高數(shù)例題課件第八章空間解析幾何與向量代數(shù)

高數(shù)例題課件第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）自由向量：與起點(diǎn)無關(guān)的向量。

對(duì)于自由向量，如果兩個(gè)向量的大小相等，且方向相同，我們就說向量是相等的，記做經(jīng)過平行移動(dòng)后能完全重合的向量是相等的。第二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（三）向量的模：向量的大小叫做向量的模。向量的模依次記作

模等于1的向量叫做單位向量，模等于0的向量叫做零向量，記作，零向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，它的方向可以看做是任意的。第三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（四）兩相量的夾角、向量與一軸的夾角，空間兩軸的夾角。①兩向量的夾角設(shè)有兩個(gè)非零向量，任取空間一點(diǎn)O，作，規(guī)定不超過稱為向量的夾角，記作即。若向量中有一個(gè)是零向量，規(guī)定它們的夾角可在之間任意取值，包括第四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二②向量與一軸、空間兩軸的夾角

過空間一點(diǎn)O，作向量,作軸的平行線，則與軸的正向所夾的不超過的角叫做向量與一軸的夾角。第五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（五）向量平行兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或者相反，就稱這兩個(gè)向量平行，記做

，由于零向量的方向可以看作是任意的，因此可以認(rèn)為零向量與任何向量都平行。第六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（六）兩向量共線：當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)和公共起點(diǎn)應(yīng)在一條直線上，因此，兩向量平行又稱兩向量共線。第七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（七）向量共面：設(shè)有個(gè)向量，當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，如果個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上，就稱這個(gè)向量共面。（八）負(fù)向量：設(shè)為一個(gè)向量，與的模相同而方向相反的向量叫做的負(fù)向量，記做第八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、向量的線性運(yùn)算（一）向量的加法1、向量加法的規(guī)定（1）三角形法則：設(shè)有兩個(gè)向量，任取一點(diǎn)A,作

,再以B為起點(diǎn)，作，連接AC，那么向量稱為向量的和，記做，即。第九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）平行四邊形法則

當(dāng)向量不平行時(shí)，作，以AB、AD為邊作一平行四邊形ABCD，連接對(duì)角線AC，則即為的和。第十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1．已知的夾角為，求第十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.加法的運(yùn)算律(1).交換律：(2).結(jié)合律：第十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二3.n個(gè)向量相加

使前一向量的終點(diǎn)作為次一向量的起點(diǎn)，相繼做向量，再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)做一向量，即為這n個(gè)向量的和第十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(二)向量的減法規(guī)定：第十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（三）向量與數(shù)的乘法1、向量與數(shù)的乘法的規(guī)定向量與實(shí)數(shù)的乘積記做，規(guī)定向量是一個(gè)向量，它的模它的方向，當(dāng)?shù)姆较蛳嗤?，?dāng)?shù)姆较蛳喾础?/p>

第十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

特別地，當(dāng)，即是零向量，這時(shí)它的方向可以是任意的；第十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2、運(yùn)算律（1）結(jié)合律（2）分配律第十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例2．在平行四邊形中，設(shè)，試用表示向量

。第十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（四）兩向量平行定理定理1：設(shè)向量，那么，向量的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使。第十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、空間直角坐標(biāo)系（一）空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)1、在空間取定一點(diǎn)和三個(gè)兩兩互相垂直的單位向量就確定了三條都以為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸，依次記為統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸。它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，稱為坐標(biāo)系或坐標(biāo)系，

第二十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2、坐標(biāo)面三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面稱為坐標(biāo)面，分別叫做xoy面、yoz面、zox面。3、卦限三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一部分叫做卦限。第二十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.向量的坐標(biāo)分解式其中稱為向量沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量，有序數(shù)稱為向量的坐標(biāo)，有序數(shù)也稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)第二十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二四、利用坐標(biāo)做向量的線性運(yùn)算

1.設(shè)

則第二十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.兩向量平行的充要條件設(shè)則∥其中第二十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例3．求解以向量為未知元的線性方程組其中

第二十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例4．已知兩點(diǎn)以及實(shí)數(shù)，在直線上求點(diǎn),使。

第二十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二五、向量的模、方向角、投影1、向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)則另設(shè)點(diǎn)AB則點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離為第二十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例7．求證以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形。第二十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例8．在軸上求與兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)。第二十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例9．已知兩點(diǎn)

求與方向相同的單位向量。第三十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2、方向角與方向余弦（1）非零向量的方向角，方向余弦:

非零向量與三條坐標(biāo)軸的夾角稱為非零向量的方向角。把方向角的余弦叫做向量的方向余弦。第三十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）關(guān)系式設(shè)為向量的方向角，則有①②其中是與同方向的單位向量第三十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例10．設(shè)已知兩點(diǎn)計(jì)算向量的模，方向余弦和方向角。第三十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例12．設(shè)點(diǎn)位于第卦限，向徑與軸、軸夾角依次為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)。第三十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二3.向量在軸上的投影（1）空間一點(diǎn)及向量在軸上的投影①點(diǎn)的投影設(shè)已知空間一點(diǎn)M以及一軸，通過作軸的垂直平面，那么平面與軸的交點(diǎn)叫做點(diǎn)在軸上的投影。第三十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二②向量在軸上的投影一般地，設(shè)點(diǎn)及單位向量確定軸，任給向量再過點(diǎn)作與軸垂直的平面交軸于點(diǎn)則向量稱為向量在軸上的分向量，設(shè)則數(shù)稱為向量在軸上的投影，記作

第三十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）向量的投影的性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：第三十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例14．設(shè)立方體一條對(duì)角線為一條棱為，且，求方向上的投影。第三十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二§7-2數(shù)量積向量積混合積一、兩向量的數(shù)量積（一）數(shù)量積的定義對(duì)兩個(gè)向量做這樣的運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)數(shù)，它等于及它們的夾角的余弦的乘積，把它叫做向量的數(shù)量積，記為

第三十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）數(shù)量積的性質(zhì)1.2.3.若則從而有第四十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.若則從而有第四十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（三）數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律1、交換律：2、分配律：3、結(jié)合律：為常數(shù)

第四十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1．試用向量證明三角形的

余弦定理。第四十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（四）兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則（五）兩向量互相垂直的充要條件第四十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（五）兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示設(shè)

為向量的夾角，則第四十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例2．在坐標(biāo)面上，求出與向量垂直的單位向量。第四十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例3．設(shè)質(zhì)量為100kg的物體從點(diǎn)沿直線移動(dòng)到點(diǎn)

，計(jì)算重力所作的功（長(zhǎng)度單位m）第四十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例4．已知三點(diǎn)，求。第四十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、兩向量的向量積（一）向量的向量積（定義）由下列三個(gè)條件所確定的向量，叫做向量的向量積，記作：1、的模，其中之間的夾角。第四十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2、向量垂直于所確定的平面3、向量的方向滿足右手規(guī)則即當(dāng)右手的四個(gè)手指從以不超過的角轉(zhuǎn)向握拳時(shí)，大拇指的指向就是的方向。第五十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）向量積的幾何意義兩向量的向量積的模等于以為邊構(gòu)成的平行四邊形的面積，等于以為邊組成的三角形面積的二倍。第五十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（三）向量積的性質(zhì)1.2.∥第五十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（四）向量積的運(yùn)算律1、（不滿足交換律）2、數(shù)乘結(jié)合律3、分配律：第五十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（五）向量積的坐標(biāo)表示設(shè)則第五十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例5．設(shè)，

計(jì)算。第五十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例6．已知的頂點(diǎn)分別為求三角形的面積。第五十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、向量的混合積（一）定義：設(shè)已知三個(gè)向量如果先作向量的向量積，把所得到的向量與第三個(gè)向量，再作數(shù)量積，這樣得到的數(shù)量叫做三向量混合積，記作第五十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）混合積的坐標(biāo)表示則第五十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（三）向量的混合積的幾何意義向量的混合積的是一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表示以向量為棱的平行六面體的體積，如果組成右手系（即的指向按右手規(guī)則從來確定），那么混合積的符號(hào)是正的，如果組成左手系（即的指向按左手規(guī)則從來確定），那么混合積的符號(hào)是負(fù)的。第五十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（四）混合積的其它性質(zhì)1、2、三向量共面的充要條件是第六十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二§7-3曲面及其方程一、曲面方程的概念（一）定義：如果曲面與三元方程，有下述關(guān)系（1）曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程。第六十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲面上，（或不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程）那么方程就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的圖形。第六十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例1．建立球心在點(diǎn)

半徑為R的球面方程。第六十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例2．設(shè)點(diǎn)和，求線段的垂直平分面的方程。第六十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例3．方程表示怎樣的曲面。第六十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法（一）定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，這條直線叫做旋轉(zhuǎn)曲線的的軸。旋轉(zhuǎn)曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線·第六十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）旋轉(zhuǎn)曲面方程的規(guī)律性1、在oyz平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為，在方程中以以而得到的方程，即為旋轉(zhuǎn)曲面方程。繞Z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為，第六十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二在方程中，以，以，而得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程2、在oxz平面,oxy平面上的曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)也有相同的規(guī)律性。第六十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（三）圓錐面：直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面，兩直線的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線的夾角叫做圓錐面的半頂角。第六十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例4．試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，半頂角為的圓錐面的方程。第七十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例5．將xoz坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞軸和Z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。第七十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、柱面例6．方程表示怎樣的曲面？第七十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）柱面、準(zhǔn)線、母線的定義平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線形成的軌跡叫做柱面，定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫做柱面的母線。（三）柱面方程的特點(diǎn)

1.對(duì)于一個(gè)柱面來說，當(dāng)柱面的母線平行于坐標(biāo)軸時(shí)，柱面的方程不含對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，反之，一個(gè)不包含某個(gè)坐標(biāo)的方程表示母線平行于對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸的柱面。第七十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.只含而缺的方程在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于軸的柱面，其準(zhǔn)線是面上的曲線第七十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例7．畫出方程所表示的曲面第七十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例8．說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的？

第七十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二四、二次曲面（1）橢圓錐面第七十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二平面與曲面的交線稱為截痕，通過綜合截痕的變化來了解曲面形狀的方法稱為截痕法第七十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（2）橢球面第七十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（3）單葉雙曲面第八十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（4）雙葉雙曲面第八十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（5）橢圓拋物面

第八十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（6）雙曲拋物面第八十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（7）還有三種二次曲面是以三種二次曲線為準(zhǔn)線的柱面

依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面。第八十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二§7-4空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程（一）定義：同時(shí)屬于兩個(gè)曲面的點(diǎn)的軌跡叫做空間曲線，空間曲線是兩個(gè)曲面的交線。第八十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）空間曲線的一般方程是兩個(gè)已知曲面的方程，坐標(biāo)滿足方程組：的點(diǎn)的軌跡是一條空間曲線，我們把方程組（1）叫做空間曲線的一般方程。第八十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1．方程組

表示怎樣的曲線。第八十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例2．方程組表示怎樣的曲線。第八十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、空間曲線的參數(shù)方程（一）定義：如果把曲線C看作是動(dòng)點(diǎn)的軌跡，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)又是參數(shù)t的函數(shù)

當(dāng)給定時(shí)，就得到C上的點(diǎn)，隨著t的變動(dòng)便可得到曲線C上的全部點(diǎn)，該方程組叫做空間曲線的參數(shù)方程。第八十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）通過曲面的曲面束方程

設(shè)曲線的方程為，則對(duì)任意實(shí)數(shù)即為通過曲面的曲面束方程，其中不全為零第九十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（三）空間曲線與曲面的交點(diǎn)

設(shè)曲線的方程為及曲面，則曲線與曲面的交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組的解

第九十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例4．如果空間一點(diǎn)M在圓柱面上以角速度繞Z軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度沿平行于Z軸的正方向上升（其中都是常數(shù)），那么點(diǎn)M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線，試建立其參數(shù)方程。第九十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影（一）定義：設(shè)有空間曲線C的一般方程為以曲線C為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關(guān)于的投影柱面，投影柱面與的交線叫空間曲線C在的投影曲線，簡(jiǎn)稱投影。第九十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例6．已知兩球面的方程為（1）和

（2）

求它們的交線C在面上的投影方程。第九十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例7．設(shè)一個(gè)立體由上半球面和錐面所圍成，求它在面上的投影。第九十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例8．求旋轉(zhuǎn)拋物面在三坐標(biāo)面上的投影。第九十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例5．將曲線化成參數(shù)方程。第九十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例9．求上半球與圓柱體的公共部分在面和面上的投影。第九十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二§7-5平面及其方程一、平面的點(diǎn)法式方程（一）平面的法線向量

如果一非零向量垂直于一平面，這個(gè)向量叫做該平面的法線向量。第九十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）平面的點(diǎn)法式方程已知平面的法向量及平面上一點(diǎn)把由平面上一點(diǎn)及平面的法向量所確定的平面方程；叫做平面的點(diǎn)法式方程。第一百頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1．已知一個(gè)平面通過點(diǎn)并且垂直于與點(diǎn)的連線，求平面方程。第一百零一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例2．求過三點(diǎn)的平面的方程。第一百零二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、平面的一般方程㈠平面和三元一次方程的關(guān)系每個(gè)平面的方程都是三元一次方程，而每個(gè)三元一次方程又都確定一個(gè)平面.第一百零三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）平面的一般方程及法向量

把方程叫做平面的一般式方程，它的法向量第一百零四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例3．一個(gè)平面過兩點(diǎn)且垂直于平面，求此平面方程。第一百零五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二㈢幾種特殊的平面方程1.當(dāng)時(shí),方程為,它表示一個(gè)通過原點(diǎn)的平面。2.當(dāng)時(shí),方程為,它表示法線向量垂直于軸,方程表示一個(gè)平行于軸的平面。3.當(dāng)時(shí),方程,它表示一個(gè)法線向量垂直于軸,方程表示一個(gè)平行于面的平面。第一百零六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例4．求通過軸和點(diǎn)的平面的方程。第一百零七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例5．一平面通過原點(diǎn)，而且與平面都垂直，求此平面方程。第一百零八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二㈣平面的截距式方程

例6.設(shè)一平面與軸的交點(diǎn)依次為三點(diǎn)求此平面的方程。第一百零九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二三、兩平面的夾角（一）定義：兩平面的法線向量的夾角（通常指銳角）稱為兩平面的夾角。第一百一十頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(二)兩平面的夾角公式的求法設(shè)兩平面的法向量分別為則兩平面的夾角可由來確定。第一百一十一頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例7．求兩平面的夾角。第一百一十二頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二㈢兩平面互相垂直、平行與重合的充要條件設(shè)兩個(gè)平面的法向量為

1.兩平面互相垂直2.兩個(gè)平面平行3.兩個(gè)平面重合第一百一十三頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例8．證明：（1）與平面平行。（2）平面垂直。第一百一十四頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二㈣點(diǎn)到平面的距離例9．設(shè)是平面外一點(diǎn)，求到這平面的距離。第一百一十五頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例10．試求平行平面間的距離。第一百一十六頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、空間直線的一般方程（一）空間直線的一般方程把方程組叫做空間直線的一般方程?！?-6空間直線及其方程第一百一十七頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程（一）相關(guān)定義：1、直線的方向向量：如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量。2、直線的一組方向數(shù)：直線的任一方向向量的坐標(biāo)叫做這直線的一組方向數(shù)。第一百一十八頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程設(shè)直線L的方向向量為，直線L過點(diǎn)把叫做直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程。第一百一十九頁(yè)，共一百三十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二（三）直線的參數(shù)方程

直線的對(duì)稱式方程為