2022版初中數(shù)學(xué)代數(shù)壓軸題：題型專練

2022版初中數(shù)學(xué)代數(shù)壓軸題：題型專練

一、解答題

1.（2021?北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系屹），中，點（1,a）和點（3,"）在拋物線丫=加+法（。＞0）上.

（1）若機(jī)=3,〃=15,求該拋物線的對稱軸：

（2）已知點（一1,%）,（2,%）,（4,%）在該拋物線上.若加”0,比較%,力，%的大小，并說明理由.

,1

2.（2019?北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線-與y軸交于點八，將點A向右平移

a

2個單位長度，得到點B,點B在拋物線上.

（1）求點B的坐標(biāo)（用含“的式子表示）；

（2）求拋物線的對稱軸；

（3）已知點P（L,-L）,0（2,2）.若拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求〃的取值范圍.

2a

3.（2018?北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=4x+4與x軸、，軸分別交于點A,B,拋物線

）=以2+歷=3。經(jīng)過點人，將點8向右平移5個單位長度，得到點C.

（1）求點C的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的對稱軸；

（3）若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求。的取值范圍.

4.(2021.北京朝陽?一模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線y=加+bx+a-4("0)的對稱軸是直線x=1.

(1)求拋物線y=ax2+bx+a-4(a^0)的頂點坐標(biāo)；

(2)當(dāng)-24x43時，y的最大值是5,求a的值；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)l時，y的最大值是如最小值是〃，且“=3,求/的值.

5.(2021.北京海淀.一模)在平面直角坐標(biāo)系xQx中，拋物線y=a?-2依+a-2(a>0).分別過點M(f,0)和點

N(r+2,O)作x軸的垂線，交拋物線于點A和點B.記拋物線在4,8之間的部分為圖象G(包括A,8兩點).

(1)求拋物線的頂點坐標(biāo)；

(2)記圖形G上任意一點的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為九

①當(dāng)a=2時，若圖形G為軸對稱圖形，求巾的值；

②若存在實數(shù)力使得帆=2,直接寫出a的取值范圍.

6.(2021.北京東城.一模)在平面直角坐標(biāo)系必y中，點Aa，x),3(w，%)在拋物線)=-/+(2a-2)x-〃2+2〃

上，其中玉<芻.

(1)求拋物線的對稱軸(用含a的式子表示)；

(2)①當(dāng)x="時，求y的值；

②若％=必=0,求箝的值(用含“的式子表示)；

(3)若對于為++<-4,都有％<當(dāng)，求。的取值范圍.

7.(2021?北京西城?一模)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，拋物線y=or2-2/x+l(aH0)與y軸交于點A,過點A作

x軸的平行線與拋物線交于點8.

(1)直接寫出拋物線的對稱軸；

(2)若4?=4,求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

(3)已知點P(a+4,l),Q(0M+l),如果拋物線與線段PQ恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求"的取值范圍.

8.(2021?北京石景山?一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A是拋物線y=-丁+2蛆-疝+2m+1的頂點.

(1)求點A的坐標(biāo)(用含，"的代數(shù)式表示)；

(2)若射線OA與x軸所成的銳角為45。，求〃?的值；

(3)將點P(0J)向右平移4個單位得到點Q,若拋物線與線段尸。只有一個公共點，直接寫出，”的取值范圍.

9.(2021?北京大興?一模)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，拋物線y=V—2"+/一2(6>0)經(jīng)過點A(也”).

(1)用含8的代數(shù)式表示拋物線頂點的坐標(biāo)；

(2)若拋物線經(jīng)過點8(0,2),且滿足求〃的取值范圍；

(3)若34%V5時，n<2,結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出6的取值范圍.

10.（2021?北京通州?一模）己知二次函數(shù)y=以2-2公+1（〃工0）.

（1）求此二次函數(shù)圖象的對稱軸；

（2）設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸交于不重合兩點〃（玉,0）,N（w，0）（其中，且滿足王＜6-2々，求。的

取值范圍.

5

4

3

2

1

12345x

11.（2021.北京東城.二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線》=--3公+1與y軸交于點A.

(1)求拋物線的對稱軸;

(2)點3是點A關(guān)于對稱軸的對稱點，求點5的坐標(biāo);

(3)已知點P（0,2）,Q（a+l,l）,若線段PQ與拋物線與恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求。的取值范圍.

12.（2021?北京海淀?二模）在平面直角坐標(biāo)系X。中，拋物線"冗2-23+病與）,軸的交點為A,過點A作直線/

垂直于y軸.

（1）求拋物線的對稱軸（用含根的式子表示）；

(2)將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G.點N(z，%)圖形G

上任意兩點.

①當(dāng)機(jī)=0時，若占<毛，判斷％與力的大小關(guān)系，并說明理由：

②若對于％=m-2,x2=m+2,都有%>必，求，〃的取值范圍.

13.(2021?北京朝陽?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(A,,yJ,。5,y?)為拋物線

y=ax2-lahx+ah1+1(“<0)上的兩點.

(1)當(dāng)〃=1時，求拋物線的對稱軸；

(2)若對于04%42,4-h<x2<5-h,都有％2%，求〃的取值范圍.

14.(2021?北京燕山?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-2or-3a("0).

(1)求拋物線的對稱軸及拋物線與y軸交點坐標(biāo).

(2)已知點8(3,4),將點8向左平移3個單位長度，得到點C若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結(jié)合函

數(shù)的圖象，求。的取值范圍.

y|y”

i■i■

o-1~~~_1—X°1X

備用圖

15.(2021?北京房山?二模)已知拋物線＞經(jīng)過點A(3,3).點M(再,yj,Mx［，8)為拋物線上兩個不

同的點，且滿足為＜2，X\+X2=2.

(1)用含〃的代數(shù)式表示匕；

(2)當(dāng)必=%時，求拋物線的對稱軸及“的值；

(3)當(dāng)寸，求。的取值范圍.

16.(2020?北京海淀?一模)在平面直角坐標(biāo)系火力中，拋物線y=-d+2如的頂點為人

(1)求拋物線的頂點坐標(biāo)(用機(jī)表示)；

(2)若點A在第一象限，且OA=拉，求拋物線的解析式；

(3)已知點3(機(jī)-1,〃?-2),C(2,2),若拋物線與線段BC有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出，”的取值范圍

17.(2021?北京門頭溝?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-V+2W-3的對稱軸為直線x=2.

(1)求b的值；

(2)在y軸上有一動點P(0,〃)，過點P作垂直y軸的直線交拋物線于點4(xi,yi),B(x2,y2),其中

xt<x2.

①當(dāng)當(dāng)-為=3時，結(jié)合函數(shù)圖象，求出n的值；

②把直線PB上方的函數(shù)圖象，沿直線PB向上翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象W,新圖象W

在0SE5時，滿足求”的取值范圍.

18.(2020?北京西城?一模)已知拋物線y=ax2+bx+a+2(a和)與x軸交于點A(xi,0),點B(X2,0),(點A在點B的

左側(cè))，拋物線的對稱軸為直線x=-l.

(1)若點A的坐標(biāo)為(-3,0),求拋物線的表達(dá)式及點B的坐標(biāo)；

(2)C是第三象限的點，且點C的橫坐標(biāo)為-2,若拋物線恰好經(jīng)過點C,直接寫出X2的取值范圍；

(3)拋物線的對稱軸與x軸交于點D,點P在拋物線上，且NDOP=45。，若拋物線上滿足條件的點P恰有4個，結(jié)合

圖象，求a的取值范圍.

19.(2020?北京門頭溝?一模)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，一次函數(shù)丫=-辦+3的圖象與)，軸交于點A,與拋物線

y=o?-2G-3a(a=0)的對稱軸交于點B,將點4向右平移5個單位得到點C,連接A8,AC得到的折線段記為圖形

G.

(1)求出拋物線的對稱軸和點C坐標(biāo);

(2)①當(dāng)。=-1時，直接寫出拋物線y="-2ax-3a與圖形G的公共點個數(shù).

②如果拋物線y=ox2_2“x-3a與圖形G有且只有一個公共點，求出“的取值范圍.

20.(2020?北京朝陽?二模)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，拋物線丫=奴2+。2》+。與>軸交于點(o,2).

(1)求c的值；

(2)當(dāng)“=2時，求拋物線頂點的坐標(biāo)：

(3)已知點A(-2,0),8(1,0),若拋物線+c與線段AB有兩個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求”的取值范

圍.

2022版初中數(shù)學(xué)代數(shù)壓軸題：題型專練

參考答案

1.(1)x=-\;(2)%<乂<丫3，理由見解析

【分析】

(1)由題意易得點(1,3)和點(3,15),然后代入拋物線解析式進(jìn)行求解，最后根據(jù)對稱軸公式進(jìn)行求解即可;

(2)由題意可分當(dāng)時和當(dāng)機(jī)>(),〃<()時，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類求解即可.

【詳解】

解：(1)當(dāng)加=3,”=15時，則有點(1,3)和點(3,15),代入二次函數(shù)丫=加+法卜,〉。)得：

[a+b=3,,[a=\

1&/，解得：工，

[09a+3。=15[/?=2

???拋物線解析式為y=V+2x,

拋物線的對稱軸為X=-3=-1；

2a

(2)由題意得：拋物線丫=依2+加(4>0)始終過定點(0,0),則由田〃<0可得：

①當(dāng)機(jī)>0,〃<0時，由拋物線y=〃+fer(a>0)始終過定點(0,0)可得此時的拋物線開口向下，即。<0,與。>0矛

盾；

②當(dāng)機(jī)<0,〃>0時，

???拋物線尸奴始終過定點(0,0),

13

此時拋物線的對稱軸的范圍為:<x<=,

22

?.?點(-LyJ,(2,%),(4,%)在該拋物線上,

...它們離拋物線對稱軸的距離的范圍分別為3;51357

2''22222

6Z>0,開口向上，

由拋物線的性質(zhì)可知離對稱軸越近越小,

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(1)點B的坐標(biāo)為(2,_L)；(2)對稱軸為直線x=l;(3)當(dāng)時，拋物線與線段PQ恰有一個公共點.

a2

【分析】

(1)向右平移2個單位長度，得到點

(2)A與B關(guān)于對稱軸x=l對稱；

(3))①a>0時，當(dāng)x=2時，y=--<2,當(dāng)〉=-工時，x=0或x=2,所以函數(shù)與AB無交點；②a<0時，當(dāng)y=2

aa

a2c1c+1。+1|W。+1。+1|cx1

時，ax1-lax一一=2,x=—!-----1或％=―!----1當(dāng)一!----^,2時，a,,一一；

aaaa2

【詳解】

解：(1)?..拋物線與y軸交于點A,.?.令x=0,得y=」，

a

二點A的坐標(biāo)為(0,-L),?.?點A向右平移兩個單位長度，得到點B,

a

**?點B的坐標(biāo)為(2,——)；

a

(2),?,拋物線過點40,-』)和點8(2,-工)，由對稱性可得，拋物線對稱軸為

aa

直線工=等=1,故對稱軸為直線％=1

(3)???對稱軸x=L

.\b-2a,y=ax2-2ax--,

a

①a>0時，

當(dāng)x=2時，y=--<2,當(dāng)丁=—x=0或x=2,

aa

???函數(shù)與AB無交點；

②aVO時，

當(dāng)y=2時，ax2一2ax--=2,

a

a+\a+\\a—\a+\\^a+\a+\\.1

x=--------或x=--------3--------?2時，a,,

aaa2

?,?當(dāng)凡-；時，拋物線與線段PQ恰有一個公共點；

(3)①當(dāng)〃>0時，5!iJ--<0,分析圖象可得：根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線不可能同時經(jīng)過點A和點P；也不可

a

能同時經(jīng)過點B和點Q,所以，此時線段PQ與拋物線沒有交點.

②當(dāng)a<0時，則-‘>0.

a

分析圖象可得：根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線不可能同時經(jīng)過點A和點P；但當(dāng)點Q在點B上方或與點B重合

時，拋物線與線段PQ恰有一個公共點，此時-442,即

a

a<——

2

綜上所述，當(dāng)時，拋物線與線段PQ恰有一個公共點.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的特征，數(shù)形結(jié)合討論交點是解題的關(guān)鍵.

41

3.(1)C(5,4)；(2)x=l；⑶或nN］或a=-l.

【詳解】

分析：(1)根據(jù)直線y=4x+4與X軸、y軸交于A、B.即可求出A(-1,0),B(0,4),根據(jù)點的平移即可

求出點C的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)拋物線￥=以2+公-3。過人(-1,0),代入即可求得b=-2a,根據(jù)拋物線的對稱軸方程即可求出拋物

線的對稱軸；

(3)分①當(dāng)拋物線過點。時.②當(dāng)拋物線過點3時.③當(dāng)拋物線頂點在8c上時.三種情況進(jìn)行討論即可.

詳解：(1)解：???直線y=4x+4與工軸、》軸交于A、B.

/.A(-1,0),B(0,4)

：.C(5,4)

(2)解：拋物線y=-3〃過A(-1,0)

Aa-b-3a=0.b=-2a

y=ax2-lax-3a

.,.對稱軸為X=―.

la

(3)解：①當(dāng)拋物線過點C時.

25a-10a-3a=4,解得。=；.

②當(dāng)拋物線過點8時.

4

—3〃=4,解得ci=——.

③當(dāng)拋物線頂點在BC上時.

此時頂點為(1,4)

-3a=4,解得a=-l.

41

.,.綜上所述或。2；或。=一1.

33

點睛：屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，點的平移，拋物線對稱軸，拋物線與線段交點問

題，注意分類討論思想在解題中的應(yīng)用.

4.(1)頂點坐標(biāo)為(LT)；(2)?=1；(3)f=—1或f=2

【分析】

(1)根據(jù)對稱軸可得“與b間的關(guān)系b=-2”，把這個關(guān)系式代入函數(shù)解析式中，配方即可得頂點坐標(biāo)；

(2)首先，由于拋物線的頂點在所給自變量的范圍內(nèi)，若。為負(fù)，則在所給自變量范圍內(nèi)，函數(shù)的最大值是相互

矛盾的，故可排除〃為負(fù)的情況，所以。為正.再由于x軸上-2與1的距離大小3與1的距離，根據(jù)拋物線的性

質(zhì)，函數(shù)在4-2處取得最大值，從而可求得a的值.

(3)分三種情況討論：即分別考慮頂點的橫坐標(biāo)是在YxWf+l范圍內(nèi)、在這個范圍的左邊、在這個范圍的右邊三

種情況；對每種情況分別求出最大值和最小值，然后可求得f的值.

【詳解】

解：(1)???對稱軸是直線x=l,

?.?----b--1.

2a

h=-2a.

y=ax2-lax+6Z—4=a(x—1)2—4.

頂點坐標(biāo)為(1,-4).

(2)若戰(zhàn)0,則拋物線的開口向下，從而y有最大值4

?.?當(dāng)-24x43時，y的最大值是5,且拋物線的對稱軸為直線廣1,

函數(shù)此時在x=1時取得最大值5,

這與y有最大值4矛盾，從而“>0.

拋物線的頂點為圖象的最低點.

VI-(-2)>3-1

...當(dāng)x=-2時，y=5.

代入解析式,得ax(-2-l)2-4=5,

,?6Z—1.

(3)①當(dāng)1時,此時叱然1,

/.〃=函數(shù)的最大值在什1或［處取得，即加=/一4或根=。--4

?*.m的最大值為-3.

此時m—n=1.

不符合題意，舍去.

②當(dāng)f+即fvO時，

/n=(r-l)2-4,n=(r+l-l)2-4.

*/m-n=3,

z=-1.

③當(dāng)空1時，

同理可得/=2.

綜上所述，￡=-1或"2.

【點睛】

本題是二次函數(shù)的綜合題，解決后兩問的關(guān)鍵是分清頂點的橫坐標(biāo)與所給自變量的范圍之間的位置關(guān)系，即它是在

自變量的范圍內(nèi)、還是在自變量范圍左邊或自變量范圍右邊，才能確定函數(shù)的最大值與最小值，這其實就是分類討

論，這也是同學(xué)們易于忽略的.

5.(1)(1,-2)；(2)①機(jī)=2；?0<a<2.

【分析】

(1)將拋物線的一般式改為頂點式即可寫出其頂點坐標(biāo).

(2)①由。=2可知拋物線解析式為y=2(x-l)2-2,再由對稱的性質(zhì)即可求出r的值.最后由增減性即可求出，〃的

值.②分四種情況討論：r<-l.-l<r<0,0<r<l,r>l,根據(jù)〃『2分別列出方程，由r的范圍即可求出。的范

圍..

【詳解】

(1)拋物線的解析式為y=以2-2or+a-2=a(x-l)2-2,

二拋物線的頂點坐標(biāo)為(1，-2).

(2)①當(dāng)。=2時，拋物線為y=2(x-l)2-2,其對稱軸為x=l.

?.?圖象G為軸對稱圖形，

...點A,B必關(guān)于對稱軸x=l對稱.

；點A的橫坐標(biāo)為f,點6的橫坐標(biāo)為f+2,

AB=2,

：.t=Q,即點A為(。，0),點8為(2,0).

:當(dāng)04x<l時，y隨x的增大而減小；當(dāng)14x42時，y隨x的增大而增大,

二圖象G上任意一點的縱坐標(biāo)最大值為0,最小值為-2.

/.m=0-(-2)=2.

②??,過點M(30)和點N(f+2,0)作x軸的垂線，交拋物線于點A和點8,

(r,at2-2at+a-2),B(f+2,a(f+2)2-2a(f+2)+a-2),

又〃>0,拋物線對稱軸ml,

(I)當(dāng)什2W1,即W-l時，圖象G上A的縱坐標(biāo)的值最大，8的縱坐標(biāo)的值最小,

(afi-2at-^a-2)-[a(r+2)2-2a(f+2)+。-2]=2,

解得

(II)當(dāng)f<lVf+2,且f+2-lW-3即-1<瓦0時，圖象G上A的縱坐標(biāo)的值最大，頂點縱坐標(biāo)的值最小,

(aP-2m+4?2)-(-2)=2,

又-1VW0,

**?gVaW2；

(III)當(dāng)fVIV什2,且什2-1>1,即0V/V1時，圖象G上8的縱坐標(biāo)的值最大，頂點縱坐標(biāo)的值最小,

a(r+2)2-2a(，+2)+a-2-(-2)=2,

又OV/V1,

-V〃V2；

(四)當(dāng)侖1時，圖象G上8的縱坐標(biāo)的值最大，A的縱坐標(biāo)的值最小,

.\a(1+2)2-2。(f+2)+a-2-(at2-2at+a-2)=2,

又侖1,

綜上所述，若存在實數(shù)3使得〃『2,則0＜把2.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分類討論圖象G上縱坐標(biāo)的最大值與最小值列方程.

6.⑴x=a-l；⑵①y=0；②&=。-2；(3)?＞-1

【分析】

(1)根據(jù)對稱軸公式計算即可；

(2)①把x="代入即可得解；②令尸0,求出方程的解，再根據(jù)已知條件判斷即可；

(3)分三種情況根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可；

【詳解】

(1)Vy=-x2+(2a-2)x-a2+2a,

2a-2,

???對稱軸”一可r“-I

(2)(J)當(dāng)x=〃時，y=—_2)a_cr+/2xi=_cr+2^z__2a_ci~+26?=0；

②令y=0,則-d+(2a-2)x-/+2a=0,o

(-x+a)(x+2-a)=0,

xx=a,x2=a-2,

又?:%=%=°且N＜/，

.?.％=a-2；

(3)當(dāng)王＜毛4。一1時，,〈為恒成立；

當(dāng)時，兇＜丫2恒不成立;

當(dāng)蒼<a-l,%2>〃一1時，

設(shè)（々，％）關(guān)于對稱軸X=4-1的對稱點為（為，％），

由拋物線的對稱性可知（七,為）在拋物線上，且丫3=%，毛+$=2（。一1）,x3<a-\,

又：斗+々<-4時，y<必，

王+々<-4時，,<%，

V%,<?—],思<。-1,

x[+x2<-4時，xx<x^,

而W+七=2（tz-l）,

即斗+工2<7■時，玉+/v2（a—1）成立，

2（a-1）N—4,

a2—1,

當(dāng)aN—1時，u—12—2,由于X[+々<—4,故當(dāng)aN—1時，不在a—14王<X2；

綜上所述：a>-\.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵.

7.（1）x=a.（2）y=2/-8x+l或y=-2x?-8x+l；（3）-44a<0或0<aW4

【分析】

（1）根據(jù)對稱軸公式求解即可；

（2）根據(jù)4B兩點坐標(biāo)，求出對稱軸，即可求出a；

（3）確定點P在AS上，結(jié)合圖象，根據(jù)拋物線與線段PQ恰有一個公共點，確定尸點與8點的位置即可.

【詳解】

解：⑴根據(jù)對稱軸公式可得，x="-=a；

2a

（2）,拋物線丫=0%2-2。4+1（4h0）與y軸的交點為4,

...點A的坐標(biāo)為4（0,1）.

:過A所作x軸的平行線與拋物線的交點為8,AB=4,

???點B的坐標(biāo)為（4,1）或（T,1）..?.拋物線的對稱軸為直線x=2或x=-2.

a=2或a=—2.

二拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2x、8x+1或y=-2x2-8x+l.

（3）「mA所作x軸的平行線與拋物線y=ax2-2a2x+Ka^0）的交點為B,

.?.點B的縱坐標(biāo)為1.

.?.點B的橫坐標(biāo)是關(guān)于x的方程ax2-2YX+1=1的解.

解得x,=0,X2=2。.

/.點B的坐標(biāo)為.又?.?點P的坐標(biāo)為P（a+4,1）,

.?.點P在直線AB上.

①如圖4,當(dāng)a>0時，2a>0,a+l>l,a+4>a.

3（2al）在4（0,1）右側(cè)，且。（0,。+1）的），軸上A（0,l）的上方，*。+4,1）在拋物線的對稱軸右側(cè).

???拋物線y=-勿2彳+1（4=0）與線段恰有一個公共點,

...結(jié)合圖象可得，點P,點B的橫坐標(biāo)七,,與滿足斗2z.

Ja>0

[a+422。解得0<a?4.

②如圖5,當(dāng)。<0時，2a<0,a+\<\,a+4>a,

圖5

???8(2〃/)在A(0,l)左側(cè)，且Q(0,a+l)的y軸上A(0,l)的下方，P(a+4,1)在拋物線的對稱軸右側(cè).

???拋物線^=加-2/x+l(aw0)與線段PQ恰有一個公共點，

.?.結(jié)合圖象可得，點P,點A的橫坐標(biāo)/，/滿足與2%，

fa<0

A”、八，解得Y4a<0.

[a+4>0

綜上所述，-4<a<0aSc0<a<4.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，解題關(guān)鍵是樹立數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合圖象，熟練運用二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)解決問

題.

8.(1)A(m,2m+l)；(2)"?=一1或m=-j；(3)0<m<2^2<m<8.

3

【分析】

(1)利用配方法配成頂點式，即可得出頂點坐標(biāo);

(2)根據(jù)射線0A與x軸所成的銳角為45。時，A點在直線產(chǎn)-x上或產(chǎn)x上，此時A點的橫縱坐標(biāo)相等或互為相反

數(shù)即可求得〃?；

(3)①當(dāng)拋物線的對稱軸x=2左側(cè)時，②當(dāng)拋物線的對稱軸為x=2時，③當(dāng)拋物線的對稱軸x=2右側(cè)時，三種

情況討論即可.

【詳解】

解：(1)Vy=-x2+2mx-m2+2m+l=-(x-m)2+2m+l,

，A(m,2/n+l)；

(2)由(1)得A(九26+1),

V射線OA與x軸所成的銳角為45°,

，機(jī)=2機(jī)+1或機(jī)=一(2加+1),

解得機(jī)=-1或加=一;；

(3)VP(0,l),

A0(4,1),PQ的中垂線為％=2,

*/y=-x2+2mx-m2+2m+l,

???拋物線開口向下，

①當(dāng)拋物線的對稱軸x=2左側(cè)時，此時〃?<2,如下圖，若圖象與線段只有一個交點，則

m<2

<一機(jī)Z+2次+121,WW0</n<2,

―16+8〃7—機(jī)2+1(1

當(dāng)尸1時，1=一Y+4x+l,解得x=0或x=4,拋物線與線段PQ有兩個交點，不符合題意;

③當(dāng)拋物線的對稱軸x=2右側(cè)時，此時機(jī)>2,如下圖，若圖象與線段只有一個交點，

m>2

"-nr+2m+1<1,解得2<〃？48.

—16+8/n-/n2+2m+\>I

綜上所述，04m<2或2〈帆M8.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)綜合.（1）中掌握用配方法化二次函數(shù)一般式為頂點式是解題關(guān)鍵；（2）中理解射線OA與x

軸所成的銳角為45。時，A點的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵；（3）中能分類討論是解題關(guān)鍵.

9.(1)(b,-2),(2)-2<n<2,(3)3<b<5.

【分析】

(1)把拋物線配成頂點式即可；

(2)把點8(0,2)代入解析式，求出解析式后，再根據(jù)0<m<3,確定〃的取值范圍即可；

(3)把(3,2)(5,2)代入求出6值，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象直接判斷即可.

【詳解】

解：(1)y=x,-2版+02-2化成頂點式為：y=(x-b)2-2,

拋物線頂點的坐標(biāo)為(b,-2)；

(2)把8(0,2)代入解析式得，2=/一2,解得，伉=-2(舍去)，&=2,

拋物線解析式為：y=x1-4x+2=(x-2)2-2,

因為拋物線開口向下，當(dāng)加=2時，〃有最小值，最小值為-2,當(dāng)機(jī)=0時，”=2,當(dāng)m=3時，n=-\,

所以，〃的取值范圍為：-24”2；

(3)把(3,2)代入y=--2bx+〃-2得,2=9-6b+b2-2)解得，4=1,仇=5,

觀察圖象，當(dāng)人=5時，滿足3歿35時，旗2；

把(5,2)代入y=x2-2fcc+〃-2得,2=25-106+/-2,解得，4=3,b2=7,

觀察圖象，當(dāng)匕=3時，滿足緩M5時，42；

故b的取值范圍為琛以5.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合思想，直觀的解決問題.

10.(1)x=l；(2)”>1或

8

【分析】

(1)根據(jù)對稱軸的公式、=-二代入計算即可；

(2)分。>0,〃V0兩種情況討論，利用二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征可得到關(guān)于。的一元一次不等式，解之即可

得出。的取值范圍.

【詳解】

(1)y=ax2—2ax+l(aw0),

:?a=a,"-2。，

.-(-2a)

..x=---------=1

2a

(2),?,由(1)得對稱軸為R=1,

+x2)=l,即玉+x2=2

又<X<6—2X2,+2X2<6,gpxt+x2+x2<6,

I.X2<4

若〃>0時，當(dāng)x=l時，a-2a+l<0,a>l

若a<0時，當(dāng)x=4時，16a-8a+l<0,a<——

8

所以。>1或。

O

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)和分類討論的思想，熟記二次函數(shù)圖像特征是解題的關(guān)鍵.

11.(1)x=-;(2)點B的坐標(biāo)為(3,1)；(3)-l<?<0^ca>2

【分析】

(1)根據(jù)對稱軸公式即可求解；

(2)先求出點A的坐標(biāo)，再求出其對稱性即可求解：

(3)根據(jù)題意作圖，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

3

解：(1)由拋物線y=依2-3ov+l,可知x=——.

2a2

...拋物線的對稱軸為直線x=13.

(2)..,拋物線y=ax2_3ov+l與)，軸交于點4,

令x=0,y=l

.?.點A的坐標(biāo)為(0,1).

?.?點B是點A關(guān)于直線x=j的對稱點，

二點8的坐標(biāo)為(3,1).

(3)；點4(0,1),點8(3,1),點P(0,2),點Q(a+l,l),

.?.點P在點A的上方，點Q在直線y=l上.

①當(dāng)。>0時，a+l>l,點。在點A的右側(cè).

(i)如圖1,當(dāng)。+1<3,即。<2時，點。在點B的左側(cè),

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段PQ與拋物線沒有公共點;

(ii)如圖2,當(dāng)a+l23,即時，點Q在點B的右側(cè)，或與點B重合，

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線恰有一個公共點

②當(dāng)〃<0時，a+l<l,點。在點B的左側(cè).

(i)如圖3,當(dāng)OWa+lVl,即-14“VO時，點。在點A的右側(cè)，或與點A重合,

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線恰有一個公共點；

(ii)如圖4,當(dāng)。+1<0,即a<T時，點。在點A的左側(cè)，

結(jié)合函數(shù)圖象，可知線段尸。與拋物線沒有公共點.

綜上所述，”的取值范圍是-IMaVO或

【點睛】

此題主要考查二次函數(shù)的圖象綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)題意畫圖求解.

12.(1)直線x=m；⑵①y>必；見解析；②一2<“<2

【分析】

(1)直接利用對稱軸公式X=-g即可求出.

(2)①當(dāng)〃?=0時，二次函數(shù)解析式是y=/,對稱軸為y軸.由此可得圖形G上的點的橫縱坐標(biāo)x和y,滿足y

隨x的增大而減小，即可求出②通過計算可知，點P(“-2,4),Q(m+2,4)為拋物線上關(guān)于對稱軸…，對稱的

兩點，

分類討論當(dāng)，"變化時，)，軸與點尸，Q的相對位置：【當(dāng)y軸在點P左側(cè)時(含點P),作出圖形，即可得出經(jīng)翻

折后，得到點“，N的縱坐標(biāo)相同，此時％=%，不符題意；H當(dāng)y軸在點。右側(cè)時(含點Q),作出圖形，即可

得出點M,N分別和點尸，。重合，此時％=%，不符題意；HI當(dāng))，軸在點P,Q之間時(不含尸，Q),作出圖

形，即可得出經(jīng)翻折后，點N在/下方，點M,P重合，在/上方，此時,>%，符合題意.即有

m-2<0<m+2,E|J-2<m<2.

【詳解】

(1)拋物線y=x2-2mx+nr的對稱軸為直線x=—平=m；

(2)①當(dāng)m=0時，二次函數(shù)解析式是y=Y,對稱軸為y軸；

，圖形G上的點的橫縱坐標(biāo)x和y,滿足)，隨x的增大而減小;

,:X,<x2,

②通過計算可知，P(〃L2,4),。(m+2,4)為拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點,

下面討論當(dāng)，"變化時，y軸與點P,Q的相對位置:

I如圖，當(dāng)），軸在點P左側(cè)時（含點尸），

經(jīng)翻折后，得到點M,N的縱坐標(biāo)相同，y,=y2,不符題意;

II如圖，當(dāng)y軸在點。右側(cè)時（含點Q）,

點M,N分別和點P,Q重合，3=）?，不符題意;

山如圖，當(dāng)y軸在點P,。之間時（不含P,Q）,

經(jīng)翻折后，點N在/下方，點M,P重合，在/上方，符合題意.

m-2<0<m+2,B|J-2<m<2.

綜上所述，，"的取值范圍為-2<機(jī)<2.

【點睛】

本題為二次函數(shù)綜合題.考查拋物線的對稱軸，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等知識，較難.利用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思

想是解答本題的關(guān)鍵.

4

13.(1)x=l；(2)h<-^h>5

【分析】

(1)將〃=1代入解析式，然后將二次函數(shù)一般式化成頂點式求解；

(2)設(shè)拋物線上四個點的坐標(biāo)為4(0,〃),8(2,y?),C(4-A,%),。(5-"%),利用二次函數(shù)性質(zhì)分情況討論求

解.

【詳解】

解：(1)當(dāng)/?=1時，拋物線的表達(dá)式為y=62-2ox+a+l.

y=+1.

二拋物線的對稱軸為直線x=l.

(2)設(shè)拋物線上四個點的坐標(biāo)為A(0,%),8(2,%),C(4-h,yc),D(5-h,yD).

,：a<0,

M的最小值必為力或yB-

①由。<0可知，當(dāng)時，存在力之兇，不符合題意.

②當(dāng)〃<2時，總有4-Q2.

,當(dāng)x>/?時，y隨x的增大而減小，

??%>%>%?

當(dāng)T時，4-h-h^\h\.

/?力2無>%,符合題意.

4

當(dāng)一</z<2時,4-h-h<h.

3

???力〈先，不符合題意.

③當(dāng)心，時，

?.,當(dāng)x</z時，了隨X的增大而增大，

???"<%，yA<yB-

當(dāng)時，5-A^O.

符合題意.

當(dāng)時，5-h>0.

二%〉〃，不符合題意.

綜上所述，6的取值范圍是或6W5.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，理解圖像性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

4

14.(1)x=],(0,一3a)；(2)或〃=一1

【分析】

(1)運用公式4-二求出對稱軸，令x=0,得)=-3a,即可求得拋物線與y軸的交點坐標(biāo)；

(2)分三種情況：①當(dāng)。>0時，②當(dāng)“<0時，拋物線的頂點在線段BC上，③當(dāng)。<0時，若拋物線的頂點不在

線段BC上，分別進(jìn)行討論即可.

【詳解】

解：(1);拋物線y=ax2-2ax-3a,

，拋物線的對稱軸是直線廣1,

令工=0,y=-3af

???拋物線與y軸交點坐標(biāo)為E(0,-3。)；

(2))=以2_2，a-3。=。。2-2元-3)=4(元+l)(x-3),

???拋物線與x軸交于點A(-1,0),D(3,0),與y軸交于點E(0,?3〃)，頂點坐標(biāo)是(1,?4〃).

由題意得點C(0,4),又8(3,4),

①當(dāng)。＞0時，如圖1,顯然拋物線與線段3c無公共點；

則頂點坐標(biāo)為(1,4),

???-4。=4,

a--\；

③當(dāng)“<0時，若拋物線的頂點不在線段8c上，如圖3,由拋物線與線段8c恰有一個公共點,

、-4

綜上，。的取值范圍是或a=-l.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變換-平

移，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想解答.

15.(1)&=1-3(7；(2)x=l,a=l；(3)"1且"0

【分析】

(1)代入A點坐標(biāo)即可整理出用a表示b的式子；

(2)根據(jù)必=%，xt+x2=2,可知對稱軸為41,結(jié)合(1)可以求出。的值；

(3)將M、N的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=渡+(l-3a)x,運用%-%="xj+(1-3a)與-(1-3a)w,化簡整

理求出。的取值單位.

【詳解】

(1)解：?.?過A(3,3),

9a+3。=3.

，=1—3。?

(2)解：x,+x2^2,必=%,

，對稱軸為：直線'=弓±=1.

(7=1.

(3)解：將點，y),NO?，乃)代入"?+(1-3。)不得，

2

y=axt+(1-3a)x{,y2=ax^+(1-3a)x2

2

y]-y2="J+(1—3〃)X]-or2-(1-3a)x2

=。(芭+x2Xx,一々)+(1—3。)(西-x2)

=(X,-x2)(2a+\-3a)

=(x1-x2)(\-a)

?王<w,M<%，

％-x2<0,y-y2Vo.

**?1—tz>0.

，〃<1且〃w0.

【點睛】

本題考查了拋物線解析式的有關(guān)知識，同過作差法比較的小是解決這個問題的難點.

16.(1)(九"7)；(2)y=-f+2元或?qū)憺椋簓=-(x-l)2+1；(3)m<2,或次之3.

【分析】

(1)化拋物線為頂點式，即可寫出頂點坐標(biāo)；

(2)求出點AO,列方程求解即可；

(3)考慮點C在拋物線上時m的值，再結(jié)合圖形，分情況進(jìn)行討論.

【詳解】

(1)*/y=-x2-\-2mx-m2+m=-(x-/n)2+機(jī),

???拋物線的頂點A坐標(biāo)為(加,in).

(2)點A在第一象限，

0A=6m，

0A=>/2

m=1

拋物線的表達(dá)式為y=-V+2x,或?qū)憺椋簓=-(x-l)2+l

(3)把C(2,2)代入y=-x2+2mx-irr+m,得

2=-22+4/M-nr+m,

解得M=2或3,

結(jié)合圖象可得：

當(dāng)機(jī)42時，拋物線與線段BC有公共點，

當(dāng)2V〃T<3時，拋物線與線段BC無公共點，

當(dāng)機(jī)23時，拋物線與線段8c有公共點；

綜上，當(dāng)加42或時，拋物線與線段BC有公共點.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

17.(1)2；(2)①-J(2)-4<n<-2

4

【分析】

(1)利用二次函數(shù)的對稱軸公式即可求出b值;

(2)①根據(jù)二次函數(shù)圖象的軸對稱性，即可得出答案;

②根據(jù)x、y的取值范圍，即可得〃的取值范圍.

【詳解】

(1)拋物線y=-x2+2bx-3的對稱軸為直線x=2,

b=2.

(2)①.?.拋物線的表達(dá)式為y=-X2+4x-3.

VA(xi,y),B(%2?y),

???直線A3平行無軸.

?.?々-X=3,

：.AB=3.

:對稱軸為x=2,

工當(dāng)工=；時，y=n=-^.

②當(dāng)產(chǎn)后一4時，0勺區(qū)5時，-4<y<l；

當(dāng)y=n=-2時,時，-2VyW4；

???〃的取值范圍為-4W〃W—2.

【點睛】

本題是一道二次函數(shù)綜合題.考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于要按要求畫出函數(shù)圖象，并結(jié)合二次函

數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行解題.

1,3

18.(1)y——x~-x-\—,(1,0)；(2)-1Vx2V0；(3)aV-2.

22

【分析】

(1)由題意可知拋物線的對稱軸為x=-l=-