2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第三冊同步講義第4講排列組合常見11種題型總結(jié)分析（解析版）

第4講排列組合常見11種題型總結(jié)分析

【題型目錄】

題型一：特殊元素與特殊位置優(yōu)待法

題型二：分類討論思想

題型三：插空法（不相鄰問題）

題型四：捆綁法（相鄰問題）

題型五：平均分組問題除法策略

題型六：分配問題先分組再分配

題型七：正難則反

題型八：定序問題（消序法）

題型九：相同元素隔板法

題型十：涂色問題

題型十一：與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題

【典型例題】

題型一：特殊元素與特殊位置優(yōu)待法

對于有附加條件的排列組合問題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素

和位置。

【例1】從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、

乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（）

（A）280種（B）240種（C）180種（D）96種

【答案】B

【詳解】解：先從除了甲乙剩余的4名志愿者中選1人從事翻譯工作，有C：種，然后再從剩余的5

名志愿者中選3個人從事另外三項工作，有可種，所以一共有C：盤=240種.

故選：B.

【例2】某城市的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數(shù)字組成，其中4個數(shù)字互不相同的牌照號

碼共有（）個

A.A^IO4B.砥C.（Cy2104D.A1）

［答案］D

【2?析】先求從26個英文字母中選出2個英文字母的方法數(shù)，再求出后接4個數(shù)字組成的方法數(shù)，

由分步計數(shù)原理即可得結(jié)論.

【詳解】解：先從26個英文字母中選出2個英文字母的方法數(shù)為（C；6丫，后接4個數(shù)字組成的方法

數(shù)為解，所以由分步計數(shù)原理可得不相同的牌照號碼共有（C；j端個.

故選：D.

【例3】將甲、乙、丙等六位同學(xué)排成一排，且甲、乙在丙的兩側(cè)，則不同的排法有種.

【答案】240

【分析】依據(jù)特殊元素優(yōu)先法去排列即可解決.

【詳解】甲、乙、丙等六位同學(xué)排成一排，可以看成甲、乙、丙等六位同學(xué)在一排6個座位上就座.

先安排甲、乙、丙三位同學(xué)：在6個座位中任選3個座位有種方法，讓甲、乙坐在丙的兩側(cè)，有

A；種方法；

接下來安排余下的三位同學(xué)：余下的三位同學(xué)在剩下的3個座位上任意坐有A；種方法.

則不同的排法共有A；=240（種）

故答案為：240

【例4】用0、1、2、3、4五個數(shù)字：

（1）可組成多少個五位數(shù)：

（2）可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；

（3）可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；

（4）可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù).

【答案】（1）2500；（2）96；（3）20；（4）36

【分析】四個問題是同一類型題根據(jù)已知討論各個位置上的數(shù)字情況，然后利用分步乘法計數(shù)原理

進行計算即可求解.

(1)

用0、I、2、3、4五個數(shù)字組成五位數(shù)，相當(dāng)于從I、2、3、4四個數(shù)字中抽取一個放在萬位，有C；種

情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在千位，有C；種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字

中抽取一個放在百位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在十位，有C；種情況,

從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在個位，有C1種情況，

所以可組成C；xC；xC；xCxC；=4x54=2500個五位數(shù).

(2)

用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，相當(dāng)于先從1、2、3、4四個數(shù)字中抽取一個

放在萬位，有C：種情況，再把剩下的三個數(shù)字和0全排列，有A：種情況，所以可組成

C；A：=4x24=96個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).

(3)

無重復(fù)數(shù)字的3的倍數(shù)的三位數(shù)組成它的三個數(shù)字之和必須是3的倍數(shù)，

所以三個數(shù)字必須是0、I、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4,

若三個數(shù)字是0、1、2,則0不能放在百位，從1和2兩個數(shù)字中抽取一個放在百位，有C；種情況,

再把剩下的一個數(shù)字和0全排列，有A；種情況；

若三個數(shù)字是0、2、4,則0不能放在百位，從2和4兩個數(shù)字中抽取一個放在百位，有C；種情況,

再把剩下的一個數(shù)字和0全排列，有A；種情況：

若三個數(shù)字是1、2、3,則相當(dāng)于對這三個數(shù)字全排列，有A；種情況；

若三個數(shù)字是2、3、4,則相當(dāng)于對這三個數(shù)字全排列，有A；種情況.

所以根據(jù)分類計數(shù)原理，共可組成C；xA；+C；xA；+A；+A；=2x2+2x2+6+6=20

個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù).

(4)

由數(shù)字0、1、2、3、4五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則放在個位的數(shù)字只能是奇數(shù)，所以

放在個位數(shù)字只能是1或3,所以相當(dāng)于先從1、3兩個數(shù)字中抽取一個放在個位，有C；種情況，再

從剩下的四個數(shù)字中除去0抽取一個放在萬位，有C；種情況，再對剩下的三個數(shù)字全排列，有A；種

情況，

所以可組成C；xC；xA；=2x3x6=36個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù).

【題型專練】

1.某校從8名教師中選派4名教師到4個邊遠地區(qū)支教(每地1人)，要求甲、乙不同去，甲、丙

只能同去或同不去，則不同的選派方案有種.

【答案】600

【分析】先從8名教師中選出4名，因為甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，所以可按選甲

和不選甲分成兩類，兩類方法數(shù)相加，再把4名老師分配去4個邊遠地區(qū)，4名老師進行全排列即

可，最后兩步方法數(shù)相乘

【詳解】解：分兩步，

第一步，先選四名老師，又分兩類，

第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，有C；=10種不同的選法，

第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C：=15種不同的選法，

所以不同的選法有25種，

第二步，四名老師去4個邊遠地區(qū)支教，有A：=24種，

所以共有25x24=600種，

故答案為:600

【點睛】此題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.某化工廠生產(chǎn)中需依次投放2種化工原料，現(xiàn)已知有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時

使用，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必須先投放，則不同的投放方案有().

A.10種B.12種C.15種D.16種

【答案】C

【分析】根據(jù)選甲或乙或都不選分類討論即可.

【詳解】分為以下三類分別計算：

選甲，則有c；=3種；

選乙，則有2xC；=6種；

甲乙都不選,則有A；=6種；

共有3+6+6=15種方案：

故選：C.

3.4張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1,2；1,3；4,5；6,7.將這4張卡片排成一排，可構(gòu)成不

同的四位數(shù)的個數(shù)為（）

A.288B.336C.368D.412

【答案】B

【分析】由已知，可根據(jù)題意，分成當(dāng)四位數(shù)不出現(xiàn)1時、當(dāng)四位數(shù)出現(xiàn)一個1時、當(dāng)四位數(shù)出現(xiàn)

兩個1時三種情況，分別列式求解即可.

【詳解】當(dāng)四位數(shù)不出現(xiàn)1時，排法有：C；xC；xA：=96種；

當(dāng)四位數(shù)出現(xiàn)一個1時，排法有：2xC；xC；xA：=192種：

當(dāng)四位數(shù)出現(xiàn)兩個1時，排法有：C；xC；xA：=48種；

所以不同的四位數(shù)的個數(shù)共有：96+192+48=336.

故選:B.

4.用0,2,4,5,6,8組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這樣的四位數(shù)中偶數(shù)共有（）

A.120個B.192個C.252個D.300個

【答案】C

【分析】根據(jù)個位數(shù)是否為零分類討論即可.

【詳解】若這個偶數(shù)的個位數(shù)是0,則有6=60個；

若這個偶數(shù)的個位數(shù)不是0,則有=192個.

故滿足條件的四位數(shù)中偶數(shù)的總個數(shù)為60+192=252；

故選：C.

題型二：分類討論思想

【例1】在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎，將這8張獎券分配給4個人，每

人2張，不同的獲獎情況數(shù)（）

A.60B.40C.30D.80

［答案］A

【2■析】分類討論：一，二，三等獎，三個人獲得；一，二，三等獎，有1人獲得2張，1人獲得1

張

【詳解】一，二，三等獎，三個人獲得，共有&=24種；

一，二，三等獎，有1人獲得2張，1人獲得1張，共有C；4：=36種，共有24+36=60種.

故選：A.

【例2】中國古代十進制的算籌計數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長

短的小木棍.如圖，是利用算籌表示數(shù)b9的一種方法.例如：3可以表示為“三”，26可以表示為

現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1~9這9個數(shù)字表示兩位數(shù)的個數(shù)為

__==^j_X==

123456789

【答案】16

【分析】根據(jù)己知條件分析可得6根算籌可以表示的數(shù)字組合，進而分析每個組合表示的兩位數(shù)個

數(shù)，由加法原理即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，現(xiàn)有6根算籌可以表示的數(shù)字組合為15,19,24,28,64,68,33,37,77；

數(shù)字組合15,19,24,28,64,68,37中，每組可以表示2個兩位數(shù)，則可以表示2x7=14個兩位

數(shù)；數(shù)字組合33,77,每組可以表示1個兩位數(shù)，則共可以表示2x1=2個兩位數(shù)；

則總共可以表示14+2=16個兩位數(shù).

故答案為：16.

【例3】將1,2,3填入3x3的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，下面是一種填法，則不

□同的填□寫方法共有（）

□FN□

A.6種B.12種C.24種D.48種

［答案］B

【分析】由題意，只需填第一行和第一列，剩下的即唯一確定了，由此求出答案.

【詳解】由題意，只需填第一行和第一列，剩下的即唯一確定

則不同的填寫方法共有A；A；=12.

故選：B.

【題型專練】

1.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安

排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

【答案】C

【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.

【詳解】苜先從6名同學(xué)中選1名去甲場館，方法數(shù)有

然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場館，方法數(shù)有C；：

最后剩下的3名同學(xué)去內(nèi)場館.

故不同的安排方法共有=6x10=60種.

故選：C

【點睛】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.

2.某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任務(wù)，每人負責(zé)一天.已知甲不安排在第一天，乙不安

排在第二天，甲和丙在相鄰兩天，則不同的安排方式有一種.

【答案】1128

【分析】根據(jù)題意，按甲乙丙的安排分5種情況討論：①甲在第二天值班，則丙可以安排在第一天

和第三天，乙沒有限制，②甲在第三天值班，內(nèi)安排在第二天值班，乙沒有限制，③甲在第三天值

班，丙安排在第四天值班，乙有4種安排方法，④甲在第四五六天值班，丙有2種安排方法，乙有

4種安排方法，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4種安排方法，求出每種情況

的安排方法數(shù)目，由加法原理計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相鄰兩天，分5種情況討論:

①甲在第二天值班，則丙可以安排在第一天和第三天，有2種情況，剩下5人全排列，安排在剩下

的5天，有A；=120種安排方式，

此時有2x120=240種安排方式，

②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有A；=l20種安

排方式，

此時有1x120=120種安排方式，

③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4種安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4

天，有A：=24種安排方式，

此時有4x24=96種安排方式，

④甲在第四五六天值班，丙有2種安排方法，乙有4種安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的

4天，有A：=24種安排方式，

此時有3x2x4x24=576種安排方式，

⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4種安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下

的4天，有A：=24種安排方式，

此時有4x24=96種安排方式：

故有240+120+96+576+96=1128種安排方式：

故答案為：1128

題型三：插空法（不相鄰問題）

對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之

間及兩端空隙中插入即可。

【例1】6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）

A.144B.120C.72D.24

【答案】D

【解析】先排三個空位，形成4個間隔，然后插入3個同學(xué)，故有禺=24種

【例2】公元五世紀，數(shù)學(xué)家祖沖之估計圓周率萬的范圍是：3.1415926＜乃＜3.1415927,為紀念祖

沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就.小明是個數(shù)學(xué)迷,

他在設(shè)置手機的數(shù)字密碼時，打算將圓周率的前6位數(shù)字3,1,4,1,5,9進行某種排列得到密碼.如

果排列時要求兩個1不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同密碼有（）個.

A.240B.360C.600D.720

［答案］A

【4析】直接利用插空法計算得到答案.

【詳解】利用插空法：共有A：xC；=240種.

故選：A

【例3】有5本不同的教科書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本.若將其并排擺放在書

架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是（）

A.12B.48C.72D.96

【答案】B

【分析】此題分為物理在第一或第五個位置、物理在第二或第四個位置和物理在第三個位置，分別

求出它們的總數(shù)即可求出答案.

【詳解】物理在第一或第五個位置，共有：A；xA；x2x2=16種；

物理在第二或笫四個位置，共有：A；xA；x2x2=16種；

物理在第三個位置，共有:C；xC；xA；xA；=16種：

所以同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是：16x3=48.

故選：B.

【題型專練】

1.有互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，要求紅色

菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，則共有擺放方法（）

A.120種B.32種C.24種D.16種

【答案】D

【分析】紅色在中間，先考慮紅色左邊的情況，再考慮右邊，進而求出答案.

【詳解】紅色左邊放一盆白色，一盆黃色，右邊放一盆白色，一盆黃色，

先選左邊，白色二選一，黃色二選一，再進行排列，故有C；C；A；種選法，

再考慮后邊，剩余的白色和黃色進行排列即可，有A；種選法，

綜上：一共有擺放方法A；=16和L

故選：D

2.現(xiàn)有2名學(xué)生代表，2名教師代表和3名家長代表合影，則同類代表互不相鄰的排法共有（）

種.

A.552B.864C.912D.1008

【答案】C

【分析】插空法求解不相鄰排列問題.

【詳解】由題意，設(shè)A4表示兩名學(xué)生位置，35表示兩名教師位置.，CCC表示三名家長位置，

第一步：先排學(xué)生有用=2種方法；

第二步：再排兩名教師，有①4%:與B4BA,②A4BB與B54A,③ABB4與8A4B-三種情況，

對于①，教師有2A；=4種排法，然后再將三名家長排入五個空中，共有國種方法；

對于②，教師有2M=4種排法，然后家長先在A與A之間和B與8之間各選一個家長排入，剩余一

個家長插入剩余三個空中的一個空中，有A；=9種；

對于③，教師有28=4種排法，然后選一個家長排在最中間一個空中，再將剩余兩個家長排在剩余

的四個空中，有種排法，

綜上，共有&X2&X（M+&.A；+C；?W）=912.

故選：C.

3.某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過AB,C,Q,E,5道工序，如果工序C,。必須不能相鄰，那么有種

加工順序（數(shù)字作答）

【答案】72

【分析】先排其余的3道工序，出現(xiàn)4個空位，再將這2道工序插空.

【詳解】先排其余的3道工序，有用=6種不同的排法，出現(xiàn)4個空位，再將C,D這2道工序插

空，有&=12種不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有6x12=72種加工順序.

題型四：捆綁法（相鄰問題）

對于某幾個元素相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素捆綁，再將它與其它元素在一起排列，注

意捆綁部分的內(nèi)部順序。

【例1】某班優(yōu)秀學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁、戊共5人，他們排成一排照相，則甲、乙二人相鄰的排法

種數(shù)為（）

A.24B.36C.48D.60

【答案】C

【解析】先安排甲、乙相鄰，有A；種排法，再把甲、乙看作一個元素，與其余三個人全排列，

故有排法種數(shù)為A：x&=48.故選：C

【例2】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，

則不同排列方式共有（）

A.12利?B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解

【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有3!種

排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2

種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24

種不同的排列方式，

故選：B

【例3】（多選題）3個人坐在一排5個座位上，則下列說法正確的是（）

A.共有60種不同的坐法

B.空位不相鄰的坐法有72種

C.空位相鄰的坐法有24種

D.兩端不是空位的坐法有27種

【答案】AC

【分析】對于A,采用組合先選出座位，再根據(jù)排列方法安排座位；

對于B,利用插空法；對于C,利用捆綁法；對于D,利用特殊元素優(yōu)先法.

【詳解】對于A,=1-4X3X2X1=60,故正確；

3x2x1

4x3

對于B,A^=3x2xlx--=36,故錯誤；

2x1

對于C,A；x4=3x2xlx4=24,故正確；

對于D,3x2x3=18,故錯誤，

故選：AC.

【例4】中國古代儒家提出的“六藝”指：禮、樂、射、御、書、數(shù).某校國學(xué)社團預(yù)在周六開展“六藝”課程

講座活動，周六這天準(zhǔn)備排課六節(jié)，每藝一節(jié)，排課有如下要求：“禮"與“樂'’不能相鄰，“射”和“御”

要相鄰，則針對“六藝”課程講座活動的不同排課順序共有（）

A.18種B.36種C.72種D.144種

【答案】D

【分析】利用捆綁法和插空法計算可得.

【詳解】解：由題意“樂''與"書''不能相鄰，“射”和“御”要相鄰，可將"射''和"御”進行捆綁看成一個整

體,共有A；種，

然后與“禮”、"數(shù)”進行排序,共有A；種,

最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有A：種，

由于是分步進行，所以共有A，A；-Aj=14"中.

故選：D.

【例5】某辦公樓前有7個連成一排的車位，現(xiàn)有三輛不同型號的車輛停放，恰有兩輛車停放在相

鄰車位的方法有種.

【答案】120

【分析】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進行捆綁看作一個元素，另一輛看作另一個元素，這兩

個元素不相鄰，將這兩個元素插入另外4個車位形成的5個空位中.

【詳解】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進行捆綁看作一個元素，有A；=6種方法；

另一輛看作另一個元素，這兩個元素不相鄰，將這兩個元素插入另外4個車位形成的5個空位中，

有A；=20種,

因此共有A；A；=120種.

故答案為：120

【題型專練】

1.把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品8相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品。不相鄰，則不同的擺法

有種.

【答案】36

【詳解】試題分析：先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，把A、B作為一個元素有A：種方法，而A、B可交

換位置，所以有2A：=48種擺法，又當(dāng)A、B相鄰又滿足A、C相鄰，有2A；=12種擺法，故滿足

條件的擺法有48-12=36種.

【考點】排列組合，容易題.

2.甲、乙、丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票，若甲、乙兩人必

須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（）

A.240B.192C.96D.48

【答案】B

【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.

【詳解】丙在正中間（4號位）；

甲、乙兩人只能坐12,23或56,67號位，有4種情況，

考慮到甲、乙的順序有A；種情況：

剩下的4個位置其余4人坐有A：種情況；

故不同的坐法的種數(shù)為4A；A：=192.

故選：B.

3.2名老師和3名學(xué)生站成一排照相，則3名學(xué)生中有且僅有2人相鄰的站法有種.

【答案】72

【分析】先將學(xué)生分成兩組，兩人的先捆綁，再兩位老師全排列，剩下三個空將兩組學(xué)生全排列即

可.

【詳解】第一步：先取兩個學(xué)生捆綁，則有C>A；=6種；

第二步：兩名老師全排列，則有A；=2種；

第三步：兩名老師有3個空，將兩組學(xué)生安排在3個空中的兩個，則有A；=6種，

則一共有6x6x2=72種.

故答案為：72

4.為弘揚我國古代的“六藝文化”,某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”“御”“書”“數(shù)”

六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（）

A.某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法

B.課程“樂”“射”排在相鄰的兩周，共有240種排法

C.課程“御”“書”“數(shù)”排在不相鄰的三周，共有144種排法

D.課程“禮”不排在第一周，課程“數(shù)”不排在最后一周，共有480種排法

［答案］ABC

【彳析】利用直接法、插空法、捆綁法以及分步乘法計數(shù)原理依次判斷選項即可.

【詳解】A：6門中選2門共有C；=15種選法，故A正確；

B：課程“樂”“射”排在相鄰的兩周時，把這兩個看成一個整體，有8種排法，然后全排列有用=120

種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，“樂”“射”相鄰的排法共有其8=240種，故B正確；

C：課程“御”“書”“數(shù)”排在不相鄰的三周，先排剩下的三門課程有用=6種排法，然后利用插空法排

課程“御”“書”“數(shù)”有看=24種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得共有=144種排法，故C正確；

D：分2種情況討論：

若先把“禮”排在最后一周，再排“數(shù)”，有父種排法，

若先把“禮”不排在最后一周，再排“數(shù)”，有父種排法，

所以，共有&+C：C：&=504種排法，故D錯誤.

故選：ABC.

5.“四書”“五經(jīng)”是我國9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮

記》《春秋》的合稱.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校計劃在讀書節(jié)活動期間舉辦“四書”“五經(jīng)”知識講座，

每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》《論語》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（）

A.A：A；A；B.A：A；C.A：A；A；D.A：A；A；

【答案】C

【分析】先排除去《大學(xué)》《論語》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，將《大學(xué)》《論語》捆綁和

《周易》看作兩個元素，采用插空法排列，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得答案.

【詳解】先排除去《大學(xué)》《論語》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，

共有A：種排法，將《大學(xué)》《論語》看作一個元素，二者內(nèi)部全排列有A；種排法，

排完的6部經(jīng)典名著的講座后可以認為它們之間包括兩頭有7個空位，

從7個空位中選2個，排《大學(xué)》《論語》捆綁成的一個元素和《周易》的講座，有A；種排法，

故總共有A：A；A；種排法，

故選：C.

6.中國書法一般分為篆書、隸書、行書、楷書和草書這5種字體，其中篆書分大篆和小篆，隸書分古

隸和漢隸，草書分章草、今草和狂草，行書分行草和行楷，楷書分魏碑和唐楷.為了弘揚傳統(tǒng)文化，

某書法協(xié)會采用楷書、隸書和草書3種字體書寫6個福字，其中隸書字體的福字分別用古隸和漢隸書

寫，草書字體的福字分別用章草、今草和狂草書寫，楷書字體的福字用唐楷書寫.將這6個福字排成

一排，要求相同類型字體的福字相鄰，則不同的排法種數(shù)為種.

【答案】72

【彳析】利用捆綁法，結(jié)合排列數(shù)的計算，求解即可.

【詳解】分別將隸書、草書、楷書當(dāng)作整體，排法總數(shù)為A；=6,

隸書內(nèi)部順序A；=2,草書內(nèi)部順序A；=6,

故方法總數(shù)為A；A；A；=72種.

故答案為：72.

題型五：平均分組問題除法策略

【例1】已知有6本不同的書.分成三堆，每堆2本，有種不同的分堆方法？

【答案】15

【分析】根據(jù)題意先對6本書進行分組，因為平均分成的組，不管他們的順序如何，都是一種情況，

所以分組后要除以A；,進而求解.

【詳解】6本書平均分成3堆，

6x5x4x3x

所以不同的分堆方法的種數(shù)為c：c：c；==15.

A；3x2x1

故答案為：15.

【例2】12個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊任意分成3個組（每組4個隊），則3個強隊恰好

被分在同一組的概率為

【答案】B

【詳解】因為將12個組分成4個組的分法有箋三種，而3個強隊恰好被分在同一組分法有

￡

C；c；c；c；a

故個強隊恰好被分在同一組的概率為C；C；C：C：A；C：2C；C：A；=S.

A；

【例3】6本不同的書，分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，共有種不同的分配方式

【答案】15

【分析】根據(jù)部分平均分組由排列組合即可求解.

4

【詳解】無序均勻分組問題，*cc'=15種，

故答案為：15

【題型專練】

1.奧運會足球預(yù)選賽亞洲區(qū)決賽（俗稱九強賽），中國隊和韓國隊是其中的兩支球隊.現(xiàn)要將9支

球隊隨機平均分成3組進行比賽，則中國隊與韓國隊分在同一組的概率是（）.

【答案】A

【分析】由組合與古典概型公式求解

【詳解】由題意得9支球隊平均分成3組共有全也■=280種，

3x2x1

若中國隊與韓國隊分在同一組，則有.7xC2；=7（）種，

2x1

故所求概率為2=怒70=一1，

2o04

故選：A

2.6本不同的書，分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有種分法

【答案】60

【分析】根據(jù)不平均分組即可求解，

【詳解】先從6本書中任取1本，作為一堆，有C；種取法，再從余下的5本書中任取2本，作為一

堆，有C；種取法，最后從余下的3本書中取3本作為一堆，有C；種取法，故共有分法C；C；C；=60種.

3.“全員檢測，阻斷清零”的新冠防疫政策，使得我國成為全球最安全的國家.現(xiàn)某處需要三組全民核

酸檢測人員，其中有3名醫(yī)生和6名社會志愿者組成，每組人員由1名醫(yī)生和2名志愿者組成.根據(jù)

需要，志愿者甲與乙要分配在同一組，則這9名檢測人員分組方法種數(shù)為.

【答案】18

【分析】先把除甲乙兩人的4名志愿者分成兩組與,

再搭配3名醫(yī)生，用分步乘法原理計算可得結(jié)

果.

C2

【詳解】志愿者分組情況有三=3種，搭配3名醫(yī)生有3A；=18利L

A；

故答案為：18.

題量六：分配問題先分組再分配

【例1】某校在重陽節(jié)當(dāng)日安排4位學(xué)生到三所敬老院開展志愿服務(wù)活動，要求每所敬老院至少安

排1人，則不同的分配方案數(shù)是（）

A.81B.72C.48D.36

【答案】D

【分析】先將4位學(xué)生分為三組（其中一組2人，另兩組每組各1人），再分配到三所敬老院，即可

得出答案.

【詳解】先將4位學(xué)生分為三組（其中一組2人，另兩組每組各I人），再分配到三所敬老院，則有

C；A；=36種分配方法，

故選：D.

【例2】某市新冠疫情封閉管理期間，為了更好的保障社區(qū)居民的日常生活，選派6名志愿者到甲、

乙、丙三個社區(qū)進行服務(wù)，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（）

A.540種B.180種C.360種D.630種

［答案］A

【彳析】首先將6名志愿者分成3組，再分配到3個社區(qū).

【詳解】首先將6名志愿者分成3組，再分配到3個社區(qū)，可分為3種情況，

第一類：6名志愿者分成1+2+3,共有C：CC；A；=360（種）選派方案，

第二類:6名志愿者分成1+1+4,共有箋GA；=90（種）選派方案,

r2廠2r2

第三類:6名志愿者分成2+2+2,共有（種）選派方案,

所以共360+90+90=540（種）選派方案,

故選:A.

【例3】6名志愿者要到A,B,C三個社區(qū)進行志愿服務(wù)，每個志愿者只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至

少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A社區(qū)，則不同的安排方法共有（）

A.105種B.144種C.150種D.210種

【答案】D

【5析】先安排2名志愿者到A社區(qū)，再考慮剩余的4名志愿者，分為兩組，可以平均分，可以一

組1人，一組3人，再對兩組進行分配，從而求出最終答案.

【詳解】先選出2名志愿者安排到A社區(qū)，有C；種方法，

c2c2

再把剩下的4名志愿者分成兩組，有兩種分法，?種是平均分為兩組，有十種分法,

另一種是1組1人，另一組3人，有C；C；種分法，再分配到其他兩個社區(qū)，

則不同的安排方法共有A；=210種.

故選：D

【例4】某班9名同學(xué)參加植樹活動，若將9名同學(xué)分成挖土、植樹、澆水3個小組，每組3人，則

甲、乙、丙任何2人在不同小組的安排方法的種數(shù)為（）

A.90B.180C.540D.3240

【答案】C

【分析】先安排除甲、乙、內(nèi)之外的同學(xué)進行平均分組，再安排甲乙內(nèi)到三個不同小組，結(jié)合排列組

合公式即可求解.

【詳解】第一步：先安排除甲、乙、丙之外的同學(xué)，

將除甲、乙、丙3人之外的6名同學(xué)分成挖土、植樹、澆水3組，每組2人，有?A；=90種不同

的方法;

第二步：安排甲、乙、丙,

甲、乙、丙3人分到3個不同的小組，有A；=6種不同的方法.

則由分步乘法計數(shù)原理知，共有90x6=540種不同的安排方法.

故選：C.

【例5】2022年9月30日至10月9日，第56屆國際乒聯(lián)世界乒乓球團體錦標(biāo)賽在成都舉行，組委會

安排甲、乙等6名工作人員去4個不同的崗位工作，其中每個崗位至少一人，且甲、乙2人必須在一

起，則不同的安排方法的種數(shù)為（）

A.240B.180C.156D.144

【答案】A

【分析】對甲、乙兩人所在的崗位的人數(shù)進行分類討論，利用分組分配的原理結(jié)合分類加法計數(shù)原

理可求得不同的安排方法種數(shù).

【詳解】分以下兩種情況討論：

（1）若甲、乙兩人所在的崗位只分配了甲、乙兩人，則另外有一個崗位需要安排兩人，

此時，不同的安排方法種數(shù)為C：1c:A；=144種；

（2）若甲、乙兩人所在的崗位分配了三人，則還需從其余四人中抽取一人分配在甲、乙這兩人所在

的崗位，

此時，不同的安排方法種數(shù)為C；A：=96種.

綜上所述，不同的安排方法種數(shù)為144+96=240.

故選：A.

【例6】在新型冠狀病毒肺炎疫情聯(lián)防聯(lián)控期間，社區(qū)有5名醫(yī)務(wù)人員到某學(xué)校的高一、高二、高

三3個年級協(xié)助防控和宣傳工作.若每個年級至少分配1名醫(yī)務(wù)人員，則不同的分配方法有（）

A.25種B.50種C.300種D.150種

【答案】D

【分析】首先分析將5個人分為三小組且每小組至少有一人，則可能分法有：（2,2,1）,（3,1,1）兩種情

況，每種情況利用分步計數(shù)原理計算情況數(shù)，最后相加即可.

共有甯?09。種;

【詳解】當(dāng)5個人分為2,2,1三小組，分別來自3個年級,

C^C；C；

②當(dāng)5個人分為3,1,1三小組時，分別來自3個年級，共有.A；=60種.

綜上，選法共有90+60=150.

故選:D.

［例7］為促進援疆教育事業(yè)的發(fā)展，某省重點高中選派了3名男教師和2名女教師去支援邊疆工作,

分配到3所學(xué)校，每所學(xué)校至少一人，每人只去一所學(xué)校，則兩名女教師分到同一所學(xué)校的情況種

數(shù)為.

［答案］36

析】將5名老師分為3組，討論2位女老師所在學(xué)校有2人和3人的情況進行計算即可.

【詳解】①若2位女老師和1名男老師分到一個學(xué)校有C；A；=18種情況;

②若2位女老師分在一個學(xué)校，則3名男教師分為2組，再分到3所學(xué)校，有C；A；=18種情況,

故兩名女教師分到同一所學(xué)校的情況種數(shù)為18+18=36種.

故答案為：36.

【例8】甲、乙、丙三名志愿者需要完成4,B,C,D,E五項不同的工作，每項工作由一人完成，

每人至少完成一項，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式有種.

【答案】50

【分析】因為E工作只有乙能完成，所以分為兩類，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利

用兩個原理及排列組合的知識即可求得

【詳解】由題意可分為兩類

（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A,B,C,D,四項工作，則一共有（C：C+等）A；=14

種安排方式

（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A,B,C,D,四項工作，則一共有

（卑=36種安排方式

［A2）

綜上共有14+36=50種安排方式

故答案為：50

【題型專練】

1.某地為遏制新冠肺炎病毒傳播，要安排3個核酸采樣隊到2個中風(fēng)險小區(qū)做核酸采樣，每個核酸

采樣隊只能選擇去一個中風(fēng)險小區(qū)，每個中風(fēng)險小區(qū)里至少有一個核酸采樣隊，則不同的安排方法

共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

【答案】C

【分析】由不平均分組，可得答案.

【詳解】由題意，分組方案有1:2一種情況，則C?A；=3xlx2=6種，

故選：C.

2.某社區(qū)服務(wù)站將5名志愿者分到3個不同的社區(qū)參加活動，要求每個社區(qū)至少1人，不同的分配

方案有（）

A.360種B.300種C.90種D.150種

【答案】D

【分析】先分類，分為3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為3,1,1或2,2,1,再求出兩種情況下的不同分配

方案，注意部分平均分組問題.

【詳解】若3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為3,1,1,此時不同的分配方案有C；&=60種，若3個社區(qū)

c；c；c；

的志愿者人數(shù)分別為2,2,1,此時不同的分配方案有A；=90種，綜上：不同的分配方案有

A；

60+90=150種.

故選：D

3.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安

排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

［答案］C

【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.

【詳解】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場館，方法數(shù)有C：；

然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場館，方法數(shù)有C；：

最后剩下的3名同學(xué)去丙場館.

故不同的安排方法共有C：?《=6x10=60種.

故選:C

【點睛】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.

4.有編號分別為1,2,3,4的四個盒子和四個小球，把小球全部放入盒子，恰有一個空盒，有

種放法.

【答案】144

c；c；c

【分析】本題為分組分配問題，先分組有種情況，再分配有A：種情況，兩式相乘即可.

A；

Cc；c；

【詳解】先分組再分配.第一步：將四個小球分為三組，每組個數(shù)分別為2、1、1,有種情況;

第二步，將分好的三組小球放到三個盒子中，有A：種情況.

所以‘共有等

?A：=144種放法.

故答案為：144.

5.某市教育局人事部門打算將甲、乙、丙、丁、戊這5名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生安排到該市4所不同的學(xué)校任

教，每所學(xué)校至少安排一名，每名學(xué)生只去一所學(xué)校，則不同的安排方法種數(shù)是.

【答案】240

［分析］根據(jù)平均分組原則和分步計數(shù)原理即可解答.

【詳解】先將5名學(xué)生分成4組共有嬰當(dāng)■=10種，

￡

再將4組學(xué)生安排到4所不同的學(xué)校有A：=24種，

根據(jù)分步計數(shù)原理可知：不同的安排方法共有10x24=240種.

故答案為：240

6.某班將5名同學(xué)分配到甲、乙、丙三個社區(qū)參加勞動鍛煉，每個社區(qū)至少分配一名同學(xué)，則甲社

區(qū)恰好分配2名同學(xué)共有種不同的方法.

［答案］60

【彳析】由題意，根據(jù)分組分配的做題原理，可得答案.

【詳解】由題意，分2步分析：

①先5人中選出2人，安排到甲社區(qū)，有C；=10種方法,

②將剩下3人分成2組，安排到乙、丙社區(qū)，有C；A：=6種方法,

則有6x10=60種安排方式.

故答案為：60.

7.甲、乙、丙三名志愿者需要完成A,B,C,D,E五項不同的工作，每項工作由一人完成，每人

至少完成一項，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式有種.

【答案】50

【分析】因為E工作只有乙能完成，所以分為兩類，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利

用兩個原理及排列組合的知識即可求得

【詳解】由題意可分為兩類

r2c2

（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A,B,C,D,四項工作，則一共有（CC+天）A；=14

種安排方式

（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A,B,C,D,四項工作，則一共有

（筆4卜；=36種安排方式

綜上共有14+36=50種安排方式

故答案為：50

8.某班將5名同學(xué)分配到甲、乙、丙三個社區(qū)參加勞動鍛煉，每個社區(qū)至少分配一名同學(xué)，則甲社

區(qū)恰好分配2名同學(xué)共有種不同的方法.

［答案］60

【2?析】由題意，根據(jù)分組分配的做題原理，可得答案.

【詳解】由題意，分2步分析：

①先5人中選出2人，安排到甲社區(qū)，有C；=10種方法，

②將剩下3人分成2組，安排到乙、丙社區(qū)，有C；A；=6種方法，

則有6x10=60種安排方式.

故答案為：60.

9.某校舉行科技文化藝術(shù)節(jié)活動，學(xué)生會準(zhǔn)備安排6名同學(xué)到兩個不同社團開展活動，要求每個社

團至少安排兩人，其中A,B兩人不能分在同一個社團，則不同的