2022年湖北省荊州市孱陵中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析

2022年湖北省荊州市孱陵中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.計算的結(jié)果是（ ）A、

B、

C、

D、參考答案：A2.已知參加某項活動的六名成員排成一排合影留念，且甲乙兩人均在丙領(lǐng)導人的同側(cè)，則不同的排法共有（

）A．240種

B．360種

C.480種

D．600種參考答案：C3.已知雙曲線的實軸長為2，則該雙曲線的離心率為

A.

B.

C

D.參考答案：D略4.過雙曲線的右焦點F且斜率為1的直線與雙曲線有且只有一個交點，則雙曲線的離心率為（

）A.2 B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，要使過雙曲線的右焦點且斜率為1的直線與雙曲線有且只有一個交點，則該直線應與雙曲線的一條漸進線平行，由此能求出雙曲線的離心率?！驹斀狻窟^雙曲線的右焦點且斜率為1的直線與雙曲線有且只有一個交點，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，所給直線應與雙曲線的一條漸進線平行，，由，故答案選D?！军c睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，解題時注意雙曲線的簡單性質(zhì)的合理運用，屬于中檔題。5.設樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為1和4，若（為非零常數(shù)，），則的均值和方差分別為（

）（A）

（B）

（C）

（D） 參考答案：A6.已知滿足線性約束條件，若，，則的最大值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D，畫可行域，可得答案5。高考考察已經(jīng)不再局限于（）的最值求解，而多傾向于或非線性規(guī)劃問題的考察。7.已知拋物線y2=2px，O是坐標原點，F(xiàn)是焦點，P是拋物線上的點，使得△POF是直角三角形，則這樣的點P共有（）A．0個 B．2個 C．4個 D．6個參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】如圖所示，過焦點F作PF⊥x軸，交拋物線于點P，P′．則△OFP、△OFP′都是直角三角形．而==2＞1，可得∠POF＞45°．即∠POP′＞90°．于是△POP′不是直角三角形．即可得出符合條件的點P的個數(shù)．【解答】解：如圖所示，過焦點F作PF⊥x軸，交拋物線于點P，P′．則△OFP、△OFP′都是直角三角形．而==2＞1，∴∠POF＞45°．∴∠POP′＞90°．∴△POP′不是直角三角形．綜上可知：使得△POF是直角三角形的拋物線上的點P有且只有2個．故選B．8.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項和為A.

B.

C.

D.

參考答案：A9.下列四個函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在定義域上單調(diào)遞增的是

（）A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B由題意得，因為，所以故選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最大值為，最小正周期為，則有序數(shù)對為

.參考答案：略12.已知球面上有四個點A，B，C，D，球心為點O，O在CD上，若三棱錐A-BCD的體積的最大值為，則該球O的表面積為________．參考答案：16π由題意知，為該球的直徑，由此易知，當頂點在底面的射影為球心時，且底面為等腰直角三角形時，三棱錐體積最大，所以，解得，故所求球的表面積為.

13.已知.且數(shù)列是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則的最大值是

；參考答案：14.二項式的展開式中第四項的系數(shù)為

．參考答案：-80略15.在平面直角坐標系xOy中，若定點A(1,2)與動點滿足向量在向量上的投影為，則點P的軌跡方程是________________．參考答案：x＋2y-5＝016.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為2的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是．參考答案：【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知原幾何體是一個棱長為2的正方體挖去一四棱錐得到的，根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)可求出正方體、錐體的體積．【解答】解：由三視圖知原幾何體是一個棱長為2的正方體挖去一四棱錐得到的，該四棱錐的底為正方體的上底，高為1，如圖所示：∴該幾何體的體積為23﹣×22×1=8﹣=．故答案為：．17.曲線C：與軸的交點關(guān)于原點的對稱點稱為“望點”，以“望點”為圓心，凡是與曲線C有公共點的圓，皆稱之為“望圓”，則當時，所有的“望圓”中，面積最小的“望圓”的面積為___________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列的前n項和滿足：（正常數(shù)），.（1）求的通項公式；（2）設，若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，，數(shù)列的前n項和為,求證：．參考答案：解：（1）,

∴

……….1分當時，兩式相減得：，

,即是等比數(shù)列．∴；…4分（2）由（1）知,,，若為等比數(shù)列，則有

而，,……6分故，解得，

……7分再將代入得成立，所以．

…………8分（3）證明：由（2）知，所以…10分所以………12分

略19.（本小題滿分12分）如圖，焦距為的橢圓的兩個頂點分別為和，且與共線．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若直線與橢圓有兩個不同的交點和，且原點總在以為直徑的圓的內(nèi)部，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：【知識點】橢圓的方程；直線與橢圓的位置關(guān)系.

H5

H8【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析：（Ⅰ）根據(jù)題意得解得，所以橢圓E標準方程為.---------4分（Ⅱ）設，把直線方程y=kx+m代入橢圓方程，消去y，得，所以，-----8分，即

-------9分因為原點O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，所以,即，又，由得，又成立，得，故實數(shù)m的取值范圍是.【思路點撥】（Ⅰ）由已知得關(guān)于a,b,c的方程組，解得a,b即可；（Ⅱ）設，把直線方程代入橢圓方程消去y，得，所以，，即因為原點O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，所以,即，把韋達定理代入上式得，結(jié)合，所以，故實數(shù)m的取值范圍是.20.如圖，在平面直角坐標系中，已知點，過直線左側(cè)的動點P作于點的角平分線交x軸于點M，且，記動點P的軌跡為曲線P．（1）求曲線P的方程；（2）過點F作直線m交曲線P于A，B兩點，點C在上，且軸，試問：直線AC是否恒過定點？請說明理由．參考答案：（1）；（2）是.【分析】（1）設，由題意可得：，可得==，即，化簡整理即可得出；（2）由題意可得：直線的斜率不為0，可設直線的方程為：，設，，與橢圓方程聯(lián)立化為：，直線的斜率，方程為：，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡整理即可得出．【詳解】（1）設P（x，y），由題意可得：|MF|=|PF|，∴==．即=，化為：+y2=1．（2）由題意可得：直線m的斜率不為0，可設直線m的方程為：．設，．聯(lián)立，化為：，成立．∴，，．∴直線AC的斜率，方程為：．即：．又===．∴y=，即y=．∴直線恒過定點．【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21.某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數(shù)學競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學生的平均分是85．（Ⅰ）計算甲班7位學生成績的方差s2；（Ⅱ）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率．參考公式：方差，其中．參考答案：【考點】極差、方差與標準差；莖葉圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）利用平均數(shù)求出x的值，根據(jù)所給的莖葉圖，得出甲班7位學生成績，做出這7次成績的平均數(shù)，把7次成績和平均數(shù)代入方差的計算公式，求出這組數(shù)據(jù)的方差．（Ⅱ）設甲班至少有一名學生為事件A，其對立事件為從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生；先計算出從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生的所有抽取方法總數(shù)，和沒有甲班一名學生的方法數(shù)目，先求出從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生的概率，進而結(jié)合對立事件的概率性質(zhì)求得答案【解答】解：（I）∵甲班學生的平均分是85，∴．…∴x=5．…則甲班7位學生成績的方差為s2==40．…（II）甲班成績在90（分）以上的學生有兩名，分別記為A，B，…乙班成績在90（分）以上的學生有三名，分別記為C，D，E．…從這五名學生任意抽取兩名學生共有10種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．…其中甲班至少有一名學生共有7種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．…記“甲班至少有一名學生”為事件M，則，即從成績在90（分）以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲校至少有一名學生的概率為．…【點評】本小題主要考查莖葉圖、樣本均值、樣本方差、概率等知識，考查或然與必然的數(shù)學思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應用意識．22.（本小題12分）PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，根據(jù)現(xiàn)行國家標準GB3095—2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級，這個值越高就代表