數(shù)字圖象處理第三章

數(shù)字圖象處理第三章第一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖像變換圖象變換可以看成是一幅圖象經(jīng)過(guò)一個(gè)系統(tǒng)生成的結(jié)果：f(x,y)→h(x,y)→g(x,y)。如果系統(tǒng)h(x,y)滿足一定的條件：齊次性、可加性和時(shí)不變性，就成為了線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI）。一般而言，都將圖像處理系統(tǒng)看成為線性時(shí)不變(位置不變)系統(tǒng)。于是，可將圖像變換看成是圖象經(jīng)過(guò)一線性位置不變系統(tǒng)的結(jié)果。所有線性系統(tǒng)理論都可以拿來(lái)使用。

圖像變換是將圖像從空域變換到其它域，如頻域。圖像變換需滿足某些條件。第二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖像處理——通過(guò)某種方法將數(shù)字圖像中的像素進(jìn)行改變，以達(dá)到預(yù)期效果。通常，圖像處理在以下三個(gè)域中進(jìn)行：空域處理：利用某種方法直接對(duì)數(shù)字圖像中的象素進(jìn)行修改。頻域處理：將空域圖像經(jīng)過(guò)傅立葉變換，使其成為“頻域圖象”，而后對(duì)其各個(gè)頻率成分進(jìn)行處理；處理完成后，將“頻域圖像”圖像經(jīng)過(guò)傅立葉反變換為空域圖像。其它域處理：空域圖象經(jīng)過(guò)某種變換，使其成為“對(duì)應(yīng)域圖像”，而后進(jìn)行相應(yīng)處理；處理完成后，將“對(duì)應(yīng)域圖像”圖像經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)反變換為空域圖像。圖像處理的手段第三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三圖象為什么要變換利用變換的某些性質(zhì)，可以大大簡(jiǎn)化或加速圖象處理過(guò)程空域圖象經(jīng)過(guò)變換后形成“對(duì)應(yīng)域圖象”，從中會(huì)看到在空域圖象中不易看到的某些“東西”。變換后形成“對(duì)應(yīng)域圖象”，會(huì)呈現(xiàn)某些性態(tài)，利用這些性態(tài)可完成圖象處理中某個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域的應(yīng)用。應(yīng)選擇什么樣的變換才能滿足各種要求是下面要討論的主要問(wèn)題之一。第四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三變換選擇的原則1)變換必須是可逆的。2)變換不能損失信息。3)變換必須是有好處的。4)變換算法必須是不復(fù)雜的。

G(i,j)=If(x,y)→f(x,y)=I-1G(i,j)雖然滿足1、2、4條件，但不滿足第三條。第五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三一維變換1、正交函數(shù)集合的正交性和完備性設(shè)：一維連續(xù)實(shí)值函數(shù)集合un(t)={u0(t),u1(t),u2(t)…}，若此集合中的函數(shù)滿足時(shí)，稱集合un(t)為正交函數(shù)集合。當(dāng)C=1時(shí)，稱集合un(t)為歸一化正交函數(shù)集合。從幾何的觀點(diǎn)來(lái)看正交性——相互垂直第六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三若f(x)是定義在t0和t0+T區(qū)間的實(shí)值信號(hào)，可以用展開式表示為：對(duì)任何平方可積的分段連續(xù)信號(hào)f(x)，對(duì)任意小的ε＞0，存在充分大的N和有限項(xiàng)展開式使得一維變換第七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三一維變換則稱函數(shù)un(x)集合是完備的。如果能夠找到一組正交且完備的函數(shù)集合，則任何平方可積的分段連續(xù)信號(hào)f(x)都可由這個(gè)函數(shù)集合的加權(quán)和表示。這N個(gè)函數(shù)構(gòu)成了N維正交基。任何一個(gè)滿足條件的函數(shù)都可以由一個(gè)函數(shù)簇的加權(quán)和來(lái)逼近第八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、離散情況對(duì)上述一維連續(xù)實(shí)值正交函數(shù)集合un(t)進(jìn)行等間隔采樣，可以看作是下列向量的集合：若它們彼此正交，則向量的元素應(yīng)滿足下式：當(dāng)C=1時(shí)，稱歸一化正交，每一向量為單位向量，彼此垂直。這n個(gè)矢量構(gòu)成了n維空間的n維正交基。矢量的點(diǎn)積自點(diǎn)積＝常數(shù)互點(diǎn)積＝0第九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三用滿足上式的n維正交基矢量組成矩陣

一定滿足：該矩陣稱為正交矩陣。第十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三3、一維正交變換利用上述矩陣對(duì)任一數(shù)據(jù)向量f進(jìn)行運(yùn)算為：

g=Af例若要恢復(fù)f，則以上過(guò)程稱為正交變換。正變換：將任意一個(gè)矢量分解成為一個(gè)由該矢量投影在給定正交基上的分量組成的矢量。反變換：將任意一個(gè)由給定正交基上的分量組成的矢量合成為空間矢量。第十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三4、酉變換若A為復(fù)數(shù)方陣，正交的條件為：其中A*為A的復(fù)數(shù)共軛矩陣，滿足這個(gè)條件的矩陣為酉矩陣。對(duì)于任意向量f用酉矩陣的變換和恢復(fù)稱為酉變換。將aij寫成a(k,n)，有：正交函數(shù)數(shù)字化后完備性的體現(xiàn)形式——任何一個(gè)矢量可以分解成正交投影的線性組合。第十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二維變換

與一維的思想一樣，設(shè)：二維連續(xù)實(shí)值函數(shù)集合Au,v(x,y)={a0,0(x,y),a0,1(x,y),a0,2(x,y),…a0,v(x,y),a1,0(x,y),a1,1(x,y),a1,2(x,y),…a1,v(x,y)…

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…au,0(x,y),au,1(x,y),au,2(x,y),…au,v(x,y)}若此集合中的函數(shù)(U×V個(gè))滿足時(shí)，稱集合Au,v(x,y)為正交函數(shù)集合。當(dāng)C=1時(shí)，稱集合Au,v(x,y)為歸一化正交函數(shù)集合。第十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三對(duì)正交函數(shù)集合的理解如果對(duì)正交函數(shù)集合auv(x,y)在某個(gè)給定區(qū)域內(nèi)等間隔采樣，則每個(gè)aij(x,y)就是一個(gè)矩陣，其元素值既和x、y有關(guān)，又和i、j有關(guān)。則這u×v個(gè)矩陣構(gòu)成了u×v維空間的u×v維的正交基。124350n在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上定義了un(t)對(duì)每一個(gè)un(t)在t方向上采樣v124350u1234在對(duì)應(yīng)交叉點(diǎn)上定義了au,v(x,y)對(duì)每一個(gè)au,v(x,y)在x,y方向上采樣u=0,1,…,m-1v=0,1,…,n-1第十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三結(jié)論:如果能夠找到一組正交且完備的函數(shù)集合au,v(x,y)，則任何平方可積分段連續(xù)的二維函數(shù)f(x,y)——圖像，都可由這個(gè)函數(shù)集合的加權(quán)和表示。如果f(x,y)以離散形式(m×n矩陣)表示——數(shù)字圖像，該數(shù)字圖像f(x,y)可分解為在m×n維正交空間內(nèi)，在m×n維正交基au,v(x,y)上的投影。同一維情況類似，有：正變換：將任意一個(gè)數(shù)字圖像分解成為一個(gè)由該圖像投影在給定正交基上的分量組成的圖像。反變換：將任意一個(gè)由給定正交基上的分量組成的圖像合成為空域圖像。第十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三1、二維變換將上式寫成則：有下式(設(shè)f(x,y)為一N×N維矩陣)正變換核(逆基圖像)反變換核(基圖像)空域圖像點(diǎn)如果矩陣為正交復(fù)數(shù)矩陣且是對(duì)稱的au,v(x,y)第十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二維變換的理解F(u,v)中的任何一個(gè)像素為原圖像所有像素的加權(quán)和。F(0,0)為f(x,y)在u×v維正交基a0,0(x,y)分量上的投影。F(u,v)f(x,y)a0,0(x,y)F(0,0)對(duì)應(yīng)點(diǎn)積之和F(u,v)f(x,y)a*u,v(x,y)－基圖像加權(quán)和＝∑第十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、變換核的可分離性上述f(x,y)、F(u,v)的計(jì)算所需的乘法和加法的次數(shù)是與N×M有關(guān)的數(shù)。如果u×v維空間的正交基ai,j(x,y)可以寫成：——

一個(gè)二維完備正交基＝兩個(gè)一維完備正交基之積其中{au(x),u=0,1,…,N-1},{bv(y),v=0,1,…,N-1}為一維完備正交基向量的集合。用矩陣表示：A={a(u,x)}，B={b(v,y)}通常選擇A=B，如果A、B是復(fù)數(shù)矩陣則它們?yōu)橛详嚕篈A*T=ATA*=IBB*T=BTB*=IA-1=A*TB-1=B*T則稱該正交基——變換核是可分離的。第十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三例如設(shè)：二維連續(xù)實(shí)值函數(shù)集合，U＝V＝N

Au,v(x,y)={a0,0(x,y),a0,1(x,y),a0,2(x,y),…a0,v(x,y),a1,0(x,y),a1,1(x,y),a1,2(x,y),…a1,v(x,y)

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…au,0(x,y),au,1(x,y),au,2(x,y),…au,v(x,y)}對(duì)集合內(nèi)的每個(gè)函數(shù)沿x，y方向進(jìn)行等間隔采樣，采樣點(diǎn)數(shù)為N×N，于是集合中的每一個(gè)函數(shù)都成為一個(gè)N×N的矩陣。第十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三可分離變換核舉例(采樣網(wǎng)格為行、列數(shù)相等)于是對(duì)于一個(gè)圖像的變換可以寫成矩陣中的任何一項(xiàng)都可寫成可分離形式。例第二十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)A=B且為方陣為酉陣時(shí)，二維酉變換的正變換表示為用矩陣表示：F＝AfAT反變換表示為用矩陣表示：f＝A*TFA*類似的，對(duì)于M×N的二維函數(shù)f(x,y)對(duì)一幅圖像的變換可以先對(duì)其列進(jìn)行變換，然后在對(duì)行進(jìn)行變換；反之亦然。行變換列變換第二十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三問(wèn)題Y=X/Z變換log(Y)=log(X)-log(Z)復(fù)雜的分析普通筆算除法簡(jiǎn)化的分析查表和相減問(wèn)題的解逆變換查反對(duì)數(shù)表1、傅立葉變換分析的基本概念變換分析：變換分析的基本目的之一是使問(wèn)題的分析求解得到簡(jiǎn)化。第二十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三傅立葉變換分析的直觀說(shuō)明把一個(gè)信號(hào)的分解為許多不同頻率的信號(hào)之和。自然光光譜三棱鏡傅立葉變換uF(u)第二十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三傅立葉變換分析的圖形表示通常把分解后的各個(gè)頻率的振幅和頻率用一張圖表示出來(lái)(對(duì)周期信號(hào)而言)。傅立葉變換：把一個(gè)自變量定義于-∞到+∞的函數(shù)變換為頻率定義于-∞到+∞的函數(shù)。頻率幅值1-ff2f-2f第二十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三設(shè)f(x)為連續(xù)可積函數(shù)，其傅立葉變換定義為：從F(u)恢復(fù)f(x)稱為傅立葉反變換，定義為：實(shí)函數(shù)的傅立葉變換，其結(jié)果多為復(fù)數(shù)，表示為：F(u)=R(u)+jI(u)=|F(u)|exp[jΦ(u)]幅度譜：相位譜：2、一維連續(xù)傅立葉變換傅立葉提供的正交函數(shù)族第二十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、二維傅立葉變換二維傅立葉變換由一維傅立葉變換推廣而來(lái)：逆變換：幅度譜：相位譜：功率譜：F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=|F(u,v)|exp[jΦ(u,v)]第二十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三3、二維離散傅立葉變換對(duì)于二維傅立葉變換，其離散形式為：逆變換為：幅譜(頻譜)、相位譜、功率譜：譜圖像第二十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二維傅立葉變換實(shí)例圖由反變換公式可知基圖像為若圖像為4×4，則基圖像為第二十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三0123WWWWWWWWWWWWWWWW★B0W★B0W★B0W★B0W★★★★BBBB0000WWWWBBBBWWWWBBBBWWWW0000BBBB★★★★WWWW0★0★WBWB★0★0BWBWBWBWBWBWBWBWBWBWW★BWWW★BBWW★★BWW0W★W★W0W0W★W★W0WB0W★0W★BW★B0★B0WW0B★★W0BB★W00B★W0B★W0B★W0B★W0B★W★0★0WBWB0★0★BWBWWBWBBWBWWBWBBWBWW★W0★W0WW0W★0W★W★W0W0W★W★W0W0W★WWWWW★B0WBWBW0B★WWWWW★B0WBWBW0B★Wv→0123y→01230123012301230123012301230123二維傅里葉基圖像★=-jW=1B=-10=jux↓↓第二十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三4、二維離散傅立葉變換的性質(zhì)1)、線性性質(zhì)：2)、比例性質(zhì)：3)、可分離性：表示離散函數(shù)的傅里葉變換，即第三十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三卷積的定義對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和，其卷積定義為式中*表示卷積運(yùn)算，在matlab中為C=conv2(A,B)。第三十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三原函數(shù)折疊位移相乘—得到被積函數(shù)卷積過(guò)程圖示（1）第三十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三卷積過(guò)程圖示（2）第三十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三展寬平滑化：被積函數(shù)經(jīng)過(guò)卷積運(yùn)算，其微細(xì)結(jié)構(gòu)在一定程度上被消除，函數(shù)本身的起伏變得平緩圓滑。卷積過(guò)程的兩個(gè)效應(yīng)第三十四