隨機(jī)過程的基本概念

隨機(jī)過程的基本概念馬爾可夫性質(zhì):馬爾可夫性質(zhì)，或稱作無記憶性，或稱作無后效性。馬爾可夫過程和馬爾可夫鏈，分別表示具有馬爾可■夫性質(zhì)的隨機(jī)過程和隨機(jī)序列。馬爾可夫性質(zhì)是說過程的歷史對(duì)將來的影響，都是通過當(dāng)前狀態(tài)對(duì)將來的影響來表示，即當(dāng)前的狀態(tài)概括了過去歷史對(duì)將來的影響。這樣一來，任意維數(shù)的馬爾可夫過程和馬爾可夫鏈的概率分布，都可以用它們的初始分布和條件轉(zhuǎn)移概率分布來表示。定義1,馬爾可■夫過程(使用條件概率密度函數(shù)，或條件概率分布函數(shù)來表示)設(shè)有一個(gè)隨機(jī)過程(^(O,reT},t,<t2<???</?,<rM1+1GT,若在這些時(shí)刻觀察到隨機(jī)過程的值是X】,匚若它的條件概率密度和條件分布函數(shù)滿足條& Jr?FtIIA件，(X(X也+1/毛見，…知)=fa(Xg/Xm)或則稱這類隨機(jī)過程為具有馬爾可夫性質(zhì)的隨機(jī)過程或馬爾可夫過程。性質(zhì)，馬爾可夫過程的有限維概率密度f\，/:f，j("1X")=MgaxJ?4(％/j)?A//,(%*fh(電定義2,馬爾可■夫鏈(使用轉(zhuǎn)移概率、條件概率)設(shè)有一個(gè)隨機(jī)過程也〃),〃=0,1,2…}是離散狀態(tài)的隨機(jī)過程，且陽7)滿足條件,+1)=〃8(0)=i。,即)=?、(〃)=/J=尸敏〃+1)=〃和)=房則稱這類隨機(jī)過程是馬爾可夫鏈。性質(zhì)，馬爾可夫鏈的有限維概率密度P{g(0)=樨(1)=玲…頃=i”,務(wù)+1)=J}=P{如+l)=j/如)=i〃 =ijg(〃)=L}???P&l)="S(0)=i°}.p{g(0)=i。}二階矩過程:定義1,二階矩過程設(shè)有隨機(jī)過程敏。，隹『｝,若對(duì)每個(gè)teT,典）的均值和方差都存在，則稱即）為二階矩過程。定理1,二階矩過程的自協(xié)方差函數(shù)，以及二階矩過程的自相關(guān)函數(shù)總是存在的。證明：根據(jù)協(xié)方差函數(shù)的定義，有cov｛即］）,￡（上）｝=Et英］）-】）］.［舞D-〃（心）「｝可以有，|c。噸&）,M）,="履6）-〃（匕）］? ）-A（G）］寸〈國履（匕）一“（播］.［契2）-質(zhì)2）誹（非（匕）*（"）「.4（勺-〃（上）「=屠（很唐但）<cO第一個(gè)不等式成立是：隨機(jī)變量平均的模小于等于隨機(jī)變量模的平均，第二個(gè)不等式成立是：Schxvartz不等式，隨機(jī)變量乘積取模統(tǒng)計(jì)平均的平方,小于等于隨機(jī)變量取模平方統(tǒng)計(jì)平均的乘枳。定理2,設(shè)有二階矩過程敏。，隹r｝,r’ml）是它的相關(guān)函數(shù)，則有R我E，P=R#（W 0"?eT）定理3,二階矩過程的自相關(guān)函數(shù)RMM）具有非負(fù)定性，即對(duì)于任意有限個(gè)…t”wT和任意11個(gè)復(fù)數(shù)人］,4”-刀“，n為任意正整數(shù)，有，tfti=l巾=1或?qū)懽骶仃囆问剑ˋpA2,-?（人1，人2,…，D'—。證明：￡￡R段（上）2k"mk=l/?f=l=文文噸（Q而兒焉A=1m=l=E支如氾&疝阮:｝X=1m=lR=1 /??=!>0A=1隨機(jī)過程的平穩(wěn)性嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程定義，設(shè)有隨機(jī)過程{^(t),tGT},對(duì)任意正整數(shù)n及選定時(shí)間t,<t2<?-<r?,LcT,i=1,2,，任意時(shí)間間隔t和X],匕…叫￡&，有n維分布函數(shù)F,(x1,^2,---,x?；r1,r2,--,r?)= +r,r2+r,---,rn+r)則稱該過程為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì)，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)與時(shí)間無關(guān)，二維分布函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)而與時(shí)間本身無關(guān)。K級(jí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，設(shè)有隨機(jī)過程GT},對(duì)任意正整數(shù)n<K及選定時(shí)間t,<t2< <r?,rf-gT,z=1,2,--71，任意時(shí)間間隔T和X、,X,,X3，…,Xn《R,有n維分布函數(shù)…,…,匕)=外(為，方，…,L；。+「,右+了,則稱該過程為K級(jí)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。寬平穩(wěn)隨機(jī)過程定義，設(shè)有一個(gè)二階矩隨機(jī)過程您⑺,住丁},它的均值是常數(shù)，相關(guān)函數(shù)僅是r=t2-t,的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過程，既是廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過程，又是嚴(yán)平穩(wěn)的隨機(jī)過程。性質(zhì)1,R..(G,t2)=(G(r)=R..(-r)*,(r=r.-rj。對(duì)于實(shí)寬平穩(wěn)隨機(jī)

過程R^r）=R^（-r）,而實(shí)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)。證明（略）性質(zhì)2,少是隨機(jī)過程的均值。證明，考慮到脆0）=收）疝｝=^（1）-多1即）-〃』+=。"+|小O［即）］=E｛［即）-化 20因此有匕（。）斗廿性質(zhì)3,/?,4（r）|</?^（0）,\C^r）\<C^O）證明，|喝劉'=片（山）疝『〈雨+丁麗｝<耳即+寸｝站屈）『｝=宮0）腿0）q喝。）「以上證明中、第一個(gè)不等式成立是：隨機(jī)變量平均的模小于等于隨機(jī)變量模的平均；第二個(gè)不等式成立是：Schwanzq喝。）「R因此有R#（g