７.４正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 課件（共20張PPT）

高一數(shù)學(xué)（滬教版2020必修第二冊）第7章三角函數(shù)７.４正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)７．４正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)由正切的定義可知，對于任意一個給定的實數(shù)

，只要

，都有唯一確定的正切值

與之對應(yīng)．按照這個對應(yīng)關(guān)系所建立的函數(shù)叫做正切函數(shù)，表示為

．正切函數(shù)的定義域是

．下面我們探討正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1正切函數(shù)的圖像我們知道，正切值

可以用角a的終邊所在直線與直線

的交點的縱坐標表示（圖７-４-１）．類似于作正弦函數(shù)圖像的方法，利用單位圓并結(jié)合描點法我們可以作出

的大致圖像（圖７-４-２）．因為

，所以函數(shù)

當

時的圖像與…的圖像形狀一樣，只需將后者圖像的位置向右平移就可得到；同理，函數(shù)時的圖像與

的圖像形狀也一樣，只需將后者圖像的位置向左平移π、２π、…就可得到．這樣，就可以得到函數(shù)

的整個圖像（圖７-４-３）．因為

的定義域是其圖像由無窮多支曲線所組成，它們被直線所隔開．正切函數(shù)的性質(zhì)（１）周期性由誘導(dǎo)公式

可知，正切函數(shù)是周期函數(shù)，

均是它的周期，π是它的最小正周期．（２）值域

由正切函數(shù)

的定義可以得到，正切函數(shù)

的值域是實數(shù)集R，它既沒有最大值，也沒有最小值．（３）奇偶性

由誘導(dǎo)公式

可知，正切函數(shù)

是奇函數(shù)．因此，其圖像關(guān)于坐標原點對稱（４）單調(diào)性

由于正切函數(shù)是以π為最小正周期的函數(shù)，可以先在區(qū)間上研究正切函數(shù)的單調(diào)性．對于區(qū)間

中的任意給定的滿足

的實數(shù)

有由

易知

于是

且由上式就有

，即

從而正切函數(shù)

在區(qū)間

上是嚴格增函數(shù)．又因為正切函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)，所以正切函數(shù)

在區(qū)間

上

是嚴格增函數(shù)．例１

求函數(shù)

的定義域和單調(diào)區(qū)間由正切的定義，該函數(shù)的自變量

滿足解所以，該函數(shù)的定義域為由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，當

時，即

時，函數(shù)是嚴格增函數(shù)因此，函數(shù)

的單調(diào)增區(qū)間是例２

求函數(shù)

的最小正周期解

記

有可知函數(shù)

的一個正周期此外，

也是函數(shù)

的最小正周期．事實上，令

原來的函數(shù)可改寫為

，其以t為自變量的最小正周期為π．返回到

變量，因

故原來函數(shù)的最小正周期為課本練習練習７．４１．寫出滿足

的所有α的集合．２．比較下列各組數(shù)的大小，并說明理由：３．求函數(shù)

的定義域，并寫出其單調(diào)區(qū)間隨堂檢測1、求函數(shù)f(x)＝tan|x|的定義域與值域，并作其圖像。當x≥0時，函數(shù)y＝tan|x|在y軸右側(cè)的圖像即為y＝tanx的圖像不變；x<0時，y＝tan|x|在y軸左側(cè)的圖像為y＝tanx在y軸右側(cè)的圖像關(guān)于y軸對稱的圖像，如圖所示（實線部分）；2、根據(jù)正切函數(shù)的圖像，寫出tanx≥－1的解集．【解析】作出y＝tanx及y＝－1的圖像，如下圖．所以，滿足此不等式的x的集合為：3、畫出函數(shù)y＝|tanx|的圖像，并根據(jù)圖像判斷其單調(diào)區(qū)間和奇偶性．【解析】由函數(shù)y＝|tanx|得根據(jù)正切函數(shù)圖像的特點作出函數(shù)的圖像，如圖所示．由圖像可知，函數(shù)y＝|tanx|是偶函數(shù)．（2）判斷f(x)＝sinx＋tanx的奇偶性；又因為，f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以，它是奇函數(shù)；5、已知f(x)＝－atanx(a≠0).（2）求f(x)的最小正周期；（3）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；所以，f(－x)＝－atan(－x)＝atanx＝－f(x)