rèn)知水平和解決問題的煩難程度，教材采取了回避的態(tài)度，而不采用分解的方法處理勻速圓周運(yùn)動(dòng)，但由此也就產(chǎn)生了勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種最簡單的運(yùn)動(dòng)而不能再進(jìn)行分解的誤會(huì)。其實(shí)，任何一種運(yùn)動(dòng)，原則上都可以對(duì)它的速度進(jìn)行分解，分速度所對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)就是它的分運(yùn)動(dòng)，不過如果分運(yùn)動(dòng)過于復(fù)雜，就失去了分解的意義。這一點(diǎn)，在學(xué)習(xí)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，為消除學(xué)生的困惑，應(yīng)該向?qū)W生作簡要說明。