數(shù)值計算誤差

數(shù)值計算誤差1第一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三主要內(nèi)容誤差的來源幾個基本概念

誤差估計數(shù)值穩(wěn)定性/誤差的傳播與積累數(shù)值計算中的一些注意事項絕對誤差、絕對誤差限/誤差限相對誤差、相對誤差限有效數(shù)字2第二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三誤差

是人們用來描述數(shù)值計算中近似解的精確程度，是科學計算中的一個十分重要的概念誤差的來源數(shù)值計算的誤差從實際問題中抽象出數(shù)學模型——模型誤差通過測量和實驗得到模型中的各種數(shù)據(jù)——觀測誤差數(shù)學模型的數(shù)值求解——截斷誤差（方法誤差）機器字長有限——舍入誤差在數(shù)值分析中，我們總假定數(shù)學模型是準確的，因而不考慮模型誤差和觀測誤差，主要研究截斷誤差和舍入誤差對計算結(jié)果的影響3第三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三誤差舉例例：近似計算解法之一：將作Taylor展開后再積分S4R4取則稱為截斷誤差4第四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三誤差舉例保留小數(shù)點后4位數(shù)字舍入誤差5第五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三絕對誤差：絕對誤差x—精確值

x*—近似值則稱*為絕對誤差限/誤差限

若存在一個正數(shù)*，使得工程上通常記為：x=x*

*|e*|=|x*-

x|*

絕對誤差可能取正，也可能取負

絕對誤差

越小越具有參考價值但絕對誤差

卻不能很好地表示近似值的精確程度6第六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三相對誤差I(lǐng)cantellthatthispart’sdiameteris20cm0.1cm.Ofcoursemineismoreaccurate!Theaccuracyrelatestonotonlytheabsoluteerror,butalsotothesizeoftheexactvalueIcantellthatdistancebetweentwoplanetsis1millionlightyear±1lightyear.7第七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三相對誤差相對誤差：

x*-

x

er*=

x

若存在正數(shù)r*，使得

|er*|r*，

則稱r*為相對誤差限由于真值難以求出，通常也使用下面的定義作為相對誤差

x*-

x

er*=

x*

近似值的精確程度取決于相對誤差的大小實際計算中我們所能得到的是誤差限或相對誤差限8第八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三有效數(shù)字有效數(shù)字：若近似值x*的誤差限是某一位的半個單位，且該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n

位，則稱x*有n

位有效數(shù)字x*

=

a1.a2···an10m

(a10)且有|x

-

x*|0.510m-n+1則x*有n

位有效數(shù)字設(shè)x*為x

的近似值，若

x*

可表示為等價描述9第九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三有效數(shù)字例：=3.14159265···，近似值

x1=3.1415，x2=3.1416問：x1,x2

分別有幾位有效數(shù)字？例：寫出下列各數(shù)的具有5位有效數(shù)字的近似值

187.9325，0.037855，8.000033187.93，0.037856，8.00004，5注：數(shù)字末尾的0不可以隨意添加或省略！10第十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三有效數(shù)字思考：設(shè)

x*

=

a1.a2···an10m(a10)，且|x

-

x*|0.510k則x*有m+1-k

位有效數(shù)字?11第十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三有效數(shù)字定理：設(shè)近似值x*可表示為

x*

=

a1.a2···al10m(a10)，若x*具有n

位有效數(shù)字，則其相對誤差限滿足1r*

2a1

10-(n-1)反之，若x*的相對誤差限滿足

則x*至少有n

位有效數(shù)字。1r*

2(a1+1)10-(n-1)有效位數(shù)越多，相對誤差限越小12第十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三誤差估計誤差估計：估計誤差限和相對誤差限

記(x*)

為x*的誤差限，則有(x1*x2*)(x1*)+(x2*)(x1*x2*)|x2*|(x1*)+|x1*|(x2*)(x1*/x2*)|x2*|(x1*)+|x1*|(x2*)|x2*|213第十三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三誤差估計

設(shè)一元函數(shù)f(x)

可微，x*為x的近似值，則有r(f(x*))

條件數(shù)記為Cp14第十四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三誤差估計

設(shè)多元函數(shù)f(x)

可微，x*=(x1*,x2*,,xn*)

為x=(x1,x2,,xn)的近似值，則有(f(x*))15第十五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)值穩(wěn)定性誤差的傳播與積累：原始數(shù)據(jù)的誤差導(dǎo)致最終結(jié)果也有誤差的過程稱為誤差的傳播例：近似計算，其中n=1,2,...,8解：此公式精確成立易知保留3位有效數(shù)字16第十六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)值穩(wěn)定性可得但顯然有?Whathappened?!????17第十七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)值穩(wěn)定性考察第n步的誤差即有誤差以5倍的速度增長！我們需要改變算法!說明該計算過程是不穩(wěn)定的！18第十八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)值穩(wěn)定性解法二：具體思路：先估計一個SN

，再反過來求Sn(n<N)在數(shù)值計算中，誤差不可避免，算法的穩(wěn)定性是一個非常重要的性質(zhì)。ex11.m19第十九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)值穩(wěn)定性算法的穩(wěn)定性：在計算過程中，如果誤差不增長，則稱該算法是穩(wěn)定的，否則為不穩(wěn)定的。例：教材第9頁，例5

20第二十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)值計算注意事項避免相近的數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗性避免誤差危害的方法：當|x|<<1時：例：教材第11至12頁，例7，8，9，1021第二十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)值計算注意事項避免數(shù)量級相差很大的數(shù)相除可能會產(chǎn)生溢出的情形避免大數(shù)吃小數(shù)例：計算(109+10-9-109)/10-9

例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算S=1+2+3+…+40+108ex12.m求和時從小到大相加，可使結(jié)果的誤差減小22第二十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)值計算注意事項簡化計算，避免誤差積累選用穩(wěn)定的算法例：已知p(x)=xn+xn-1+···+x

+1，

計算n=20時，p(8)的值。如果直接代入計算，則需

n(n-1)/2

次乘法和

n

次加法運算如果將p(x)改寫為：

p(x)=x(x(·