應(yīng)力分析與應(yīng)變分析

應(yīng)力分析與應(yīng)變分析第一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1.1

應(yīng)力與點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)外力(load)與內(nèi)力(internalforce)

外力P：施加在變形體上的外部載荷。

內(nèi)力Q：變形體抗衡外力機(jī)械作用的體現(xiàn)。

第二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二應(yīng)力（stress）應(yīng)力S是內(nèi)力的集度內(nèi)力和應(yīng)力均為矢量應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2

1MPa=106N/m2應(yīng)力是某點(diǎn)A的坐標(biāo)的函數(shù)，即受力體內(nèi)不同點(diǎn)的應(yīng)力不同。應(yīng)力是某點(diǎn)A在坐標(biāo)系中的方向余弦的函數(shù)，即同一點(diǎn)不同方位的截面上的應(yīng)力是不同的。第三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二應(yīng)力可以進(jìn)行分解Sn

n、n（n—normal,法向）

某截面（外法線方向?yàn)閚）上的應(yīng)力：

或者（求和約定的縮寫(xiě)形式）

全應(yīng)力(stress)正應(yīng)力(normalsress)剪應(yīng)力(shearstress)第四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：是指通過(guò)變形體內(nèi)某點(diǎn)的單元體所有截面上的應(yīng)力的有無(wú)、大小、方向等情況。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的描述：數(shù)值表達(dá)：x=50MPa，xz=35MPa

圖示表達(dá)：在單元體的三個(gè)正交面上標(biāo)出（如圖1-2）

張量表達(dá)：(i,j=x,y,z)

（對(duì)稱張量，9個(gè)分量，6個(gè)獨(dú)立分量。）一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量第五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二

應(yīng)力分量圖示圖1-2平行于坐標(biāo)面上應(yīng)力示意圖

第六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二應(yīng)力的分量表示及正負(fù)符號(hào)的規(guī)定ij

xx、xz……

（便于計(jì)算機(jī)應(yīng)用）

i——應(yīng)力作用面的外法線方向(與應(yīng)力作用面的外法線方向平行的坐標(biāo)軸)j——應(yīng)力分量本身作用的方向當(dāng)i=j時(shí)為正應(yīng)力

i、j同號(hào)為正（拉應(yīng)力），異號(hào)為負(fù)（壓應(yīng)力）當(dāng)i≠j時(shí)為剪應(yīng)力

i、j同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)

第七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二應(yīng)力的坐標(biāo)變換（例題講解）*

實(shí)際應(yīng)用：晶體取向、織構(gòu)分析等應(yīng)力莫爾圓**：

二維應(yīng)力莫爾圓與三維應(yīng)力莫爾圓掌握如何畫(huà)、如何分析（工程力學(xué)已學(xué)，看書(shū)）第八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1.2

點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力§1.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力第九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二

§1.2.1

主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量

設(shè)想并證明主應(yīng)力平面（其上只有正應(yīng)力，剪應(yīng)力均為零）的存在，可得應(yīng)力特征方程：

第十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二應(yīng)力不變量式中第十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二討論：

1.可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的；

2.三個(gè)主平面是相互正交的；

3.三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)根，不可能為虛根；

4.應(yīng)力特征方程的解是唯一的；

5.對(duì)于給定的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力不變量也具有唯一性；

6.應(yīng)力第一不變量I1反映變形體體積變形的劇烈程度，與塑性變形無(wú)關(guān)；I3也與塑性變形無(wú)關(guān)；I2與塑性變形無(wú)關(guān)。

7.應(yīng)力不變量不隨坐標(biāo)而改變，是點(diǎn)的確定性的判據(jù)。

第十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二主應(yīng)力的求解（略，見(jiàn)彭大暑《金屬塑性加工力學(xué)》教材）主應(yīng)力的圖示

第十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1.2.2

主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力(principalshearstress)：極值剪應(yīng)力（不為零）平面上作用的剪應(yīng)力。主應(yīng)力空間的｛110｝面族。最大剪應(yīng)力(maximunshearstress)：

通常規(guī)定：則有最大剪應(yīng)力：或者：其中：且有：第十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1.2.3

八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力

即主應(yīng)力空間的｛111｝等傾面上的應(yīng)力。這組截面的方向余弦為：

正應(yīng)力剪應(yīng)力

總應(yīng)力八面體上的正應(yīng)力與塑性變形無(wú)關(guān)，剪應(yīng)力與塑性變形有關(guān)。第十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二八面體應(yīng)力的求解思路：因?yàn)榈谑?yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二等效應(yīng)力

討論：1.等效的實(shí)質(zhì)？是（彈性）應(yīng)變能等效（相當(dāng)于）。

2.什么與什么等效？復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（二維和三維）與簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)（一維）等效

3.如何等效？等效公式（注意：等效應(yīng)力是標(biāo)量，沒(méi)有作用面）。

4.等效的意義？屈服的判別、變形能的計(jì)算、簡(jiǎn)化問(wèn)題的分析等。第十七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1.3

應(yīng)力張量的分解與幾何表示

(i,j=x,y,z)

其中即平均應(yīng)力，為柯氏符號(hào)。

即

第十八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二討論：

分解的依據(jù)：靜水壓力實(shí)驗(yàn)證實(shí)，靜水壓力不會(huì)引起變形體形狀的改變，只會(huì)引起體積改變，即對(duì)塑性條件無(wú)影響。為引起形狀改變的偏應(yīng)力張量(deviatoricstresstensor)，為引起體積改變的球張量(sphericalstresstensor)（靜水壓力）。與應(yīng)力張量類似，偏應(yīng)力張量也存在相應(yīng)的不變量：

（體現(xiàn)變形體形狀改變的程度）第十九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1.4

應(yīng)力平衡微分方程直角坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程*

即（不計(jì)體力）

物理意義：表示變形體內(nèi)無(wú)限相鄰兩質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系。對(duì)彈性變形和塑性變形均適用。第二十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二

推導(dǎo)原理：靜力平衡條件：

靜力矩平衡條件：泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：

第二十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二圓柱坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程

球坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程？

第二十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1.5

應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.5.1

幾何方程§1.5.2

變形連續(xù)方程第二十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二

§1.5.1

幾何方程

第二十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二討論：

1.物理意義：表示位移(displacement)

與應(yīng)變(strain)之間的關(guān)系；

2.位移包含變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移（產(chǎn)生應(yīng)變）和變形體的剛性位移（平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）；

3.工程剪應(yīng)變理論剪應(yīng)變：

第二十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.應(yīng)變符號(hào)規(guī)定：正應(yīng)變或線應(yīng)變()：伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)；剪應(yīng)變或切應(yīng)變（）：夾角減小為正，增大為負(fù)；5.推導(dǎo)中應(yīng)用到小變形假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)及泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)等。第二十六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1.5.2

變形連續(xù)方程第二十七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二討論：

1.物理意義：表示各應(yīng)變分量之間的相互關(guān)系“連續(xù)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過(guò)程中不開(kāi)裂，不堆積；

2.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說(shuō)明：同一平面上的三個(gè)應(yīng)變分量中有兩個(gè)確定，則第三個(gè)也就能確定；在三維空間內(nèi)三個(gè)切應(yīng)變分量如果確定，則正應(yīng)變分量也就可以確定；

3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，則必須校驗(yàn)其是否滿足連續(xù)性條件。第二十八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1.6

點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)

指圍繞該點(diǎn)截取的無(wú)限小單元體的各棱長(zhǎng)及棱間夾角的變化情況?？杀硎緸閺埩啃问剑?/p>

應(yīng)變張量（straintensor）也可進(jìn)行與應(yīng)力張量類似的分析。(i,j=x,y,z)第二十九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1.7

應(yīng)變?cè)隽?/p>

全量應(yīng)變與增量應(yīng)變的概念前面所討論的應(yīng)變是反映單元體在某一變形過(guò)程終了時(shí)的變形大小，稱作全量應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變張量第三十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1.8

應(yīng)變速度張量設(shè)某一瞬間起dt時(shí)間內(nèi)，產(chǎn)生位移增量dUi，則應(yīng)有dUi=Vidt。其中Vi為相應(yīng)位移速度。代入增量應(yīng)變張量，有：令即為應(yīng)變速率張量第三十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1.9

主應(yīng)變圖與變形程度表示主變形圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。主變形圖只可能有三種形式第三十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示：主應(yīng)力—9種；主應(yīng)變—3種[但只有23種可能的應(yīng)力應(yīng)變組合（塑性變形力學(xué)圖），為什么？]第三十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二變形程度表示絕對(duì)變形量

——指工件變形前后主軸方向上尺寸的變化量相對(duì)變形

——指絕對(duì)變形量與原始尺寸的比值，常稱為形變率真實(shí)變形量

——即變形前后尺寸比值的自然對(duì)數(shù)第三十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似

第三十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二

差異性：概念：應(yīng)力研究面元ds上力的集度應(yīng)變研究線元dl的變化情況內(nèi)部關(guān)系：應(yīng)力—應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)變—應(yīng)變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程彈性變形：相容方程