2021年湖南省岳陽(yáng)市市第十三中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021年湖南省岳陽(yáng)市市第十三中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.方程的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)是（）．A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】令，判斷的單調(diào)性，計(jì)算極值，從而得出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：令，則，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，又時(shí)，，時(shí)，，∴有個(gè)零點(diǎn)，即發(fā)出有解．故選．2.在圓內(nèi)過(guò)點(diǎn)有條弦的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為數(shù)列首項(xiàng)，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為，若公差，那么的最大取值為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C3.如果，那么的最小值是（

） A．4 B． C．9 D．18參考答案：D

4.已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為01則的期望為（A）

（B）

（C）

（D）或參考答案：C6.四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．若AB=2，則球O的表面積為（）A．4π B．12π C．16π D．32π參考答案：C【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，作出外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積．【解答】解：取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，∵在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心為G，作OG∥AB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面體ABCD外接球的表面積為：4πR2=16π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接體知識(shí)，考查空間想象能力，確定球的切線與半徑是解題的關(guān)鍵．7.如圖在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是（

）A．EF與BB1垂直B．EF與BD垂直C．EF與CD異面D．EF與A1C1異面參考答案：D8.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A. B. C. D.參考答案：A，，則切線方程為，即.9.在圖21－6的算法中，如果輸入A＝138，B＝22，則輸出的結(jié)果是()圖21－6A．2

B．4

C．128

D．0參考答案：A10.函數(shù)的的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.

B.

C.

D.和參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值是

.參考答案：112.拋物線y2=2x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

．參考答案：1【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得p=1，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，從而得到結(jié)果．【解答】解：拋物線y2=2x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，由標(biāo)準(zhǔn)方程可得p=1，故答案是：1．13.設(shè)函數(shù)，若對(duì)所有都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

參考答案：(－∞,2]令函數(shù)，，，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，由F(0)=0,即恒成立，符合。當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以=0有唯一根，設(shè)為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，而。所以，不符。所以。

14.已知數(shù)列滿足若,則

.參考答案：15.已知，則的最大值是

.參考答案：略16.定義在(－1，1)上的函數(shù)是減函數(shù)，且，則a的取值范

圍

.參考答案：{a|0＜a＜}17.直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=________參考答案：圓的方程可化為，所以圓的圓心為，且半徑是，結(jié)合圓中的特殊三角形，可知.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)（a∈R）．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專(zhuān)題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0求出函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，求出函數(shù)的減區(qū)間（Ⅱ）a＜0時(shí)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）在上的單調(diào)性確定出最小值，借助（Ⅰ）的結(jié)論，由于參數(shù)的范圍對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有影響，故對(duì)其分類(lèi)討論，【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），…（Ⅰ），…（1）當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=x＞0，所以f（x）在定義域?yàn)椋?，+∞）上單調(diào)遞增；…（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x1=﹣2a（舍去），x2=a，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下：此時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，a）單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增；

…（3）當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0，得x1=﹣2a，x2=a（舍去），當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下：此時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，﹣2a）單調(diào)遞減，在區(qū)間（﹣2a，+∞）上單調(diào)遞增．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，﹣2a）單調(diào)遞減，在區(qū)間（﹣2a，+∞）上單調(diào)遞增．…（1）當(dāng)﹣2a≥e，即時(shí)，f（x）在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，；

…（2）當(dāng)1＜﹣2a＜e，即時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，﹣2a）單調(diào)遞減，在區(qū)間（﹣2a，e）單調(diào)遞增，所以，…（3）當(dāng)﹣2a≤1，即時(shí)，f（x）在區(qū)間單調(diào)遞增，所以．…（13分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的鍵是理解并掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，此類(lèi)題一般有兩類(lèi)題型，一類(lèi)是利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)得出單調(diào)性，一類(lèi)是由單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，本題屬于第一種類(lèi)型．本題的第二小問(wèn)是根據(jù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，本題中由于參數(shù)的存在，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)的符號(hào)不定，故需要對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論，以確定函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的最值．19.已知矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn),邊所在直線的方程為：，點(diǎn)在邊所在直線上.（1）求矩形外接圓的方程；（2）求矩形外接圓中，過(guò)點(diǎn)的最短弦所在的直線方程.

參考答案：（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為

且，

又在上，，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為。

又點(diǎn)是矩形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)點(diǎn)即為矩形外接圓的圓心，其半徑圓方程為

（2）當(dāng)時(shí)，弦BC最短，，，所以直線EF的方程為。20.已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）證明：當(dāng)k＜1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=kx﹣2只有一個(gè)交點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程即可求a；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；則y=f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線方程為y=ax+2，∵切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x3﹣3x2+x+2，設(shè)g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由題設(shè)知1﹣k＞0，當(dāng)x≤0時(shí)，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，當(dāng)x＞0時(shí)，令h（x）=x3﹣3x2+4，則g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．則h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，∴在x=2時(shí)，h（x）取得極小值h（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，則g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一實(shí)根．∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上沒(méi)有實(shí)根．綜上當(dāng)k＜1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=kx﹣2只有一個(gè)交點(diǎn)．21.直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為.（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)，求的最小值.參考答案：（1）；（2）。分析：（1）將兩邊同乘，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義與根與系數(shù)的關(guān)系得出．詳解：（1）由，化為直角坐標(biāo)方程為，即（2）將l的參數(shù)方程帶入圓C的直角坐標(biāo)方程，得因?yàn)?，可設(shè)，又因?yàn)椋?，1）為直線所過(guò)定點(diǎn)，,,,所以點(diǎn)睛：本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的幾何意義與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)