定義域的求法 函數(shù)定義域的求法

定義域的求法函數(shù)定義域的求法

定義域的求法篇(1):函數(shù)定義域的類型和求法

函數(shù)定義域的類型和求法劉野

本文介紹函數(shù)定義域的類型和求法，目的在于使同學(xué)全面熟悉定義域，深刻理解定義域，正確求函數(shù)的定義域?，F(xiàn)舉例說明。

一、常規(guī)型

即給出函數(shù)的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關(guān)于自變量的不等式或不等式組，解此不等式（或組）即得原函數(shù)的定義域。例1求函數(shù)的定義域。

解：要使函數(shù)有意義，則必需滿意

由①解得或。③

由②解得或④

③和④求交集得且或x5。

故所求函數(shù)的定義域?yàn)椤?/p>

例2求函數(shù)的定義域。

解：要使函數(shù)有意義，則必需滿意

由①解得③

由②解得④

由③和④求公共部分，得

故函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

評注：③和④怎樣求公共部分？你會嗎？

二、抽象函數(shù)型

抽象函數(shù)是指沒有給出解析式的函數(shù)，不能常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個(gè)抽象函數(shù)的定義域求另一個(gè)抽象函數(shù)的解析式，一般有兩種狀況。（1）已知的定義域，求的定義域。

其解法是：已知的定義域是［a，b］求的定義域是解，即為所求的定義域。

例3已知的定義域?yàn)椋郏?，2］，求的定義域。

解：令，得，即，因此，從而，故函數(shù)的定義域是。（2）已知的定義域，求f(x)的定義域。

其解法是：已知的定義域是［a，b］，求f(x)定義域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定義域。

例4已知的定義域?yàn)椋?，2］，求f(x)的定義域。

解：由于。即函數(shù)f(x)的定義域是。

三、逆向型即已知所給函數(shù)的定義域求解析式中參數(shù)的取值范圍。特殊是對于已知定義域?yàn)镽，求參數(shù)的范圍問題通常是轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決。

例5已知函數(shù)的定義域?yàn)镽求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：函數(shù)的定義域?yàn)镽，表明，使一切x∈R都成立，由項(xiàng)的系數(shù)是m，所以應(yīng)分m=0或進(jìn)行爭論。

解：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽；

當(dāng)時(shí)，是二次不等式，其對一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件是

綜上可知。評注：不少同學(xué)簡單忽視m=0的狀況，盼望通過此例解決問題。

例6已知函數(shù)的定義域是R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解：要使函數(shù)有意義，則必需≠0恒成立，由于的定義域?yàn)镽，即無實(shí)數(shù)

①當(dāng)k≠0時(shí)，恒成立，解得；

②當(dāng)k=0時(shí)，方程左邊=3≠0恒成立。

綜上k的取值范圍是。

四、實(shí)際問題型

這里函數(shù)的定義域除滿意解析式外，還要留意問題的實(shí)際意義對自變量的限制，這點(diǎn)要加倍留意，并形成意識。例7將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長x的函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的定義域。

解：設(shè)矩形一邊為x，則另一邊長為于是可得矩形面積。

。

由問題的實(shí)際意義，知函數(shù)的定義域應(yīng)滿意

。故所求函數(shù)的解析式為，定義域?yàn)椋?，）。

例8用長為L的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求定義域。

解：由題意知，此框架圍成的面積是由一個(gè)矩形和一個(gè)半圓組成的圖形的面積，如圖。由于CD=AB=2x，所以，所以，

故

依據(jù)實(shí)際問題的意義知

故函數(shù)的解析式為，定義域（0，）。

五、參數(shù)型

對于含參數(shù)的函數(shù)，求定義域時(shí)，必需對分母分類爭論。例9已知的定義域?yàn)椋?，1］，求函數(shù)的定義域。

解：由于的定義域?yàn)椋?，1］，即。故函數(shù)的定義域?yàn)橄铝胁坏仁浇M的解集：

，即即兩個(gè)區(qū)間［－a，1－a］與［a，1+a］的交集，比較兩個(gè)區(qū)間左、右端點(diǎn)，知

（1）當(dāng)時(shí)，F(xiàn)（x）的定義域?yàn)椋?/p>

（2）當(dāng)時(shí)，F(xiàn)（x）的定義域?yàn)椋?/p>

（3）當(dāng)或時(shí)，上述兩區(qū)間的交集為空集，此時(shí)F（x）不能構(gòu)成函數(shù)。

六、隱含型

有些問題從表面上看并不求定義域，但是不留意定義域，往往導(dǎo)致錯(cuò)解，事實(shí)上定義域隱含在問題中，例如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集。因此，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必需先求定義域。例10求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

解：由，即，解得。即函數(shù)y的定義域?yàn)椋ǎ?，3）。

函數(shù)是由函數(shù)復(fù)合而成的。，對稱軸x=1，由二次函數(shù)的單調(diào)性，可知t在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)，而在其定義域上單調(diào)增；

，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)。

班級

高中

學(xué)科

數(shù)學(xué)

版本期數(shù)

內(nèi)容標(biāo)題

函數(shù)定義域的類型和求法

分類索引號

G.622.46

分類索引描述

輔導(dǎo)與自學(xué)

主題詞

函數(shù)定義域的類型和求法

我名稱

專題輔導(dǎo)

供稿老師審稿老師

錄入

張玲

一校

陳麗娜

二校審核

定義域的求法篇(2):函數(shù)定義域的6種求法

定義域的求法篇(3):函數(shù)定義域的求法｜數(shù)學(xué)必修1

（高中函數(shù)定義）

一般地，我們有：

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，假如根據(jù)某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A---B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作

y=f(x),x屬于A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值。

假如一個(gè)函數(shù)是詳細(xì)的，它的定義域我們不難理解。但假如一個(gè)函數(shù)是抽象的，它的定義域就難以捉摸。

例如：y=f(x)1≤x≤2與y=f(x+1）的定義域相同嗎？值域相同嗎？假如已知f(x）的定義域是x∈[1,2]，f(x+1）的定義域是什么？

由于f(x）的定義域是x∈[1,2]，即是說對1≤x≤2中的每一個(gè)數(shù)值f(x）都有函數(shù)值，超出這個(gè)范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)值f(x）都沒有函數(shù)值。例如3就沒有函數(shù)值，即f⑶就無意義。因此，當(dāng)x+1的取值超出了[1，2]這個(gè)范圍，f(x+1）也就沒有了函數(shù)值，所以f(x+1）的定義域是1≤x+1≤2這個(gè)不等式的解集;所以解得0≤x≤1，此時(shí)x的定義域?yàn)閤∈[0,1]（定義域總是指x能取的范圍與經(jīng)過括號內(nèi)變換后的范圍不同）。定義域發(fā)生了轉(zhuǎn)變。但是值域還是相同的，由于f進(jìn)行變換的范圍沒有轉(zhuǎn)變。

我們還可以通過函數(shù)圖象來進(jìn)行理解，f(x+1)相當(dāng)于把f(x)向左平移了一個(gè)單位，而仍要與原函數(shù)結(jié)果相同，所以定義域也要向左平移一位。

看是不是同一個(gè)函數(shù)，既要看對應(yīng)法則f（），也要看定義域是否相同。假如都相同，值域自然也相同，就能證明是同一個(gè)函數(shù)。（留意：假如只知值域、對應(yīng)法則不能推出定義域如f(x)=x^2f(x)∈[1,4]x有多種可能）

（是不是統(tǒng)一函數(shù)只要看（）前面的字母是不是同一個(gè)，留意大小寫也要一樣才是同一函數(shù)）

題目中的