數(shù)學分析第十八章極值與條件極值

數(shù)學分析第十八章課件極值與條件極值第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)極值與最小二乘法一、多元函數(shù)的極值

定義:若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內有第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三說明:使偏導數(shù)都為0的點稱為駐點.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導數(shù),證:據一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結論成立.取得極值,取得極值取得極值但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有存在故第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三定理2

(充分條件)的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),且令若函數(shù)時,具有極值則:1)當2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.時取極小值;時取極大值;第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三二、最值應用問題函數(shù)f在閉域上連續(xù)函數(shù)f在閉域上可達到最值最值可疑點穩(wěn)定點，偏導數(shù)不存在的點邊界上的最值點特別,當區(qū)域內部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三第二節(jié)條件極值與拉格朗日乘數(shù)法三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉化第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設記例如,故故有第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點必滿足則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三例1.求滿足約束條件的最大值。解：作拉格朗日函數(shù)：令即，穩(wěn)定點：第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三由實際問題知所求最大值必存在，而穩(wěn)定點又唯一，因此唯一的穩(wěn)定點就是最大值點。故球內接長方體中以正方體的體積最大。第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三例2.求在約束條件下的極小值；并證明不等式：第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三解：作拉格朗日函數(shù)：令即，穩(wěn)定點：第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三下面判別穩(wěn)定點是極值點記則故方程在穩(wěn)定點附近可唯一確定可微數(shù)第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三令現(xiàn)在用二元函數(shù)取極值的充分條件判別是的極值點。由約束條件得：從而第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三故在點有.因此在取極小值,這等價于在取極小值第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三分析約束集是一無界集。當在內遠離原點時，函數(shù)將趨于正無窮。因此，函數(shù)的唯一極小值點是函數(shù)的最小值點，即代入得，第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設解方程組可得到條件極值的可疑點.例如,求函數(shù)下的極值.在條件第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三內容小節(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內找駐點.即解方程組第二步利用充分條件判別駐點是否為極值點.2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三設拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小?根據問題的實際意義確定最值第一步找目標函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求駐點.第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三習題例1.求函數(shù)解:第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數(shù)第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三例3.解:設水箱長,寬分別為x,ym,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據實際問題可知最小值在定義域內應存在,的有蓋長方體水問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:設折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三令解得:由題意知,最大值在定義域D內達到,而在域D內只有一個駐點,故此點即為所求.第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三例5.要設計一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:設x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱,試問第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三補充題已知平面上兩定點A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點C,使△ABC面積S△最大.解答提示:設C點