不等式與不等關(guān)系

之前，我們已經(jīng)學(xué)過了相等關(guān)系.回顧知識大小相等相等的性質(zhì)：（1）a=a(自反性）；（2）若a=b,則b=a(對稱性）；（3）如果a＝b，且b＝c，那么a＝c（傳遞性）.

但是，我們知道，現(xiàn)實(shí)生活中，存在著很多不等關(guān)系.

如：線段的長短不同.新課導(dǎo)入質(zhì)量不同人們還經(jīng)常用長與短，高與矮，輕與重，大與小，不超過或不少于來描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.3.1不等關(guān)系與不等式3x+2>6a≤c例如，限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度不超過40km/h，寫成不等式是什么呢？關(guān)鍵詞“不超過”答：汽車的速度應(yīng)不超過40km/h,不等式應(yīng)為v≤40.數(shù)學(xué)中的不等關(guān)系多喝酸奶身體棒！！某品牌酸奶的質(zhì)量規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%，寫成不等式是什么？答：根據(jù)題意，上題寫成不等式應(yīng)為：p≥2.3%f≥2.5%小結(jié)：

1、現(xiàn)實(shí)生活中很多量的不等關(guān)系可以用數(shù)學(xué)中量的不等關(guān)系表示；

2、同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)多于實(shí)際相結(jié)合，在現(xiàn)實(shí)中尋找不等關(guān)系.思考：我們知道，等式有一些基本性質(zhì)，如“等式的兩邊加（減）同一個(gè)數(shù)，結(jié)果不變”.不等式是否也有類似的性質(zhì)呢？比較實(shí)數(shù)a，b的大小(1)文字?jǐn)⑹鋈绻鸻－b是正數(shù)，那么a__b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a__b，反之也成立．(2)符號表示a－b>0?a__b；a－b＝0?a___b；a－b<0?a__b.自學(xué)導(dǎo)引1．><＝><常用的不等式的基本性質(zhì)(1)對稱性：a>b?b__a；(2)傳遞性：a>b，b>c?a__c；(3)可加性：a>b?a＋c__b＋c；(4)可乘性：a>b，c>0?ac__bc；a>b，c<0?ac__bc；(5)加法法則：a>b，c>d?a＋c__b＋d；(6)乘法法則：a>b>0，c>d>0?ac__bd；(7)乘方法則：a>b>0，n∈N，n≥1?an__bn；2．<>>><>>>>證明：要自己思考啊！證明：：嘗試證明性質(zhì)(8)．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小關(guān)系在數(shù)學(xué)問題中經(jīng)常要遇到比較大小問題，其方法有兩個(gè)，一是作差比較法；二是作商比較法．特別提醒：(1)作差比較法是比較大小的主要方法，它是將兩個(gè)數(shù)(或式子)作差，并由“差”與0的大小關(guān)系，即“差”的正負(fù)號，從而比較出兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系．(2)作商比較法的前提條件是兩個(gè)正數(shù)的大小比較，特別適合一些指數(shù)冪式子的大小比較，它是將兩個(gè)正數(shù)(或式子)作商，并由“商”與1的大小關(guān)系得到兩個(gè)數(shù)的大小．名師點(diǎn)睛1．不等式性質(zhì)的理解(1)不等式的性質(zhì)是不等式的基礎(chǔ)知識，是不等式變形的依據(jù)，每一步變形，都應(yīng)有根有據(jù)，記準(zhǔn)適用條件是關(guān)鍵，不準(zhǔn)強(qiáng)化或弱化它們成立的條件，盲目套用．(2)性質(zhì)4中①當(dāng)c>0時(shí)，得同向不等式．②當(dāng)c<0時(shí)，得異向不等式．③當(dāng)c＝0時(shí)，ac＝bc.(3)性質(zhì)5是同向不等式相加得同向不等式，但并無相減式．(4)性質(zhì)6是均為正數(shù)的同向不等式相乘得同向不等式，并無相除式．(5)性質(zhì)7、8成立的條件：n是大于1的整數(shù)，a>b>0，這個(gè)條件不能忽略，當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)，可放寬條件，命題仍成立，2．題型一用不等式(組)表示不等關(guān)系配制A，B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料．已知配一劑A種藥需甲料3克，乙料5克；配一劑B種藥需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B兩種藥至少各配一劑，設(shè)A，B兩種藥分別配x，y劑(x，y∈N)，請寫出x，y應(yīng)滿足的不等關(guān)系式．[思路探索]根據(jù)甲、乙兩種原料的限額列不等式．【例1】用不等式表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)，應(yīng)首先讀懂題意，設(shè)出未知量，尋找不等關(guān)系的根源，將不等關(guān)系用未知量表示出來，即得到不等式或不等式組，這是應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題的最基本的一步．

某種雜志以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本．據(jù)市場調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本，若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入不低于20萬元呢？∴銷售總收入為[8－(2x－5)]·x＝(13－2x)·x(萬元)，則銷售總收入不低于20萬元，用不等式表示為：(13－2x)·x≥20.【變式1】已知x<1，比較x3－1與2x2－2x的大?。甗思路探索]先作差，然后因式分解變形．解

x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2題型二

比較大小【例2】作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，關(guān)鍵是作差后的變形．一般變形越徹底越有利于下一步的判斷，變形常用的方法有：因式分解、配方、通分、對數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、分母或分子有理化等．另外還要注意分類討論．

已知a，b∈R，比較a4＋b4與a3b＋ab3的大?。狻?a4＋b4)－(a3b＋ab3)＝a3(a－b)＋b3(b－a)＝(a－b)(a3－b3)＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)【變式2】已知a，b，c為實(shí)數(shù)，判斷以下各命題的真假．(1)若a>b，則ac<bc；(2)若ac2>bc2，則a>b；(3)若a<b<0，則a2>ab>b2；審題指導(dǎo)

判斷命題的真假，應(yīng)緊扣不等式的性質(zhì)，同時(shí)要注意條件和結(jié)論之間的聯(lián)系．題型三

不等式性質(zhì)的應(yīng)用【例3】[規(guī)范解答](1)c是正、負(fù)或?yàn)榱阄粗?，因而缺少判斷ac與bc的大小依據(jù)，故該命題為假命題． (2分)(2)由ac2>bc2知c≠0，∴c2>0，∴a>b，故該命題為真命題(4分)(5)由已知條件知a>b?a－b>0，∵a－b>0，∴b－a<0，∴ab<0.又a>b，∴a>0，b<0，故該命題為真命題． (12分)【題后反思】利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行不等式的證明時(shí)，一定要在理解的基礎(chǔ)上記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)，并注意在解題時(shí)要靈活、準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．【變式3】判斷下列各命題是否正確，并說明理由．設(shè)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范圍．誤區(qū)警示

運(yùn)用不等式性質(zhì)不當(dāng)致錯(cuò)【示例】在求解某些有關(guān)聯(lián)的未知數(shù)的范圍時(shí)，因多次使用不等式相加的性質(zhì)(這條性質(zhì)是單向推出的)導(dǎo)致所給變量的范圍改變，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤．[正解]法一

(待定系數(shù)法)設(shè)f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，所以f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)．因?yàn)?≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6.又因?yàn)?≤a＋b≤4，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.即5≤f(－2)≤10.所以f(－2)＝4a－2b＝