高考數(shù)學(xué)專題命題形式變化及真假判定

第1煉命題形式變化及真假判定一、基礎(chǔ)知識：（一） 命題結(jié)構(gòu)變換1、 四類命題間的互化：設(shè)原命題為“若P，則0”的形式，則（1） 否命題：“若或，則F”（2） 逆命題：“若0，則p”（3） 逆否命題：“若-0，則-P”2、 pv0，p△0（1） 用“或”字連接的兩個(gè)命題（或條件），表示兩個(gè)命題（或條件）中至少有一個(gè)成立即可，記為pv0（2） 用“且”字連接的兩個(gè)命題（或條件），表示兩個(gè)命題（或條件）要同時(shí)成立，記為pA03、 命題的否定-p:命題的否定并不是簡單地在某個(gè)地方加一個(gè)“不”字，對于不同形式的命題也有不同的方法（1）一些常用詞的“否定”：是一不是 全是一不全是 至少一個(gè)一都沒有至多n個(gè)一至少n+1個(gè) 小于一大于等于（2） 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定：邏輯聯(lián)接詞對應(yīng)改變，同時(shí)p,0均變?yōu)?p,-q:p或0一—p且-0 p且0一—p或-0（3） 全稱命題與存在性命題的否定全稱命題：p:VxeM,pG）T—p:3xeM，—p（x）存在性命題：p:3xeM,p（x）T—p:VxeM,—p（x）規(guī)律為：兩變一不變兩變：量詞對應(yīng)發(fā)生變化（V^3），條件p（x）要進(jìn)行否定n—p（x）一不變：x所屬的原集合M的不變化（二） 命題真假的判斷：判斷命題真假需要借助所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，但在一組有關(guān)系的命題中，真假性也存在一定的關(guān)聯(lián)。1、四類命題：原命題與逆否命題真假性相同，同理，逆命題與否命題互為逆否命題，所以真假性也相同。而原命題與逆命題，原命題與否命題真假?zèng)]有關(guān)聯(lián)2、pvq，paq，如下列真值表所示:pqpqp或q真真真真假真假真真假假假pqp且q真真真真假假假真假假假假簡而言之“一真則真” 簡而言之“一假則假”3、 或：與命題p真假相反。4、 全稱命題：真：要證明每一個(gè)M中的元素均可使命題成立假：只需舉出一個(gè)反例即可5、 存在性命題：真：只需在M舉出一個(gè)使命題成立的元素即可假：要證明M中所有的元素均不能使命題成立二、典型例題例1：命題“若方程ax2-bx+c=0的兩根均大于0，則ac>0”的逆否命題是（ ）“若ac>0，則方程ax2-bx+c=0的兩根均大于0”“若方程ax2-bx+c=0的兩根均不大于0，則ac<0”“若ac<0，則方程ax2-bx+c=0的兩根均不大于0”“若ac<0，則方程ax2-bx+c=0的兩根不全大于0”思路：所謂逆否命題是要將原命題的條件與結(jié)論否定后并進(jìn)行調(diào)換，“ac>0”的對立面是“ac<0”，“均大于0”的對立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再調(diào)換順序即可，D選項(xiàng)正確答案：D例2：命題“存在xgZ,x2+2x+m<0”的否定是（ ）A.存在xgZ,x2+2x+m>0 b.不存在xgZ,x2+2x+m>0C.對任意xgZ,x2+2x+m<0 D.對任意xgZ,x2+2x+m>0思路：存在性命題的否定：要將量詞變?yōu)椤叭我狻?，語句對應(yīng)變化x2+2x+m<0Tx2+2x+m>0，但x所在集合不變。所以變化后的命題為：“對任意xgZ,x2+2x+m>0”答案：D例3：給出下列三個(gè)結(jié)論（1） 若命題P為假命題，命題「q為假命題，則命題“Pvq”為假命題（2） 命題“若xy=0，則x=0或y=0”的否命題為“若xy豐0,則x牛0或y豐0”（3）命題“VxgR,2x>0”的否定是“3xgR,2x<0”，則以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2 C.1 D.0思路：（1）中要判斷pvq的真假，則需要判斷p,q各自的真值情況，「q為假命題，則q為真命題，所以p,q一假一真，pvq為真命題，（1）錯(cuò)誤（2） “若……，則……”命題的否命題要將條件和結(jié)論均要否定，而（2）中對“x=0或y=0”的否定應(yīng)該為“x豐0且y豐0”，所以（2）錯(cuò)誤（3） 全稱命題的否定，要改變量詞和語句，且x的范圍不變。而（3）的改寫符合要求，所以（3）正確綜上只有（3）是正確的答案：C例4:有下列四個(gè)命題“若x+y=0，則x,y互為相反數(shù)”的逆命題“全等三角形的面積相等”的否命題“若q<1，則x2+2x+q=0有實(shí)根”的逆否命題“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆命題其中真命題為（ ）A.①② B.②③ C.①③ D.③④思路：①中的逆命題為“若x,y互為相反數(shù)，則x+y=0”，為真命題。②中的否命題為“如果兩個(gè)三角形不是全等三角形，則它們的面積不相等''，為假命題（同底等高即可）。③中若要判斷逆否命題的真假，則只需判斷原命題即可。q<1時(shí)，判別式△=4-4q>0，故方程有實(shí)根。所以原命題為真命題，進(jìn)而其逆否命題也為真命題。④中的逆命題為“如果一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角相等，則它為不等邊三角形”顯然是假命題。綜上，①③正確答案：C小煉有話說：在判斷四類命題的真假時(shí)，如果在寫命題或判斷真假上不好處理，則可以考慮其對應(yīng)的逆否命題，然后利用原命題與逆否命題同真同假的特點(diǎn)進(jìn)行求解例5：下列命題中正確的是（ ）命題“女eR，使得x2-1<0”的否定是“VxeR，均有x2-1<0”命題“若x=3，則x2—2x—3=0”的否命題是“若xN3，則x2—2x—3豐0”命題“存在四邊相等的四邊形不是正方形”，該命題是假命題命題“若cosx=cosJ，則x=J”的逆否命題是真命題思路：分別判斷4個(gè)選項(xiàng)的情況，A選項(xiàng)命題的否定應(yīng)為“VxeR，均有x2—1>0”，B選型否命題的形式是正確的，即條件結(jié)論均否定。C選項(xiàng)的命題是正確的，菱形即滿足條件，D選項(xiàng)由原命題與逆否命題真假相同，從而可判斷原命題的真假，原命題是假的，例如終邊相同的角余弦值相同，所以逆否命題也為假命題。D錯(cuò)誤答案：B例6：如果命題“p且q”是假命題，Jq”也是假命題，則（ ）A.命題“或或q”是假命題 B.命題“p或q”是假命題C.命題“或且q”是真命題 D.命題“p且「q”是真命題思路：涉及到“或”命題與“且”命題的真假，在判斷或利用條件時(shí)通常先判斷每個(gè)命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷。題目中以「q為入手點(diǎn)，可得q是真命題，而因?yàn)閜且q是假命題，所以p只能是假命題。進(jìn)而「p是真命題。由此可判斷出各個(gè)選項(xiàng)的真假：只有C的判斷是正確的答案：C例7：已知命題p:若x>J，則—x<—J；命題q:若x>J，則x2>J2，在命題①paq；②pvq:③pA（「q）；q（「p）vq中，真命題是（ ）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④思路：可先判斷出p,q的真假，從而確定出復(fù)合命題的情況。命題p符合不等式性質(zhì)，正確，而q而q命題是錯(cuò)的。所以①是假的，②是真的，③④中，因?yàn)槌蔀榧?，F(xiàn)為真，所以③正確，④不正確。綜上可確定選項(xiàng)D正確答案：D例8：下列4個(gè)命題中，其中的真命題是（ ）Pi—/一Pi—/一\(1￥(1￥:女6(0,+8〉-<-V27V37p:3xe(0,1),log]x>log]x2 3P3(一、(1￥:P3(一、(1￥:Vxe(0,+8),-2>logxi2p:Vxe0,—(1V2V27<logx13A.pi,A.pi,p3B.pi,p4C.p2,p3D.p2,p4TOC\o"1-5"\h\z一，一，.，…- .，一 “， （iV （iV思路：p,p為存在性命題，所以只要找到符合條件的x即可。p可作出y=-,y=-i2 iV27 V37的圖像，通過觀察發(fā)現(xiàn)找不到符合條件的x；p2同樣作圖可得Vxe（0,i）,logix>log]x，2 3所以p正確;(i\V所以p正確;(i\V27p3通過作圖可發(fā)現(xiàn)圖像中有一部分二x<logxi2所以p3錯(cuò)誤；在p4中，(iV…所以-<i<logx，p(iV…所以-<i<logx，pV27i43可得當(dāng)xe0,三時(shí)，-<-=i,logx>log|三=i，V37 V27 V27 3 ：V37正確。綜上可得：%〃4正確答案：D小煉有話說：（1）在判斷存在性命題與全稱命題的真假，可通過找例子（正例或反例）來進(jìn)行簡單的判斷，如果找不到合適的例子，則要嘗試?yán)贸Ｒ?guī)方法證明或判定（2）本題考察了指對數(shù)比較大小，要選擇正確的方法（中間橋梁，函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合）進(jìn)行處理，例如本題中p,p,p運(yùn)用的數(shù)形結(jié)合，而p通過選擇中間量判斷。i23 4例9：已知命題p:3x0eR,mx2+i<0，命題q:VxeR,x2+mx+1>0，若pvq為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）A,-2<m<2 B.m<-2或m>2C.m<-2 D.m>2思路：因?yàn)閜vq為假命題，所以可得p,q均為假命題。則「p,-q為真命題?！竝:VxeR,mx2+1>0;-q:3xeR,x2+mx+1<0。解決這兩個(gè)不等式能成立與恒成立問題即可。解：Pvq為假命題p,q均為假命題 *:VxgR,mx2+1>0;「q:3xgR,x2+mx+1<0.,.—p,—q為真命題對于—p:VxgR,mx2+1>0mx2+1>0nm>——x2當(dāng)xgR時(shí)，一上<0 「.m>0x2對于—q:3xgR,x2+mx+1<0，設(shè)f(x)=x2+mx+1，由圖像可知：若—q成立，則△=m2—4>0，解得：m>2或m<—2所以綜上所述：m>2小煉有話說：因?yàn)槲覀兤饺兆鲱}都是以真命題為前提處理，所以在邏輯中遇到已知條件是假命題時(shí)，可以考慮先寫出命題的否定，根據(jù)真值表得到命題的否定為真，從而就轉(zhuǎn)化為熟悉的形式以便于求解例10：設(shè)命題P:函數(shù)f(x)=lg(x2—4x+a2)的定義域?yàn)镽；命題q:Vmg[—1,1]，不等式a2—5a—3>\m2+8恒成立，如果命題“pvq”為真命題，且“p△q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍思路：由“pvq”為真命題可得p,q至少有一個(gè)為真，由“paq”為假命題可得p,q至少有一個(gè)為假。兩種情況同時(shí)存在時(shí)，只能說明p,q是一真一假。所以分為p假q真與p真q假進(jìn)行討論即可解：丁命題“pvq”為真命題，且“paq”為假命題p,q一真一假若p假q真，則—p:函數(shù)f(x)=lg(x2—4x+a2)的定義域不為R/.A=16—4a2>0n—2<a<2q:a2—5a—3>\；m2+8恒成立./a2—5a—3>Cm2+g)=3max?，?a2—5a—6Z0^^aV—1或aZ6—2VaV—1若p真q假，則p:函數(shù)f(x)=lg(x2—4x+a2)的定義域?yàn)镽/.A=16—4a2<0na<—2或a>2「q:3mg[—1,1]，不等式a2—5a—3<\：m2+8/.a2—5a—3<（‘‘m2+8 =3解得—1<a<6max/.2<a<6綜上所述：ag[—2,—1]u（2,6）三、近年模擬題題目精選：1、 （2014河南高三模擬，9）已知命題p:3xgR,lnx+x—2=0，命題q:VxgR,2x>x2，則下列命題中為真命題的是（ ）A.pAq B,「pAq C.p△「q D.「p△「q2、 （2014，岳陽一中，3）下列有關(guān)命題的敘述：若pvq為真命題，則paq為真命題“x>5”是“x2—4x—5>0”的充分不必要條件③命題p:3xgR，使得x2+x—1<0，則「p:VxgR，使得x2+x—1>0④命題：“若x2—3x+2=0，則x=1或x=2”的逆否命題為：“若x豐1或x豐2，則x2—3x+2牛0”TOC\o"1-5"\h\z其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.43、 （2014成都七中三月模擬，4）已知命題p:3xgR,2一x>e，命題q:VagR+,log（a2+1）>0，則（ ）A.命題pv「q是假命題 B.命題pa「q是真命題C.命題pvq是假命題 D,命題pAq是真命題4、 （2014新津中學(xué)三月月考，6）已知命題“3xgR，使得2x2+（a—1）x+1V0”是假命

題，則實(shí)數(shù)?的取值范圍是( )A,(-8,-1) B,(-3,+3) C,(-1,3) D,(-3,1)5、(2014新課標(biāo)全國卷I)不等式組：K+: 的解集記為D，有下面四個(gè)命題:Ix-2j<4p"v(eDp"v(eD,x+2j>-2p:V(x,j)eD,x+2j<3其中真命題是( )A.p,p B.p,p2 3 1 2p:3(x,j)eD,x+2j>2p:3(x,j)eD,x+2j<-1C.p,p D.p,p1 4 1 3習(xí)題答案：1、答案：C解析：分別判斷p,q真假，令f(x)=lnx+x一2，可得f(1)f(2)<0由零點(diǎn)存在性定理可知3xe(1,2)，使得f(x)