2022-2023學(xué)年山西省大同市同煤第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年山西省大同市同煤第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復(fù)數(shù)A. B. C. D.參考答案：B2.已知函數(shù)f（x）=，則y=f（x）的大致圖象為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】函數(shù)的圖象．【分析】化簡解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的圖象即可．【解答】解：函數(shù)f（x）==1﹣，因為函數(shù)y=e2x，是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=，是增函數(shù)，可知函數(shù)的圖象只有B滿足題意．故選：B．3.一個正方體的八個頂點都在同一個球面上，已知這個球的表面積是12π，那么這個正方體的體積是（

）A．

B．

C．8

D．24參考答案：C

設(shè)球的半徑為R，則，從而，所以正方體的體對角線為2，故正方體的棱長為2，體積為。

4.下列函數(shù)中，滿足f（xy）=f（x）+f（y）的單調(diào)遞增函數(shù)是(

) A．f（x）=log2x B．f（x）=x2 C．f（x）=2x D．f（x）=x參考答案：A考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì)即可得到答案解答： 解：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知A為單調(diào)遞增函數(shù)，D為單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知C為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知B：f（x）=x2（﹣∞，0）為單調(diào)減函數(shù)，在（0，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)，因為2x+2y≠2xy，故不滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（x）+f（y）=log2x+log2y=f（x）=log2xy=f（xy），故選：A點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5.若集合，且，則集合可能是

A．

B．

C．

D．

參考答案：A因為，所以，因為，所以答案選A.6.如圖所示的程序框圖，該算法的功能是A．計算…的值B．計算…的值C．計算……的值D．計算……的值參考答案：

初始值，第次進入循環(huán)體：，；當(dāng)?shù)诖芜M入循環(huán)體時：，，…，給定正整數(shù)，當(dāng)時，最后一次進入循環(huán)體，則有：…，，退出循環(huán)體，輸出……，故選．7.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說法中正確的是（

）A．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第一象限．B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．C．若復(fù)數(shù)（）為純虛數(shù)，則．D．設(shè)為復(fù)數(shù)的實部和虛部，則點在以原點為圓心，半徑為1的圓上．參考答案：C8.對于非空集合A，B，定義運算：,已知M=其中a、b、c、d滿足a+b=c+d,ab<cd<0,則MN=

A．(a,d)

B．

C．

D．參考答案：D9.設(shè)Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和，若a5=2b5，則=（）A．2 B．3 C．4 D．6參考答案：A【考點】向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式即可得出，而a1+a9=2a5，b1+b9=2b5，再根據(jù)條件a5=2b5，這樣即可求出的值．【解答】解：根據(jù)題意：====2．故選A．10.如圖所示的程序框圖，若輸出的，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B

考點：程序框圖二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓（x﹣a）2+（y﹣b）2=4過坐標(biāo)原點，則a+b的最大值是．參考答案：2考點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；基本不等式．專題：計算題；直線與圓．分析：先確定a2+b2=4，再利用（a+b）2≤2（a2+b2）=8，即可求出a+b的最大值．解答：解：∵圓（x﹣a）2+（y﹣b）2=4過坐標(biāo)原點，∴a2+b2=4，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=8∴a+b的最大值是2．故答案為：2．點評：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本不等式的運用，比較基礎(chǔ)12.冬季供暖就要開始，現(xiàn)分配出5名水暖工去3個不同的居民小區(qū)檢查暖氣管道，每名水暖工只去一個小區(qū)，且每個小區(qū)都要有人去檢查，那么分配的方案共有種．參考答案：150【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】依題意，可分兩類：①（3，1，1）；②（2，2，1）；利用排列組合的知識解決即可．【解答】解：根據(jù)題意，分配5名水暖工去3個不同的小區(qū)，要求5名水暖工都分配出去，且每個小區(qū)都要有人去檢查，5人可以分為（2，2，1），（3，1，1），分組方法共有+C53=25種，分別分配到3個不同的小區(qū)，有A33種情況，由分步計數(shù)原理，可得共25A33=150種不同分配方案，故答案為：150．13.已知函數(shù)f（x）=，那么不等式f（x）≥1的解集為

．參考答案：（﹣∞，0]∪[3，+∞）【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】利用特殊函數(shù)的單調(diào)性，分步討論【解答】解：∵函數(shù)在x＞0時為增函數(shù)，且故當(dāng)[3，+∞）時，f（x）≥1∵函數(shù)在x≤0時為減函數(shù)，又知=1，故當(dāng)（﹣∞，0]時，f（x）≥1故答案為（﹣∞，0]∪[3，+∞）14.運行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為

.參考答案：1115.正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為，此時四面體ABCD外接球表面積為．參考答案：5π【考點】LG：球的體積和表面積．【分析】三棱錐B﹣ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積．【解答】解：根據(jù)題意可知三棱錐B﹣ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面邊長為1，1，，由題意可得：三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，球心到底面的距離為1，底面中心到底面三角形的頂點的距離為：，∴球的半徑為r==．外接球的表面積為：4πr2=5π．故答案為：5π．16.設(shè)點P在圓上移動，點Q滿足條件，則的最大值是

．參考答案：設(shè)圓的圓心，不等式組所圍成的可行域為，且，點M與中的點的最大距離為，圓半徑為1，故的最大值為。

17.(文)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為2，且側(cè)棱AA1底面ABC，其正（主）視圖是邊長為2的正方形，則此三棱柱側(cè)（左）視圖的面積為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，面積為S，已知acos2+ccos2=b（1）求證：a、b、c成等差數(shù)列；（2）若B=，S=4求b．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，整理后再利用正弦定理化簡，利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷即可得證；（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把sinB與已知面積代入求出ac的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，整理得出b的值即可．【解答】解：（1）由正弦定理得：sinAcos2+sinCcos2=sinB，即sinA?+sinC?=sinB，∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，∵sin（A+C）=sinB，∴sinA+sinC=2sinB，由正弦定理化簡得：a+c=2b，∴a，b，c成等差數(shù)列；（2）∵S=acsinB=ac=4，∴ac=16，又b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，由（1）得：a+c=2b，∴b2=4b2﹣48，即b2=16，解得：b=4．【點評】此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．19.（2017?涼山州模擬）設(shè)k∈R，函數(shù)f（x）=lnx﹣kx．（1）若k=2，求曲線y=f（x）在P（1，﹣2）處的切線方程；（2）若f（x）無零點，求實數(shù)k的取值范圍；（3）若f（x）有兩個相異零點x1，x2，求證：lnx1+lnx2＞2．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)k=2時f'（1）=﹣1，帖點斜式寫出切線方程即可；（2）當(dāng)k＜0時，由f（1）?f（ek）＜0可知函數(shù)有零點，不符合題意；當(dāng)k=0時，函數(shù)f（x）=lnx有唯一零點x=1有唯一零點，不符合題意；當(dāng)k＞0時，由單調(diào)性可知函數(shù)有最大值，由函數(shù)的最大值小于零列出不等式，解之即可；（3）設(shè)f（x）的兩個相異零點為x1，x2，設(shè)x1＞x2＞0，則lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0，兩式作差可得，lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2）即lnx1+lnx2=k（x1+x2），由可得lnx1+lnx2＞2即k（x1+x2）＞2，，設(shè)上式轉(zhuǎn)化為（t＞1），構(gòu)造函數(shù)，證g（t）＞g（1）=0即可．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），，當(dāng)k=2時，f'（1）=1﹣2=﹣1，則切線方程為y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0；（2）①若k＜0時，則f'（x）＞0，f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)，∵f（1）=﹣k＞0，f（ek）=k﹣kea=k（1﹣ek）＜0，∴f（1）?f（ek）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）有唯一零點；②若k=0，f（x）=lnx有唯一零點x=1；③若k＞0，令f'（x）=0，得，在區(qū)間上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；在區(qū)間上，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；故在區(qū)間（0，+∞）上，f（x）的極大值為，由于f（x）無零點，須使，解得，故所求實數(shù)k的取值范圍是；（3）證明：設(shè)f（x）的兩個相異零點為x1，x2，設(shè)x1＞x2＞0，∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴l(xiāng)nx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0，∴l(xiāng)nx1﹣lnx2=k（x1﹣x2），lnx1+lnx2=k（x1+x2），∵，故lnx1+lnx2＞2，故k（x1+x2）＞2，即，即，設(shè)上式轉(zhuǎn)化為（t＞1），設(shè)，∴，∴g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（t）＞g（1）=0，∴，∴l(xiāng)nx1+lnx2＞2．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論思想方法和構(gòu)造函數(shù)法，以及轉(zhuǎn)化思想的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．20.（本題滿分18分）設(shè)、為坐標(biāo)平面上的點，直線（為坐標(biāo)原點）與拋物線交于點(異于).（1）若對任意，點在拋物線上，試問當(dāng)為何值時，點在某一圓上，并求出該圓方程；（2）若點在橢圓上，試問：點能否在某一雙曲線上，若能，求出該雙曲線方程，若不能，說明理由；（3）對（1）中點所在圓方程，設(shè)、是圓上兩點，且滿足，試問：是否存在一個定圓，使直線恒與圓相切.參考答案：（1），代入當(dāng)時，點在圓上（2）在橢圓上，即可設(shè)又，于是（令）點在雙曲線上（3）圓的方程為設(shè)由

又，又原點到直線距離，即原點到直線的距離恒為直線恒與圓相切.21.已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ=0．（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離d的取值范圍．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】計算題；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（Ⅰ）應(yīng)用代入法，將t=x+3代入y=t，即可得到直線l的普通方程；將x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入曲線C的極坐標(biāo)方程，即得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）由圓的參數(shù)方程設(shè)出點P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，根據(jù)點到直線的距離公式得到d的式子，并應(yīng)用三角函數(shù)的兩角和的余弦公式，以及三角函數(shù)的值域化簡，即可得到d的范圍．【解答】解：（I）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將t=x+3代入y=t，得直線l的普通方程為x﹣y=0；曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ=0，將x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即得曲線C的直角坐標(biāo)方程：（x﹣2）2+y2=4；（II）設(shè)點P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，則d==，∴d的取值范圍是：[，]．【點評】本題考查參數(shù)方程化為普通方程，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，同時考查圓上一點到直線的距離的最值，本題也可利用圓上一點到直線的距離的最大（最?。┦菆A心到直線的距離加半徑（減半徑）．22.若函數(shù)的定義域為集合A，函數(shù)g（x）=lg（x2﹣（2a+1）x+a2+a）的定義域為集B（1）求集合A，B；（2）若A∩B=A，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)的定義域及其求法；交集及其運算．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于0，以及對數(shù)的真數(shù)大于0，解關(guān)于x的不等式即可得到兩個函數(shù)的定義域，從而得到集合A和集合B；（2）根據(jù)題意，集合A是集合B的子集．由此結(jié)合數(shù)軸建立關(guān)于x的不等式，