定積分的概念與性質(zhì)

1主要內(nèi)容：

第五章定積分及其應(yīng)用

第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)一、定積分問題舉例；二、定積分定義；三、定積分的性質(zhì).當(dāng)前第1頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)2矩形三角形梯形曲邊梯形問題：平面圖形的面積一、定積分問題舉例當(dāng)前第2頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)3一、定積分問題舉例曲邊梯形設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,

b]上非負(fù)、連續(xù).

由直線xa、xb、y0及曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形,

其中曲線弧稱為曲邊.

例1.曲邊梯形的面積

當(dāng)前第3頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)4abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）觀察與思考

當(dāng)前第4頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)5當(dāng)前第5頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)6求曲邊梯形的面積

(1)分割:

ax0<

x1<

x2<

<

xn1<

xn

b,Dxi=xi-xi1;小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi(xi1<xi<xi);(2)近似代替:

(4)取極限:

設(shè)max{Dx1,

Dx2,,

Dxn},曲邊梯形的面積為(3)求和:

曲邊梯形的面積近似為;以直代曲當(dāng)前第6頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)7例2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

已知物體直線運(yùn)動(dòng)的速度vv(t)是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),

且v(t)0,

計(jì)算物體在時(shí)間段[T1,

T2]內(nèi)所經(jīng)過的路程S.(1)分割:

T1t0<t1<t2<<tn1<tnT2,

Dtititi1;(2)近似代替:

物體在時(shí)間段[ti1,

ti]內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為DSiv(i)Dti(

ti1<

i<ti);物體在時(shí)間段[T1,

T2]內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為(3)求和:

(4)取極限:

記max{Dt1,

Dt2,,

Dtn},物體所經(jīng)過的路程為以不變代變當(dāng)前第7頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)8定積分的定義在小區(qū)間[xi1,

xi]上任取一點(diǎn)xi(i1,2,,

n),

作和max{Dx1,

Dx2,,Dxn};

記Dxi=xi-xi1(i1,2,,

n),ax0<x1<x2<

<xn1<xnb;在區(qū)間[a,

b]內(nèi)插入分點(diǎn):設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上有界.

如果當(dāng)0時(shí),

上述和式的極限存在,

且極限值與區(qū)間[a,

b]的分法和xi的取法無關(guān),

則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的定積分,

記為即二、定積分定義當(dāng)前第8頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)9定積分各部分的名稱————積分符號,

f(x)———被積函數(shù),

f(x)dx——被積表達(dá)式,

x————積分變量,

a

————積分下限,

b

————積分上限,

[a,

b]———積分區(qū)間，

二、定積分定義———積分和.

定積分的定義當(dāng)前第9頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)10二、定積分定義說明：定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),

而與積分變量的記法無關(guān),

即定積分的定義當(dāng)前第10頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)11函數(shù)的可積性如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的定積分存在,

則稱f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

定理1

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上連續(xù),

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

定理2

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上有界,

且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

二、定積分定義定積分的定義當(dāng)前第11頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)12例

用定積分表示極限解二、定積分定義定積分的定義當(dāng)前第12頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)13

這是因?yàn)榍吿菪蚊娣e曲邊梯形面積的負(fù)值定積分的幾何意義

當(dāng)前第13頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)14各部分面積的代數(shù)和定積分的幾何意義

曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值當(dāng)前第14頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)15例2解oxy例1利用定積分的幾何意義，計(jì)算解當(dāng)前第15頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)16兩點(diǎn)規(guī)定三、定積分的性質(zhì)當(dāng)前第16頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)17三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3注：值得注意的是不論abc的相對位置如何上式總成立當(dāng)前第17頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)18利用定積分的幾何意義，可分別求出解例3當(dāng)前第18頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)19三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4當(dāng)前第19頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)20如果在區(qū)間[a

b]上f(x)0

則性質(zhì)5

性質(zhì)6

設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a

b]上的最大值及最小值則推論如果在區(qū)間[a

b]上f(x)g(x)則當(dāng)前第20頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)21如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)則在積分區(qū)間[a

b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)x

使下式成立

這是因?yàn)?由性質(zhì)6性質(zhì)7(定積分中值定理)

——積分中值公式

由介值定理,至少存在一點(diǎn)x[a,b],使兩端乘以ba即得積分中值公式.當(dāng)前第21頁\共有25頁\編于星期六\4點(diǎn)22注:無論從幾何上,還是從物理上,都容易理解平均值公式求連續(xù)變量的平均值要用到.如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)則在積分區(qū)間[a

b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)x

使下式成立

性質(zhì)7(定積分中值定理)

——積分中值公式

當(dāng)前第