2022-2023學(xué)年吉林省吉林市高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期第四次（1月）教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年吉林省吉林市高一上學(xué)期第四次（1月）教學(xué)質(zhì)量檢

測(cè)數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從含有5個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本，某個(gè)個(gè)體被抽

到的概率為（）

1122

A.5B.2C.3D.5

【答案】D

P=—

【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體被抽到的概率N直接計(jì)算，即可得答案；

P---

【詳解】；簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體被抽到的概率N,

2

含有5個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本，某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為《，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念，考查對(duì)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.

2.己知⑷=%⑻=3,且￡、刃的夾角為60。，如果（“+2aNa-4），那么，〃的值為（）

732

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

［分析］求得＞否=6,根據(jù)0+25）,（￡一加楊可得0+2垃.0_加冷=0,展開(kāi)化簡(jiǎn)，可得答案.

【詳解】由題意可得I'll,

由（a+26）±（a—mb）（可得（°+2辦（。-機(jī)5）=0,

—?2——*—?2

gpa+（2-m）a?b-2mb=0,

7

tn=—

口|］16+12—6〃7—18〃？=0,即6,

故選：A

3.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：4=”向上的點(diǎn)數(shù)為7'，其中i=l，2,3,4,5,6,

8="向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.4與§互斥B.4+8=CC.4與5相互獨(dú)立口.4n8=0

【答案】D

【分析】對(duì)于選項(xiàng)中的事件，分別寫出對(duì)應(yīng)的基本事件構(gòu)成的集合，依次分析，即可.

【詳解】對(duì)于A,4={2,3,4,5,6},8={1，3,5},4與8不互斥，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,4+8={2}。{1，3,5}={1,2,3,5}“。，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,4與否不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,2㈤，8={1,3,5},4n8=0,故D正確.

故選：D.

a_b

4.在AJ8C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,若cosNcos5,c2=a2+b2-ab,則

M8C是（）

A.鈍角三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】利用正余弦定理可確定邊角關(guān)系，進(jìn)而可判定三角形形狀.

abah

【詳解】在入48c中，由正弦定理得sin"sin5,而cos/cos5,

sinJ_sin5

:.cosAcos5,g|jtan4=tanB,

又...A、5為&43c的內(nèi)角，=

22222

又?.?/=a+b-ab,...ah=a+b-c,

-a2+b2-c21-7i

cosC=----------------=一C=—

???由余弦定理得：2ab2,...3,

.?.M8C為等邊三角形.

故選：B.

5.已知復(fù)數(shù)4和Z?,則“4Az?,,是“412>0,,的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)及充分條件、必要條件求解即可.

【詳解】??'4>Z2,復(fù)數(shù)馬和Z2是實(shí)數(shù),,Zi-Zz〉。成立,

當(dāng)Z「Z2>O時(shí)，例如（2-3i）-（-5-3i）=7>0,推不出2-3i>-5-3i,

所以“4>4”是“4-4>0,,的充分不必要條件.

故選：A

6.中國(guó)營(yíng)養(yǎng)學(xué)會(huì)把走路稱為“最簡(jiǎn)單、最優(yōu)良的鍛煉方式”，它不僅可以幫助減肥，還可以增強(qiáng)心肺

功能、血管彈性、肌肉力量等，甲、乙兩人利用手機(jī)記錄了去年下半年每個(gè)月的走路里程（單位：公

里），現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.甲走路里程的極差等于11

B.乙走路里程的中位數(shù)是27

C.甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均數(shù)

D.甲下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差

【答案】D

【分析】根據(jù)折線圖，得到甲、乙下半年的走路歷程數(shù)據(jù)，根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)以及標(biāo)準(zhǔn)差

與數(shù)據(jù)穩(wěn)定性之間的關(guān)系求解.

【詳解】由圖可知，7-12月甲走路的里程為：31,25,21,24,20,30,

乙走路的里程為：25,26,26,28,28,29,

所以甲走路里程的極差等于3「20=11,故A正確；

26+28?

---------=27

乙走路里程的中位數(shù)是2,故B正確；

31+25+21+24+20+30151

甲下半年每月走路里程的平均數(shù)為6一6,

29+28+26+28+25+26162

乙下半年每月走路里程的平均數(shù)為3-6,故C正確:

由圖可知，甲下半年走路里程數(shù)據(jù)波動(dòng)性大于乙下半年走路里程數(shù)據(jù)，

所以甲下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

7.如圖，在“8C中，AB=2V5,BC=2^/10,AC=2V13t。，E）尸分別為三邊中點(diǎn)，將

分別沿。瓦尸向上折起，使4B,C重合為點(diǎn)尸，則三棱錐P-OEF的外

接球表面積為（）

77714

―71----------71

A.2B.3C.14萬(wàn)D.561

【答案】C

【分析】將三棱錐尸-。后尸補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體，進(jìn)而求出該長(zhǎng)方體的外接球表面積即可.

［詳解］由題意可知，PE=DF=M，PF=DE=?PD=EFf,即三棱錐？_。/的對(duì)棱相

等，先將該三棱錐補(bǔ)充成長(zhǎng)方體，如圖所示:

設(shè)FH=x,HD=y,HP=z,則V+=io+d=5,x?+z2=13,所以x?+/+z，=14,于是三棱

V14

錐尸-OE尸的外接球直徑為廂，半徑為三，所以該三棱錐外接球的表面積為：

W鬻^=14p

故選：C.

8.大型城雕“商”字坐落在商丘市睢陽(yáng)區(qū)神火大道與南京路交匯處，“商”字城雕有著厚重悠久的歷史

和文化，它時(shí)刻撬動(dòng)著人們認(rèn)識(shí)商丘、走進(jìn)商丘的欲望.吳斌同學(xué)在今年國(guó)慶期間到商丘去旅游，

經(jīng)過(guò)"商''字城雕時(shí)，他想利用解三角形的知識(shí)測(cè)量一下該雕塑的高度（即圖中線段"5的長(zhǎng)度）.他

在該雕塑塔的正東0處沿著南偏西60°的方向前進(jìn)若干米后達(dá)到。處（A、C、。三點(diǎn)在同一個(gè)水

平面內(nèi)），測(cè)得圖中線段在東北方向，且測(cè)得點(diǎn)B的仰角為71.565、他計(jì)算出該雕塑的高度約

為21米，那么線段C。的長(zhǎng)度大約是（精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：tan71.565°"3,V2?1.414）

()

c.11米D.12米

【答案】B

【分析】計(jì)算出的長(zhǎng)，然后在中，利用正弦定理可求得8的長(zhǎng).

4D-21x7

【詳解】在放“80中，404=71.565",48=21,所以tan71.565。~（米）.

在AZC。中，NC4O=135",NZCL?=30°,

ADCDADsinZCADr-

由正弦定理sinN48sinACAD,sinZACD（米）.

故選：B.

9.己知用斜二測(cè)畫法畫梯形。18C的直觀圖°W8'C'如圖所示，0'H=3C'8‘，C'E'VO'A',

C，F(xiàn)'=五

S四邊形38C=8,C'￡>'//_/軸，2,加為O'H的三等分點(diǎn),則四邊形0/8C繞y軸旋轉(zhuǎn)一周

形成的空間幾何體的體積為（）

38

—7C

A.3B.48兀C.3D.12兀

【答案】B

【分析】根據(jù)題意由直觀圖與原圖的關(guān)系，得到四邊形OZ8C是等腰梯形，即可得四邊形0/8C

繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體的體積等于一個(gè)圓臺(tái)的體積減去一個(gè)圓錐的體積，即可得到結(jié)果.

【詳解】在直觀圖中，C'D'=&C'E'=1,在真實(shí)圖中，CD=2.如圖:

在直觀圖中，0/=3C'B',切為°W的三等分點(diǎn),

??.在真實(shí)圖中，OA=3CB,。為w的三等分點(diǎn).在直觀圖中，c'°//y'軸，

大吉…囪HCDUy^S四邊形以叱=；°。><(0+08)=；><2><4曰=408=8

???在真實(shí)圖中，軸，.?.22,

。。=，0/=2

:.CB=2,...04=6,...3，二四邊形O48C是等腰梯形，

???四邊形O/8C繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體的體積等于一個(gè)圓臺(tái)的體積減去一個(gè)圓錐的體

積，

K=-7tx2(42+4x6+6'?)--nx23=1527r-辿=48兀

即3、7333

故選:B.

10.在銳角“8C中，角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為的面積，且2s=

4/-12加+17/

則4bJ2加+13d的取值范圍為().

22rl(281

4'37)D.1而

A.C.

【答案】D

?,4,3

-〃2/>_\2sinJ=-cosA=-

【分析】利用“一“一也一①，三角形面積公式和余弦定理可得5,故可得到5,

,4643

anA=——=------+-

3,然后利用正弦定理可得。5tanC5,利用換元法即可求解

【詳解】八BC中,由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA,

c3=一力。Sin力9Q_^2(1,,\2

且的面積為2，由八-,得bcsin/=2歷-2bccos4,

22

化簡(jiǎn)得sin/+2cos力=2；又I2J,siny4+cosA=\9所以sin4+20—sinA=2f

?,4

,sinJ=—

化簡(jiǎn)得5sinF-4sin4=0,解得5或sin/=O(不合題意，舍去)；

人］嗚cosA=Vl-sin2A=-tanA=S^n—=—

因?yàn)镮2,所以5,cosA3

hsinB_sin(y4+C)_sinAcosC+cossinC_4+3

所以csinCsinCsinC5tanC5,

n-Ae(-,Tt\

由B+C=TT-4,且I2),12人

，所以熹4媼）,所以河避

h（35、

設(shè)其中

=4〃-12加+17,2=峭-吧包=4r-⑵+17=]+_4_=]+

-4b2-\2bc+13c2?6j]2(')+134”—⑵+134/2-12z+13

所以

335,3

又523,所以2時(shí)，y取得最大值為幾ax=2,

,_328157328173

I——y=I——y=-..<—

5時(shí)，.181；3時(shí)，,37,且⑻37.

(281/14b1-\2bc+\lc2(281

ye—,2--------------,—,2

所以.【⑻」，即4〃-12兒+13/的取值范圍是1181」

故選：D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積

有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題,

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案;

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他

的限制，通常采用這種方法:

③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值

二、多選題

11.下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線132a+4（aeR）恒過(guò)定點(diǎn)

B.直線歹+1=3%在V軸上的截距為1

C.直線回+1=°的傾斜角為150。

D.已知直線/過(guò)點(diǎn)PR*）,且在x,夕軸上截距相等，則直線/的方程為X+N-6=°

【答案】AC

【分析】根據(jù)直線方程可得直線恒過(guò)定點(diǎn)判斷A,由直線的斜截式可判斷B,根據(jù)直線的斜率可判

斷C,分截距為0或不為0可求出直線方程判斷D.

［詳解】直線廣以-2"+4（蚱R）即直線y=a（x-2）+4（aeR）,當(dāng)、=2時(shí)，尸4,

即直線y="x_2。+4QeR）恒過(guò)定點(diǎn)（2,4）,A正確；

直線y+l=3x,即V=3x-1在y軸上的截距為_(kāi)i,B錯(cuò)誤；

直線x+8y+l=°的斜率為63,則傾斜角為150。，C正確；

因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)PR"）,且在x,了軸上截距相等，當(dāng)截距都為。時(shí)，直線/方程為y=2x,

xy,24,

---'---=]---1---=1/X

當(dāng)截距不為。時(shí)，可設(shè)直線方程為aa，則。。，即。=6,則直線方程為》+丁-6=A°,

所以直線/的方程為尸2x或x+y-6=0,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.如圖所示的電路由邑兩個(gè)系統(tǒng)組成，其中M,N,P,Q,乙是五個(gè)不同的元件，若元件

X11

M,N,P,Q,2出現(xiàn)故障的概率分別為萬(wàn),3,4,5,%,則下列結(jié)論正確的是（)

S$2

5

A.元件M,N均正常工作的概率為6B.系統(tǒng)‘正常工作的概率為％

I29

C.系統(tǒng)邑正常工作的概率為.D.系統(tǒng)E,邑均正常工作的概率為W

【答案】BD

【分析】對(duì)于A,利用獨(dú)立事件的概率公式求解即可，對(duì)于B,先求出系統(tǒng)E不能正常工作的概率,

然后利用對(duì)立事件的概率公式求解，對(duì)于C,先求出系統(tǒng)邑不能正常工作的概率，然后利用對(duì)立事

件的概率公式求解，對(duì)于D,利用獨(dú)立事件的概率公式求解即可,

【詳解】設(shè)事件4B,C,D,E分別表示N,P,Q,乙元件出現(xiàn)故障，則2,

111__171

P（B）=-P（D）=-P（E）=-P（A）P（B）=-x-=-

3,5,6,所以元件"，N均正常工作的概率為233,A

錯(cuò)誤，

,21,15

QI----X-=1----=-

系統(tǒng)、正常工作的概率為3466,B正確；

1?—1x—1=1?----1-=—29

系統(tǒng)邑正常工作的概率為563030,c錯(cuò)誤;

29529

系統(tǒng).，邑均正常工作的概率為30636,D正確.

故選：BD.

13.如圖，矩形80E廠所在平面與正方形所在平面互相垂直，BD=2,?！?1,點(diǎn)夕在線

段上.下列命題正確的是（）

A.存在點(diǎn)尸，使得直線。PU平面NCR

B.存在點(diǎn)尸，使得直線。PJ?平面/CF；

加

C.直線。尸與平面力8CD所成角的正弦值的取值范圍是L°」；

9兀

D.三棱錐力-CQE的外接球被平面/C尸所截得的截面面積是9.

【答案】ACD

【分析】當(dāng)點(diǎn)尸是線段“'中點(diǎn)時(shí)判斷A；假定存在點(diǎn)P,使得直線。平面ZCF,推理導(dǎo)出矛

盾判斷B；利用線面角的定義轉(zhuǎn)化列式計(jì)算判斷C；求出外接圓面積判斷D.

【詳解】取EF中點(diǎn)G,連。G,令XCn3O=°,連FO,如圖，

在正方形力8c。中，。為8。中點(diǎn)，而t尸是矩形，

則DOUGF旦DO=GF,即四邊形DGFO是平行四邊形，

即有。G〃/。，而尸。u平面“CF,DGU平面/CE,

于是得QG〃平面/CF,當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，直線力「〃平面/CR故A正確;

假定存在點(diǎn)P,使得直線平面ZCR而/°u平面zcR

則DPJ.尸O,又OG//FO,從而有DPIDG,

在RtZXOE尸中，NDEF=90°,DG是直角邊EF上的中線，

顯然在線段EF上不存在點(diǎn)與。連線垂直于￡>G,因此，假設(shè)是錯(cuò)的，故B不正確;

因平面BDEFJ.平面ABCD,平面BDEFc平面ABCD=BD,

則線段EF上的動(dòng)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影在直線BD上,

于是得NPDB是直線DP與平面ABCD所成角的,

在矩形8OE/中，當(dāng)P與E不重合時(shí)，ZPDB=NDPE,

r)p1

sinZPDB=sinZDPE=——-.___________________—<sinZPDB<1

DPylDE2+EP2y/l+EP?,而0<EPW2,則5

ZPDB=--<sinZPDB<1

當(dāng)P與E重合時(shí)，2,sinZP￡>S=l,因此，5,故C正確;

因?yàn)槠矫鍮DEF,平面48C。，平面BOEFc平面/8CD=8。，BF1BD,平面5/5ER

所以8尸，平面Z4CQ,BC=6,

在△4C77中，4F=CF=JBC?+BF?=百,顯然有尸0_1.40,

s"FAC=a=血型二斗

AFAF石

2R=-------------=—r=R=——-j=

由正弦定理得△ZCF外接圓直徑Sin/E4cJ2,2力，

nR2=9n

三棱錐"-CDE的外接球被平面尸所截得的截面是的外接圓，其面積為一8,故D

正確.

故選：ACD.

71_

ZABC=—9AC=5

14.在ZUBC中，2,尸是力。的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若8c=3,點(diǎn)。在線段8。的延長(zhǎng)線上，則4尻4。=16

—1—2—

AQ=-BA——BC

B.若E是的中點(diǎn)，8/與CE相交于點(diǎn)。，則33

25

C.若點(diǎn)尸在線段4C上，則麗?"的值可以是一了

D.若E是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則忸4忸8|+怪尸|為定值

【答案】AD

【分析】以”8'0｝為基底，按題中要求表示出相關(guān)的向量，用數(shù)量積的公式計(jì)算即可.

【詳解】選項(xiàng)A：若8c=3,則45=4,則=H=16,故人正確.

而=次+麗=；羽+拈方+呵

選項(xiàng)B：令EQ-EC則

而=(;+?與+義而

所以

AQ=AB+BQ^[\-^AB+^BC

令BQ="BF,則

〃2

X3=——/Z=—

所以123

—2—1—

AQ=——BA+—BC

即33,故B不正確.

選項(xiàng)C：設(shè)下=2就，'e[O,l],則

SP-ZP=[(/l-l)Z8+^5C]-2(^B+SC)

不妨設(shè)"=4,BC=3,則而./=]6/12_72

——9525

BP~AP=-16/l2-7/l=--,

當(dāng)4時(shí)，4,即64%-28/1+25=0

A=(-28)--4x64x25<0)所以不存在，故c不正確.

選項(xiàng)D：設(shè)通=疝，則“而卜川-')網(wǎng)

EF=EA+AF

因?yàn)?/p>

25

十一

4

所以

I畫明+1國(guó):”

所以?J?4(定值)，故D正確.

故選：AD.

三、填空題

2

15.復(fù)數(shù)17的虛部為.

【答案】1

【解析】根據(jù)分母實(shí)數(shù)化，將分子分母同乘以分母的共朝復(fù)數(shù)1+i,然后即可判斷出復(fù)數(shù)的虛部.

22(1+/)

-----=-------------——=1+]

【詳解】因?yàn)閖(j)0+i)，所以復(fù)數(shù)的虛部為1,

故答案為：1.

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知為等腰三角形，"(1，3),點(diǎn)8在x軸的正

半軸上，則直線的方程為.

【答案】3x+y-6=0

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系以及點(diǎn)斜式即可求解直線方程.

【詳解】因?yàn)?冽=?8|,所以乙408=//8°,即心8=-/M=-3,所以直線的方程為

y-3=-3(x-l),即3x+y-6=0

故答案為：3x+y-6=0

17.一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，將骰子拋擲兩次，擲第一次，

將朝上一面的點(diǎn)數(shù)記為x,擲第二次，將朝上一面的點(diǎn)數(shù)記為則點(diǎn)aj)落在直線，=一'+6上

的概率為

5

【答案】36

【分析】根據(jù)古典概率模型求解.

【詳解】由題可得，點(diǎn)(X/)所有的可能為：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共有36種不同的可能，

點(diǎn)(x，y)落在直線y=-x+6上，即x+y=6包含：

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5種不同可能，

5

所以點(diǎn)(X，)')落在直線y=-X+6上的概率為36.

5

故答案為：36.

18.在△/8C中，點(diǎn)。是8c的三等分點(diǎn)，|℃卜2|。耳,過(guò)點(diǎn)。的直線分別交直線/C于點(diǎn)

—————+—(/>0)

E,F,且=,AC=nAF,〃>0),若機(jī)n'的最小值為3,則正數(shù)，的值為

【答案】3-立

AO=-mAE+-nAF_

【分析】由平面向量基本定理可得33,進(jìn)而又由點(diǎn)E,0,尸三點(diǎn)共線，則

211

33，根據(jù)力”的作用由基本不等式的性質(zhì)，可解得Z的值.

【詳解】解：二?在△,8C中，點(diǎn)。是的三等分點(diǎn)，I區(qū)1=210例，

—.―.一一1一一.1一一2—1—.

40y+產(chǎn)口…）丁丁

—r；--=—=AO=—mAE+—nAF

?；AB=mAE,AC=nAF,/.33

2"〃=i

"0,E,尸三點(diǎn)共線，33

-+—=—+^^+—>2++=++

mnmn3333tn3〃3TTiTi^t

n2mt1t2

-+-V2/+-

當(dāng)且僅當(dāng)3〃？3〃,即2加）2=〃時(shí)取等號(hào)，，m"的最小值為333,

t22rr2、

—I—\/2tt—=3i—

即333,v/>0,:.t=3-y/2

故答案為：3一拒.

四、解答題

19.已知“8C中，內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

(sinZ+sin8-sinC)(sin5-sinJ-sinC)=-sin5sinC

6=4.若"8c為直角三角形，則

“8C的面積為—

【答案】2G或8G

A——

【分析】根據(jù)題意，由正弦定理化簡(jiǎn)，再結(jié)合余弦定理即可求得3,然后根據(jù)A/8C為直角三角

BJ=-

形，分,或C2,再由三角形的面積公式即可得到結(jié)果.

【詳解】由正弦定理，6皿"+4118-5畝0>6畝8-5皿,一?110）=-$山8$m0可化為：

(a+b-c)(b-a-c)=-bc^b2+c2_a2=hc

b?+02一/

cosA='€（°，兀），所以"=5,

所以2bc2

又b=4,A/8C為直角三角形，

S=L=L2Gx2=26

B=-C=~、[-

若2,則6,c=2,a=2<322

S」a6」x4Gx4=8G

C=-B=—A[q

若2,則6,c=8,a=4,3,22

20.如圖，三棱柱中，底面Z8C為等腰直角三角形，AB=AC=\,網(wǎng)=2

NABBy60"

（2）若"C=2,求"G與平面8c4所成角的正弦值

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵才

【分析】（1）作出輔助線，由余弦定理求出“用二由，進(jìn)而得到8歐=""+"k，由勾股定理逆

定理得到'4"8,結(jié)合NCLNB,得到線面垂直，證明出"8L8C；

（2）證明出“⑸"C,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角.

【詳解】（1）證明：連接"片，在"8片中，/8=1,=2ZABB[=6G,

AB.2=AB2+BB--2AB-BB,■cosZABB.=l+4-2x2xl=3

由余弦定理得，2

=\[3

?,?明2=次+期2

/.AB}1AB

又△4BC為等腰直角三角形，且45=40,

:.ACLAB

?.?/Cn/81=/,/C,/8|U平面/qc

.：48/平面44c

.：B、Cu平面48C,

.AB1B}C

（2）AB、=/,AB—AC—1ByC—2

?,.6c2=.+"2,

??.AB.LAC

如圖，以4為原點(diǎn)，"民"C,"4的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則/（0,0,0）,呂0,月）80,0,0）,C（0,1,0）

.?.函=日,0,百）元=（7,1,0）.

設(shè)平面8M的一個(gè)法向量為〃=（"*）,

?萬(wàn)=0-x+Gz=0

-x+y=o,令z=i,得x=y=后,

由加二°,得

，平面BCB'的一個(gè)法向量為〃=伊石1）.

?.?離=就+西=萬(wàn)+兩=（0,l,0）+Gl,0,G）=S』,可

設(shè)"G與平面8cM所成角的大小為巴

|布臼百)心，肉)百卮

sine=kos(4G，"=

|河|洞-Jl+l+3xj3+3+l-35

V105

AC'與平面BCB、所成角的正弦值為W.

21.已知在銳角448c中，”是8c的中點(diǎn)，且48=4,AC=2

sinNBAM

(1)求sin/M4c的值;

cosZMAC=—

⑵若4,求ABC的面積.

1

【答案】（1）5

⑵而

【分析】（1）由題意有8M=MC,smZAMB=smZAMC,在和A/MC中，利用正弦定理,

sinNBAM

可求sin4c的值；

（2）由sinN及C=sin（NA4"+NM4C）求出sinN"C的值，再利用面積公式

^-ABAC-sm^BAC

2求解即可.

【詳解】（1）銳角28C中，〃是8c的中點(diǎn)，且/8=4,AC=2,如圖所示:

.BM=MCsinZ.AMB=sin(TC-Z.AMC)=sinZ.AMC

??,,

ABBM

在△力BM中，由正弦定理，有sinNZMBsinZBAM,

ACMC

在△4A/C中，由正弦定理，有sinN4WCsinZM/IC,

BMsinNAMB

sin/BAM_”4cl

sinZMAC-MCsin一萬(wàn)一5

貝ijAC

-cosZ-MAC=-^-sinZMAC=sin/.BAM=

(2)銳角中，由4,...4,有8,

/D.3A/6

cosZ.BAM=-----

8,

sin

.NBAC=sin(ZBAM+ZMAC)=sinZBAMcosZMAC+cosZBAMsinAMAC

屈娓3娓屈V15

=---------X----------1------------X----------=-----------

84844,

^ABC=—AB?AC-smT-BAC=—x4x2x-^-^-=\[\5

所以A48C的面積為224

22.新冠疫苗有三種類型：腺病毒載體疫苗、滅活疫苗和重組蛋白亞單位疫苗，腺病毒載體疫苗只

需要接種一針即可產(chǎn)生抗體，適合身體素質(zhì)較好的青壯年，需要短時(shí)間內(nèi)完成接種的人群，突發(fā)聚

集性疫情的緊急預(yù)防.滅活疫苗和重組蛋白亞單位疫苗安全性高，適合老、幼、哺、孕及有慢性基礎(chǔ)病

患者和免疫缺陷人群，滅活疫苗需要接種兩次.重組蛋白亞單位新冠疫苗需要完成全程三針接種，

接種第三針后，它的有效保護(hù)作用為90%,人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量提升5-10倍，甚至更高（即接種

疫苗第三針后，有90%的人員出現(xiàn)這種抗疫效果）.以下是截止2021年12月31日在某縣域內(nèi)接種

新冠疫苗人次（單位：萬(wàn)人，忽略縣外人員在本縣接種情況）統(tǒng)計(jì)表：

腺病毒載體疫苗滅活疫苗重組蛋白亞單位疫苗

第一針0.510110

第二針010110

第三針00100

其中接種腺病毒載體疫苗的統(tǒng)計(jì)情況如下:

接種時(shí)間接種原因接種人次（單位：人）

3月疫情突發(fā)1500

6月高考考務(wù)1000

7月抗洪救災(zāi)2500

（1）遭遇3月疫情突發(fā)、服務(wù)6月高考考務(wù)、參加7月抗洪救災(zāi)的人都是不同的人，在已接種腺病毒載

體疫苗的人員中隨機(jī)抽取一名，求這個(gè)人參加了抗洪救災(zāi)的概率；

（2）在已接種滅活疫苗和重組蛋白亞單位疫苗的人員中，以人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量是否至少提升5-10

倍為依據(jù)，用分層抽樣的方法抽取4人，再?gòu)倪@4人隨機(jī)抽取2人，求這2人均為人體產(chǎn)生的抗體

數(shù)量至少提升5-10倍的疫苗接種者的概率.

工

【答案】⑴萬(wàn)

⑵5

【分析】（1）參加了抗洪救災(zāi)的接種人數(shù)為2500,總接種腺病毒載體疫苗的人數(shù)有5000,根據(jù)古

典概型即可求解；

（2）接種滅活疫苗和重組蛋白亞單位疫苗人次共有120萬(wàn)人，接種滅活疫苗和重組蛋白亞單位疫

90_3

苗人次共有120萬(wàn)人，比率為畫一工，所以抽取4人中有1人人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量不足以提升5-

10倍，由列舉法即可求解結(jié)果.

【詳解】（1）在己接種腺病毒載體疫苗的人員中隨機(jī)抽取一名，這個(gè)人參加了抗洪救災(zāi)的概率為

八25001

r=----------------二—

1500+1000+25002.

（2）截止2021年12月31日在某縣域內(nèi)接種滅活疫苗和重組蛋白亞單位疫苗人次共有120萬(wàn)人

其中接種滅活疫苗有10萬(wàn)人，接種重組蛋白亞單位疫苗有110萬(wàn)人，這110萬(wàn)人中只有100

萬(wàn)人接種了第三針，根據(jù)有效保護(hù)率只有90萬(wàn)人人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量至少提升5-10倍，

90_3

比率為西一工所以以人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量是否至少提升5-10倍為依據(jù)，用分層抽樣的方

法抽取4人，有1人人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量不足以提升5-10倍，3人人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量至少

提升5-10倍.

設(shè)抽取4人中不足以提升5-10倍的那個(gè)人為A,其他3人分別為用，鳥，鳥,故從這4人中

隨機(jī)抽取2人，所有可能結(jié)果分別為“練”層,”層,g層出員,層員共有6個(gè)結(jié)果，其中

2人均為人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量至少提升5-10倍的疫苗接種者的結(jié)果有*也*也，與鳥共有

3個(gè)結(jié)果.

所以2人均為人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量至少提升5-10倍的疫苗接種者的概率為62.

23.如圖①所示，長(zhǎng)方形Z8CC中，AD=1,42=2,點(diǎn)”是邊8的中點(diǎn)，將沿

翻折到連接PC,得到圖②的四棱錐P-NBC/W.

圖①圖②

（1）求四棱錐尸-188的體積的最大值；

回0q

（2）設(shè)尸的大小為仇若I2」，求平面以”和平面P8C夾角余弦值的最小值.

V2

【答案】（1）4

布

⑵11

【分析】(1)取的中點(diǎn)G,連接尸G,即當(dāng)平面以M，平面/8CN時(shí)，尸點(diǎn)到平面Z8C/W的距

離最大，即可得到結(jié)果；

(2)連接OG,過(guò)點(diǎn)。作。Z_L平面”58,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別D4以。C,OZ所在直線為x

軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及法向量，列出

方程，即可得到結(jié)果.

取的中點(diǎn)G,連接PG,因?yàn)?=則PG1NM,

當(dāng)平面PAM1平面ABCM時(shí)，P點(diǎn)到平面ABCM的距離最大，四棱錐尸一的體積取得最大

PG=-AM=—

值，此時(shí)PG,平面且22,

13

(l+2)xlx—=—

底面為梯形，面積為22,

I3V2V2

-X-X=

則四棱錐尸-/8CM的體積最大值為3224

連接。G,因?yàn)?=。m，所以O(shè)G1ZM,所以NPGO為尸的平面角，即NPGD=。,

過(guò)點(diǎn)。作。Z,平面以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以DC,Z)Z所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則/(1,0,0),M(0,1,0)C(0,2,0),

過(guò)尸作尸"_LOG于點(diǎn)H,由題意得PH1平面ABCM,

PG=—PH=—sin0GH^~cos0DH=-(l-cosO}

設(shè)尸p((vXQv。*。)，因?yàn)?,所以222')

所以W爭(zhēng)l-cose)x#=；(l_cos6)2。=冬山9

’11

P—(1-cos—(1-cos——sin。

所以H*22

1+COS0cos0-1V2.1

~P2=-------,----sin3

所以寂=（T1，°）,222

_玉+必=0

1+cos3cos^-1Vising八

設(shè)平面尸/M的法向量為〃尸（x?”z）—2—玉+—2—%----2—10

則

令Z,=g,則*=?