高中數(shù)學(xué)-《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

1．讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。

2．通過對實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。

3．通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

4．培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過程。本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)必修5》（人教a版）第一章，正弦定理第一課時(shí)，是在高二學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識(shí)之后，顯然是對三角知識(shí)的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。

根據(jù)實(shí)際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一層次教師通過引導(dǎo)學(xué)生對實(shí)際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過“作高法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進(jìn)行簡單的應(yīng)用。學(xué)生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察——實(shí)驗(yàn)——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。對普高高二的學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識(shí)，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅。復(fù)習(xí)回顧1同一三角形中邊、角之間的關(guān)系有哪些？2思考：若一邊比另一邊大2個(gè)單位，那么相對應(yīng)的角大了多少呢？能否得到邊角準(zhǔn)確的量化關(guān)系呢？新課導(dǎo)學(xué)在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)直角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，，又,A則bc從而在直角三角形ABC中，CaB(圖1．1-2)思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1．1-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則，C同理可得，ba從而AcB(圖1．1-3)類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即[理解定理]等價(jià)于，，從而知正弦定理的基本作用為：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。解三角形：一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。[例題分析]例1．在中，已知，，cm，解三角形。練習(xí)一：評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。變一變：例2中的已知條件分別給成以下條件，求B課堂小結(jié):（由學(xué)生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：；（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。課后作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]A組第1、2題。檢測評價(jià)：1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于()A．4eq\r(2)B．4eq\r(3)C．4eq\r(6)D.eq\f(32,3)2．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，如果c＝eq\r(3)a，B＝30°，那么角C等于()A．120°B．105°C．90°D．75°3．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，則這個(gè)三角形解的情況是()A．有兩個(gè)解B．有一個(gè)解C．無解D．不能確定4.在△ABC中，若，則與的大小關(guān)系為（）.A.B.C.≥D.、的大小關(guān)系不能確定5.已知ABC中，A，，則=．6．在△ABC中，AC＝eq\r(6)，BC＝2，∠B＝60°，則C＝________.7.已知△ABC中，c＝6，A＝30°，B＝，解此三角形．8.已知ΔABC，a=3，b=，A=600，解三角形:本課之前學(xué)生已學(xué)習(xí)過三角函數(shù)，平面幾何，平面向量等與本課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，學(xué)生基本都能夠理解和掌握正弦定理的推導(dǎo)及證明過程，但在定理的應(yīng)用上存在問題，尤其是已知兩邊一角解三角形時(shí)，很多學(xué)生不會(huì)分析解的情況。本節(jié)課是典型合作探究課，教師先設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生討論問題解決方案，將方案數(shù)學(xué)化，歸納出一類數(shù)學(xué)問題“在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊”，順利地引入新課，實(shí)現(xiàn)了從“現(xiàn)象”到“本質(zhì)”的飛躍，培養(yǎng)了學(xué)生提出問題、分析問題、數(shù)學(xué)建模的能力。為尋求解決問題的普遍方法，對三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行探索，在特殊情況（直角三角形）下得到正弦定理，又在等邊三角形和一般三角形中驗(yàn)證，堅(jiān)定了結(jié)論成立的猜想，最后通過嚴(yán)格證明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理問題迎仞而解。從而使學(xué)生親身經(jīng)歷了“情境思考”—“提出問題”—“研究特例”—“歸納猜想”—“實(shí)驗(yàn)探究”—“理論探究”—“解決問題”—“反思總結(jié)”的歷程，學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的方法，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂。為了使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程。我想到了“情境——問題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個(gè)以情境為基礎(chǔ)，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境——問題”學(xué)習(xí)鏈，并根據(jù)上述精神，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，具體做出了如下設(shè)計(jì)：①創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題情境作為提出問題的背景（②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問題，逐步將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性問題4與5時(shí)需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個(gè)問題需要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板