圖形學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)曲線

圖形學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)曲線第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二參數(shù)曲線的基本知識表示方法屬性連續(xù)性第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線的表示方法顯式表示：隱式表示：參數(shù)表示：更強的控制能力更靈活方便的變換及表達(dá)第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二參數(shù)曲線的基本概念假設(shè)參數(shù)曲線表示為第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點處的切矢量（1）用以表示曲線上位置矢量的大小、方向變化)(ttPD+rrPt()圖1切矢量表示位置矢量的變化第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點處的切矢量（2）表示t處位置矢量它的方向指向參數(shù)增加的方向(曲線正向)該點處的切矢量表示為：第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點處的切矢量（3）參數(shù)變換條件下曲線上點的切矢量：參數(shù)變換方程：參數(shù)曲線新方程：切矢量表達(dá)式：切矢量方向保持不變第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二正則曲線與自然參數(shù)（1）正則曲線：所有點都是正則點的曲線。正則曲線與參數(shù)選取無關(guān)參數(shù)表示方程與參數(shù)選取有關(guān)自然參數(shù)：弧長參數(shù)以弧長為參數(shù)的曲線光順性好常采用曲線的自然參數(shù)（弧長參數(shù)）來定義曲線。第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二正則曲線與自然參數(shù)（2）對于正則曲線由弧長函數(shù)的反函數(shù)：可得到曲線自然參數(shù)方程：第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二正則曲線與自然參數(shù)（3）定理：自然參數(shù)曲線的切矢量滿足：證明：除特別申明外通常討論正則曲線并采用弧長參數(shù)定義曲線。以弧長為參數(shù)的曲線若非正則，則畸形。第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點處的主法向量（1）記號自然參數(shù)曲線：任一點處的單位切矢量為沿該方向過該點的直線稱為該點處的主法線定義--衡量曲線彎曲程度？第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點處的曲率曲率可衡量曲線的彎曲程度—單位切矢對弧長的轉(zhuǎn)動率如圖所示第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲率半徑直線特征：曲率處處為0；圓的特征：曲率半徑處處相等第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點處的主法向量（2）定理：主法向量與切矢量正交。證明：第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線上一點處的從法向量沿該方向過該點的直線稱為從法線。第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二Frent活動標(biāo)架第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二問題：切矢量(垂直于法平面)的變化快慢反映了曲線的彎曲程度問題：從法向量(垂直于密切平面)的變化反映了曲線的何種屬性?第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二預(yù)備定理定理：證明：第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線在一點處的撓率含義：從法向量方向?qū)￠L的變化率--反映曲線的扭曲程度。該值大于、小于、等于0分別對應(yīng)右旋、左旋和平面曲線。第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線的幾何不變量（1）曲率和撓率：因與曲線參數(shù)和空間直角坐標(biāo)系的選取都無關(guān)，而稱其為曲線的幾何不變量。曲線基本定理：

如果兩條曲線在弧長參數(shù)相同的點處具有相同的曲率和撓率，那么這兩條曲線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移運動后一定會重合。曲線的自然方程：第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線的幾何不變量（2）在任意參數(shù)條件下的曲率、撓率分別為：第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線的連續(xù)性參數(shù)連續(xù)：函數(shù)可微幾何連續(xù)：曲線光滑二者既有區(qū)別又有聯(lián)系第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線的參數(shù)連續(xù)性第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二曲線的幾何連續(xù)性（1）第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二第二十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二