工程力學(xué)理論力學(xué)約束自由與廣義坐標(biāo)演示

（優(yōu)選）工程力學(xué)理論力學(xué)約束自由度與廣義坐標(biāo)ppt講解當(dāng)前第1頁\共有33頁\編于星期日\22點

OABDEMjlhvDEwO觀察運動機(jī)構(gòu)所給條件運動條件當(dāng)前第2頁\共有33頁\編于星期日\22點約束、自由度與廣義坐標(biāo)一、問題的提出

物體系統(tǒng)根據(jù)其與外界環(huán)境之間的關(guān)系，可分成自由系統(tǒng)與非自由系統(tǒng)。

17世紀(jì)牛頓當(dāng)時的經(jīng)典力學(xué)所能解決的主要問題是屬于自由質(zhì)點或自由質(zhì)點系動力學(xué)。(兩體問題)當(dāng)前第3頁\共有33頁\編于星期日\22點

18世紀(jì)產(chǎn)生了剛體動力學(xué)問題，也就是說提出了受約束質(zhì)點系的動力學(xué)問題。當(dāng)前第4頁\共有33頁\編于星期日\22點

今天大量工程實際問題作初步分析時，一般都是受約束系統(tǒng)的建模問題。首先要確定系統(tǒng)獨立的運動學(xué)變量。當(dāng)前第5頁\共有33頁\編于星期日\22點

研究約束質(zhì)點系的力學(xué)問題，必須闡明約束，自由度與廣義坐標(biāo)的概念。當(dāng)前第6頁\共有33頁\編于星期日\22點二、約束1.約束概念約束就是限制物體任意運動的條件。不受約束可以任意運動的質(zhì)點系稱為自由質(zhì)點系,受有約束而不能任意運動的質(zhì)點系則稱為非自由質(zhì)點系。

剛體靜力學(xué)研究約束,是探究約束的原因-------約束力

運動學(xué)研究約束,是探究約束的結(jié)果-------運動的限制

FAOxy當(dāng)前第7頁\共有33頁\編于星期日\22點2.獨立坐標(biāo)、位形空間、約束方程的概念(1)坐標(biāo)

確定一個自由質(zhì)點在空間的位置需要三個獨立參數(shù)，這些參數(shù)或代表長度或代表角度，統(tǒng)稱坐標(biāo)。(2)位形

對于由n個自由質(zhì)點組成的自由質(zhì)點系，則需要3n個獨立坐標(biāo)，這3n個的坐標(biāo)集合稱為自由質(zhì)點系的位形。(3)約束方程

約束可以通過聯(lián)系坐標(biāo)、坐標(biāo)的時間導(dǎo)數(shù)以及時間t之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)方程組加以描述，這些數(shù)學(xué)方程組稱之為約束方程。當(dāng)前第8頁\共有33頁\編于星期日\22點3.

約束的分類如果限制運動的條件僅是幾何性質(zhì)的，則稱為幾何約束。單擺:曲面上的質(zhì)點：（1）幾何約束與運動約束幾何約束約束方程的一般形式：xyOAzxyzM(r=1,2,‥‥,s)當(dāng)前第9頁\共有33頁\編于星期日\22點運動約束——幾何約束——運動約束純滾動的圓輪：

如果運動時速度也受到一定條件的限制，則這個條件稱為運動約束。約束方程的一般形式(r=1,2,‥‥,s)當(dāng)前第10頁\共有33頁\編于星期日\22點（2）定常約束與非定常約束定常約束

當(dāng)約束方程中都不包含時間t時，這種約束稱為定常約束。定常幾何約束非定常幾何約束

若約束方程中明顯包含時間t，這種約束就稱為非定常幾何約束。約束方程的一般形式：xyOAzAv（勻速）當(dāng)前第11頁\共有33頁\編于星期日\22點（3）完整約束與非完整約束

約束方程中不包含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)（即質(zhì)點系中各質(zhì)點速度的投影）的約束，稱為完整約束。

約束方程總是以微分形式表示，不可能積分成有限的形式的約束稱為非完整約束?！?〉位移約束----全部幾何約束〈2〉運動約束可積分----如純滾動的圓輪;運動約束不可積分----碰撞系統(tǒng),摩擦系統(tǒng)等。約束方程的一般形式為：當(dāng)前第12頁\共有33頁\編于星期日\22點（4）單面約束與雙面約束雙面約束：在約束方程中用嚴(yán)格的等號表示的約束。OA為剛性桿：單面約束：在約束方程含有不等號表示的約束。OA為柔繩：約束方程的一般形式：約束方程的一般形式：xyOAz或<0當(dāng)前第13頁\共有33頁\編于星期日\22點n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，約束方程的一般形式為：(r=1,…,s)約束方程的個數(shù)為：s4.約束方程靜力學(xué)問題中涉及的約束都是定常幾何約束。本教材研究：定常、雙面、完整約束。當(dāng)前第14頁\共有33頁\編于星期日\22點例:

平面剛體位形的描述方法和約束方程1.

剛體基于兩點的描述和約束方程OAbOAxyxy位形描述:約束方程:2.

剛體基于點線的描述和約束方程位形描述:約束方程:當(dāng)前第15頁\共有33頁\編于星期日\22點三、廣義坐標(biāo)、自由度自由度：唯一確定質(zhì)點系空間位置的獨立坐標(biāo)個數(shù)平面質(zhì)點:空間質(zhì)點:廣義坐標(biāo)：用以確定質(zhì)點系位置的獨立參變量

i=1,2,······nn個質(zhì)點，一般地：自由度為k，取廣義坐標(biāo)：1.基本概念自由度定義為質(zhì)點系解除約束時的坐標(biāo)數(shù)減去約束方程數(shù)。與自由度相對應(yīng)的獨立坐標(biāo)就是廣義坐標(biāo)。當(dāng)前第16頁\共有33頁\編于星期日\22點2.自由剛體的自由度

最簡單的剛體由4個質(zhì)點用6根剛桿組成幾何不變體(形如四面體)，則自由剛體的自由度為：此后每增加一個質(zhì)點就增加3根剛桿。

每一根剛桿相當(dāng)于一個約束，所以約束數(shù)為：設(shè)節(jié)點數(shù)為n,約束數(shù)為s。則寫成n=4則一般地：n≥4n≥4當(dāng)前第17頁\共有33頁\編于星期日\22點剛體的定點運動的描述方法1—歐拉坐標(biāo)

x0y0z0O繞z0軸轉(zhuǎn)過y角——進(jìn)動角x1y1z1yy繞x1軸轉(zhuǎn)過q角——章動角z2y2x2qq繞z2軸轉(zhuǎn)過j角——自轉(zhuǎn)角jx3y3z3j3.自由剛體的廣義坐標(biāo)

當(dāng)前第18頁\共有33頁\編于星期日\22點剛體的定點運動的描述方法2—卡爾丹坐標(biāo)

x0y0z0O繞x0軸轉(zhuǎn)過a角x1y1z1aaz2y2x2bb繞y1軸轉(zhuǎn)過b角繞z2軸轉(zhuǎn)過g角z3gy3x3g當(dāng)前第19頁\共有33頁\編于星期日\22點組成的6個獨立參變量就是自由剛體的廣義坐標(biāo)。它們被用于描述剛體的位形。

4.受約束剛體的自由度

設(shè)剛體數(shù)為n，則受約束的空間剛體系的自由度數(shù)k=6n-s

受約束的平面剛體系的自由度數(shù)：k=？若歐拉坐標(biāo)或卡爾丹坐標(biāo)的原點（基點）建立平動坐標(biāo)當(dāng)前第20頁\共有33頁\編于星期日\22點5.約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo)

約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo)根據(jù)其運動形式不同有所減小，下表給出剛體在不同的運動形式時的廣義坐標(biāo)數(shù)。剛體約束情況自由度廣義坐標(biāo)剛體上一軸被固定（定軸轉(zhuǎn)動）1剛體上僅一點被固定（定點運動）3剛體僅被限制作平面平行運動（平面運動）3剛體僅被限制作平行移動（平移）3當(dāng)前第21頁\共有33頁\編于星期日\22點四實例:機(jī)構(gòu)如圖,輪C作純滾動,試寫出約束方程和確定自由度。3.約束方程(在點O建立直角坐標(biāo))1.剛體數(shù)目

3;2.定軸轉(zhuǎn)動剛體

OA

;

平面運動剛體

AB及輪C

;總計8個約束方程xyyC=yD-rOABbCrjqD式中：局部法當(dāng)前第22頁\共有33頁\編于星期日\22點4.廣義坐標(biāo)5.自由度計算廣義坐標(biāo)數(shù)為

:3n-s=1,即:自由度約束方程數(shù)：s=8或剛體數(shù):n=3選廣義坐標(biāo)為:自由度恒等于廣義坐標(biāo)數(shù)OABbCrjqD或當(dāng)前第23頁\共有33頁\編于星期日\22點xyOABbCrjqD整體法:位形描述約束方程:當(dāng)前第24頁\共有33頁\編于星期日\22點整體法:位形描述約束方程:OABbjqDxy點D的位置當(dāng)前第25頁\共有33頁\編于星期日\22點OABbjqDxy點D的位置總計8個約束方程約束方程：局部法:當(dāng)前第26頁\共有33頁\編于星期日\22點廣義坐標(biāo)自由度本例為質(zhì)點與剛體xy具有同一點當(dāng)前第27頁\共有33頁\編于星期日\22點問題Dl2r2rOBEAwj本運動機(jī)構(gòu)的自由度當(dāng)前第28頁\共有33頁\編于星期日\22點

OABDEMjlhvDEwO本運動機(jī)構(gòu)的自由度當(dāng)前第29頁\共有33頁\編于星期日\22點五、總結(jié)(1)檢查剛體(質(zhì)點)數(shù)目

n。(2)檢查各剛體的運動形式。(3)列寫出約束方程。(4)計算自由度,確定廣義坐標(biāo)。(a)空間剛體系

k=6n-s，空間質(zhì)點系

k