2022-2023學(xué)年湖南省婁底市金鳳中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省婁底市金鳳中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義在R上的函數(shù)則f(3)的值為()A.－1

B.－2

C．1

D．2參考答案：B2.已知函數(shù),則的值是（）A． B．

C．

D．參考答案：B略3.直線（為參數(shù)）被曲線所截的弦長(zhǎng)為 （A） （B） （C） （D）

參考答案：A考點(diǎn)：參數(shù)和普通方程互化極坐標(biāo)方程化標(biāo)準(zhǔn)方程為：直線x+2y-2=0;圓：圓心（2,0），半徑為2．

因?yàn)閳A心恰在直線上，所以直線被曲線所截的弦恰為直徑，所以為4．

故答案為：A4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D5.已知集合，，則

（

）

A．

B．

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C．

D．

參考答案：D略6.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值可能是A.

B.

C.

D.參考答案：C7.在四面體S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為（）A．11π B．7π C． D．參考答案：D考點(diǎn)：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圓半徑為r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA為等腰三角形，則有該三棱錐的外接球的半徑R═=，∴該三棱錐的外接球的表面積為S=4πR2=4π×（）2=．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關(guān)系，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵．8.設(shè)已知均為整數(shù)(),若和被除所得的余數(shù)相同,則稱和對(duì)模同余,記為,若,且,則的值可以是(

)A.2011

B.2012

C.2013

D.2014

參考答案：A9.下列選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤的是（）A．命題“若x≠l，則x2﹣3x+2≠0”的逆否命題是“若x2﹣3x+2=0，則x=1”B．若p∨q為真命題，則p，q均為真命題C．若命題p：?x∈R，x2+x+1≠0，則?p：?x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】A“若p則q，“的逆否命題為“若﹣p則﹣q“．故A正確；Bp∨q為真命題說(shuō)明p和q中至少有一個(gè)為真；C是全稱命題與存在性命題的轉(zhuǎn)化；D從充要條件方面判斷．【解答】解：A原命題為“若p則q，“，則它的逆否命題為“若﹣p則﹣q“．故正確；B當(dāng)p，q中至少有一個(gè)為真命題時(shí)，則p∨q為真命題．故錯(cuò)誤．C正確．D由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2顯然x＞2?x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要條件，故正確．故選B10.若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，則tanα的值等于(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；二倍角的余弦．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)后，得到關(guān)于sinα的方程，根據(jù)α的度數(shù)，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函數(shù)值，由α的范圍即可得到α的度數(shù)，利用α的度數(shù)求出tanα即可．【解答】解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，則sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，則α=，所以tanα=tan=．故選D【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)注意角度的范圍．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知球O的表面積是36π，A，B是球面上的兩點(diǎn)，∠AOB=60°，C時(shí)球面上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體OABC體積V的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】球O的表面積為36π，可得半徑為3，當(dāng)CO垂直于面AOB時(shí)，三棱錐O﹣ABC的體積最大，即可求出三棱錐O﹣ABC的體積的最大值．【解答】解：：球O的表面積為36π，半徑為3，當(dāng)CO垂直于面AOB時(shí)，三棱錐O﹣ABC的體積最大，此時(shí)VO﹣ABC=VC﹣AOB==故答案為：，12.已知曲線及點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)可向曲線引切線，其切線共有

▲

條.參考答案：3略13.在4×□+9×□=60的兩個(gè)□中分別填入兩個(gè)正整數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，則應(yīng)分別填上 和 。參考答案：略14.定義在上的函數(shù)，滿足，（1）若，則

.（2）若，則

（用含的式子表示）.

參考答案：略15.在平行四邊形中，,,為中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為

．參考答案：6

16.若在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在單位圓x2+y2=1內(nèi)的概率是．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】由我們易畫出圖象求出其對(duì)應(yīng)的面積，即所有基本事件總數(shù)對(duì)應(yīng)的幾何量，再求出區(qū)域內(nèi)也單位圓重合部分的面積，代入幾何概型計(jì)算公式，即可得到答案．【解答】解：滿足約束條件區(qū)域?yàn)椤鰽BC內(nèi)部（含邊界），與單位圓x2+y2=1的公共部分如圖中陰影部分所示，則點(diǎn)P落在單位圓x2+y2=1內(nèi)的概率概率為P===．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型，二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=N（A）÷N求解．17.不等式的解集為

．參考答案：試題分析：原不等式等價(jià)于如下不等式組：（1），（2），（3），所以原不等式的解集為.考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意，都有．參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即．……………4分（2），定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，，故函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，得．x↘極小值↗綜上所述，當(dāng)時(shí)，在(0,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．……………9分（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

顯然，，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，對(duì)任意，都有，所以．所以，即，所以，即，所以，即，所以．……………16分

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC,AC,，點(diǎn)M在線段PD上.（I）求證：平面PAC；（II）若二面角M-AC-D的大小為，試確定點(diǎn)M的位置.參考答案：解證：（Ⅰ）因?yàn)槠矫?，平面所?

…………………2分又因?yàn)椋?，平面?所以平面

…………………3分又因?yàn)槠矫妫矫?，所?/p>

…………………4分因?yàn)?，，平面?所以平面

………6分（Ⅱ）因?yàn)椤推矫?，又由（Ⅰ）知，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,,，,,設(shè)，,則，故點(diǎn)坐標(biāo)為,

………………8分設(shè)平面的法向量為，則………………9分所以令，則.

………………10分又平面的法向量

所以,

解得故點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

………………12分

略20.（本小題滿分13分）如圖，某機(jī)場(chǎng)建在一個(gè)海灣的半島上，飛機(jī)跑道AB的長(zhǎng)為4.5km，且跑道所在直線與海岸線，的夾角為60°（海岸線看作直線），跑道上距離海岸線最近的點(diǎn)B到海岸線的距離BC=4，D為海岸線l上的一點(diǎn)．設(shè)CD=xkm（x>），點(diǎn)D對(duì)跑道AB的視角為． （1）將tan表示為x的函數(shù)： （2）求點(diǎn)D的位置，使得取得最大值．參考答案：解：（Ⅰ）過(guò)A分別作直線CD、BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).由題設(shè)知，∠ABF=30°，∴，又，∵時(shí)，∴，其中即………………7分（Ⅱ）記，由可知是銳角．而………………10分∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，函數(shù)在時(shí)取得最大值，而上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取得最大值．答：在海岸線l上距離C點(diǎn)6km處的D點(diǎn)觀看飛機(jī)跑道的視角最大．………13分21.（本小題滿分12分）某數(shù)學(xué)老師對(duì)本校2013屆高三學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)按1:200進(jìn)行分層抽樣抽取了20名學(xué)生的成績(jī)，并用莖葉圖記錄分?jǐn)?shù)如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失，同時(shí)得到如下所示的頻率分布表：分?jǐn)?shù)段（分）[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)總計(jì)頻數(shù)

b

頻率a0.25

（1）求表中a，b的值及分?jǐn)?shù)在[90,100)范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，并估計(jì)這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率（分?jǐn)?shù)在[90,150）內(nèi)為及格）：（2）從成績(jī)?cè)赱100,130)范圍內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選4人，設(shè)其中成績(jī)?cè)赱100,110)內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案：（1），，[90,100)范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為4，及格率為；（2）分布列詳見解析，.（2）由莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在[100,130)范圍內(nèi)的有7人，分?jǐn)?shù)在[100,110)范圍內(nèi)的有4人，則隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.相應(yīng)的概率為：P(X=1)==；P(X=2)==；P(X=3)==；P(X=4)==.隨機(jī)變量X的分布列為X1234PE(X)=1×+2×+3×+4×=考點(diǎn)：1.莖葉圖；2.頻率；3.隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22.（本小題滿分10分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝AC＝4，AA1⊥平面ABC；AB⊥AC，

（1）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；

（2）在線段BC1存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，求的值．參考答案：（1）如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－,

則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),