現(xiàn)代信號處理-同態(tài)處理分析課件

PARTIII同態(tài)信號處理

HomomorphicSignalProsessing第五章同態(tài)信號處理5.2乘法同態(tài)系統(tǒng)5.4復倒譜5.5復倒譜的計算5.1同態(tài)系統(tǒng)的基本概念5.3卷積同態(tài)系統(tǒng)5.0引言5.0引言加性組合信號1(頻域可分離)r(n)x(n)信號1y(n)信號25.0引言加性組合信號(MMSE分離)r(n)x(n)信號y(n)噪聲5.0引言非線性組合信號r(n)x(n)信號1y(n)信號2r(n)x(n)信號

y(n)乘法卷積5.1同態(tài)系統(tǒng)的基本概念1.線性系統(tǒng)疊加原理設(shè)x1(n)和x2(n)為系統(tǒng)的兩個輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即疊加原理要求：滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。5.1同態(tài)系統(tǒng)的基本概念2.廣義疊加原理將系統(tǒng)中的運算用符號抽象化系統(tǒng)的輸入中：信號間的運算用*表示

(加、乘、卷積等)常數(shù)與信號間的運算用△表示(乘、冪、開方等)5.1同態(tài)系統(tǒng)的基本概念系統(tǒng)的輸出中：信號間的運算用〇表示

(加、乘、卷積等)常數(shù)與信號間的運算用

表示(乘、冪、開方等)用H表示系統(tǒng)變換，用C表示系統(tǒng)中的常數(shù)。5.1同態(tài)系統(tǒng)的基本概念定義:若在系統(tǒng)中下式成立 則稱該系統(tǒng)滿足廣義疊加原理，并稱該系統(tǒng)為同態(tài)系統(tǒng)(HomomorphicSystem)。說明：同態(tài)系統(tǒng)強調(diào)在某運算下同態(tài)。*〇

△5.1同態(tài)系統(tǒng)的基本概念3.同態(tài)系統(tǒng)的分類若*和〇均為加法，△和

均為乘法，則稱該系統(tǒng)為加法同態(tài)系統(tǒng)，或線性系統(tǒng)。若*為乘法，〇也為乘法，則稱該系統(tǒng)為乘法運算同態(tài)系統(tǒng)或乘法同態(tài)系統(tǒng)。若*為卷積，〇也為卷積，則稱該系統(tǒng)為卷積運算同態(tài)系統(tǒng)或卷積同態(tài)系統(tǒng)。若*為乘法，〇為卷積，則稱該系統(tǒng)為乘法和卷積運算同態(tài)系統(tǒng)。*〇△

5.1同態(tài)系統(tǒng)的基本概念3.同態(tài)系統(tǒng)的分類信號變換x2(n)能否構(gòu)成乘法同態(tài)系統(tǒng)?信號變換3x

(n)能否構(gòu)成乘法同態(tài)系統(tǒng)?5.1同態(tài)系統(tǒng)的基本概念4.同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范形式任何同態(tài)系統(tǒng)都可以表示成由三個子系統(tǒng)級聯(lián)的形式：+和〇同態(tài)系統(tǒng)*和+同態(tài)系統(tǒng)+同態(tài)系統(tǒng)D*[?]L[?]D〇

-1[?]〇

*△++++××××5.1同態(tài)系統(tǒng)的基本概念5.同態(tài)系統(tǒng)的特征系統(tǒng)將信號之間的*運算轉(zhuǎn)化成+運算的系統(tǒng)稱為*運算的特征系統(tǒng)。將信號之間的+運算轉(zhuǎn)化成〇運算的系統(tǒng)稱為〇運算的特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)。D〇

-1[?]〇

+×D*[?]*△+×5.2乘法同態(tài)系統(tǒng)1.乘法同態(tài)系統(tǒng)的運算信號之間的運算：*≡〇≡乘法運算常數(shù)與信號之間的運算：△≡

≡指數(shù)運算5.2乘法同態(tài)系統(tǒng)2.乘法同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范形式設(shè)輸入為，其中為常數(shù)，則D×[?]L[?]D×-1[?]×冪運算×冪運算++++××××5.2乘法同態(tài)系統(tǒng)3.特征系統(tǒng)D×[?]將信號間的乘法運算轉(zhuǎn)換成加法運算；將常數(shù)與信號間的冪運算轉(zhuǎn)換成乘法運算。

D×[?]是對數(shù)運算：

D×-1[?]是指數(shù)運算：5.2乘法同態(tài)系統(tǒng)4.規(guī)范形式的實現(xiàn)框圖5.應用可表示成多個分量乘積的信號有：衰落信道的輸出信號調(diào)幅波復對數(shù)線性系統(tǒng)復指數(shù)××++++5.2乘法同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)濾波的作用：若要處理乘性混合信號，先對其進行分離，增強其中某個信號分量，同時壓縮或削弱另一個信號分量。5.3卷積同態(tài)系統(tǒng)1.規(guī)范形式D*[?]將信號間的卷積運算轉(zhuǎn)換成加法運算:D*-1[?]將加法運算轉(zhuǎn)換成卷積運算:D*[?]L[?]D*-1[?]**++++5.3卷積同態(tài)系統(tǒng)2.特征系統(tǒng)D*[?]的實現(xiàn)先用Z變換將卷積組合信號變成乘法組合信號：再用復對數(shù)將乘法運算變?yōu)榧臃ㄟ\算：Z[?]ln[?]Z-1[?]+*××++5.3卷積同態(tài)系統(tǒng)最后用逆Z變換將信號由Z域變換到時域：3.D*-1[?]的實現(xiàn)i)對信號進行Z變換，將信號由時域變換到Z域：Z[?]exp[?]Z-1[?]*++××+5.3卷積同態(tài)系統(tǒng)ii)用復指數(shù)運算將加法運算變?yōu)槌朔ㄟ\算：iii)用逆Z變換將信號由Z域變換到時域，且乘法變?yōu)榫矸e：5.4復倒譜1.定義稱為信號x(n)的復倒譜(Cepstrum)。卷積同態(tài)系統(tǒng)的D*[?]將卷積運算組合的信號轉(zhuǎn)換成它們的復倒譜之和。5.4復倒譜2.序列的復倒譜設(shè)x(n)的Z變換為 其中：為零點，為極點；的模均小于1；為單位圓內(nèi)、外零點的數(shù)目；為單位圓內(nèi)、外極點的數(shù)目。5.4復倒譜

計算

5.4復倒譜同理可得：計算同理可得：5.4復倒譜項:

先不考慮。lnA項:綜上可得：5.4復倒譜3.序列復倒譜的性質(zhì)i)為無限長序列，幅度按的速度衰減，能量主要集中在低時段。ii)若x(n)為最小相位序列，即零極點均在單位圓內(nèi)，，則其復倒譜為因果序列。5.4復倒譜iii)若x(n)為最大相位序列，即零極點均在單位圓外，，則其復倒譜為反因果序列。iv)間隔Np的沖激序列的復倒譜仍為一個間隔為Np的沖激序列。v)實序列的復倒譜也是實序列。性質(zhì)iv證明:性質(zhì)iv證明(續(xù)):性質(zhì)v證明若x(n)為實序列，則 其中為偶函數(shù)，為奇函數(shù)。 于是在中實部為偶對稱，虛部為奇對稱，即為共軛偶對稱。因此也為實序列。5.4復倒譜4.復對數(shù)的定義復對數(shù)的多值性

可見與之間的變換不唯一，因而導致x(n)與之間不是一一對應的。5.4復倒譜復對數(shù)多值性的解決設(shè)定相位的主值區(qū)間為 ，定義取主值運算ARG[]： 其中為“?！边\算，它使 顯然，ARG[X(z)]與X(z)是一一對應的。5.4復倒譜若令 則可解決復對數(shù)的多值性問題。

5.4復倒譜復對數(shù)的解析性i)如果是穩(wěn)定和因果的，那么要求在單位圓上收斂。ii)要求在收斂域內(nèi)是解析的，則要求在單位圓上連續(xù)、可微分，變換唯一。5.4復倒譜iii)ARG[X(z)]不能保證在單位圓上連續(xù)。因此需對復對數(shù)的定義做進一步修改:

其中

即通過加入修正項消除ARG[X(z)]的不連續(xù)性。5.5復倒譜的計算

5.5.1按定義計算5.5.2最小相位序列復倒譜的計算5.5.3復對數(shù)求導數(shù)法計算復倒譜(自學)5.5.4遞推計算方法(自學)5.5.1按定義計算1.引入如果輸入序列x(n)的Z變換X(z)的收斂域包含單位圓，則x(n)的付氏變換存在?？梢栽趩挝粓A上計算復倒譜，即用序列付氏變換(SFT)代替Z變換計算復倒譜。在數(shù)字實現(xiàn)時，用DFT實現(xiàn)序列付氏變換。5.5.1按定義計算按定義計算流程：其中k為歸一化數(shù)字頻率。DFTln[?]IDFT5.5.1按定義計算2.說明設(shè)x(n)是N點的時間序列，X(k)為其N點DFT，則X(k)的復對數(shù)仍是N點序列。由于是在一個周期內(nèi)的N個等間隔頻率點上的樣值，不是真正的復倒譜，而是復倒譜經(jīng)過以N為周期進行延拓的結(jié)果。5.5.1按定義計算一般是無限長序列，因此各周期延拓之間一定存在混疊。由于的主要能量集中在低時段，當N足夠大時，混疊的影響可忽略。5.5.1按定義計算3.復對數(shù)多值性問題的解決要求：既唯一又連續(xù)。解決方法：相位展開 在不連續(xù)的主值相位上疊加一個校正相位來得到連續(xù)的瞬時相位，即

設(shè)

5.5.1按定義計算主值相位的計算校正相位的確定當k=0，當k=1,2,..5.5.1按定義計算示例：連續(xù)相位/相位主值/相位校正/5.5.2最小相位序列復倒譜的計算1.幾個有用的結(jié)論設(shè)x(n)為最小相位序列，則i)可由它的偶序列完全恢復出，在 處的值可由它的奇序列恢復出。說明：設(shè)與分別表示的共軛偶部與共軛奇部，則5.5.2最小相位序列復倒譜的計算

由于x(n)為最小相位序列，為因果序列。因此當n>0時，當n=0時，當n<0時，5.5.2最小相位序列復倒譜的計算

綜上得 其中5.5.2最小相位序列復倒譜的計算ii)付氏變換為實數(shù)，等于付氏變換的實部。的付氏變換為虛數(shù)，等于付氏變換的虛部。

iii)與是一對付氏變換。說明只需就可以計算出。5.5.2最小相位序列復倒譜的