現(xiàn)代電路理論講

現(xiàn)代電路理論講第一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三任課教師黃麗蓮哈爾濱工程大學21號樓210Email:huanglilian@Tel:82519803-60313946083155第二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三參考書目：(1)楊曉松李清都.混沌系統(tǒng)與混沌電路.北京：科學出版社.2007(2)高金峰.非線性電路與混沌.北京：科學出版社.2005(3)韓茂安顧圣士.非線性系統(tǒng)的理論和方法.北京：科學出版社.2001(4)劉秉正彭建華.非線性動力學.北京：高等教育出版社.2004(5)邱關源現(xiàn)代電路理論.北京：高等教育出版社.2004第三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三非線性電路中的混沌現(xiàn)象引言非線性電路的分岔非線性電路中的擬周期現(xiàn)象非線性電路中的混沌現(xiàn)象混沌及其特征引言混沌的定義李亞普諾夫指數(shù)混沌產(chǎn)生的機理與條件3.Lorenz系統(tǒng)梅利尼科夫方法RLC串聯(lián)電路中的混沌第四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三席尼爾科夫定理及其應用席尼爾科夫定理席尼爾科夫意義下的混沌電路——考畢茲振蕩器6.常用數(shù)值方法引言牛頓—拉弗森方法解軌線（軌道）積分算法頻譜分析及相關數(shù)據(jù)處理李亞普諾夫指數(shù)計算7.典型混沌電路分析示例電路模型與方程平衡點及其穩(wěn)定性Hopf分岔與中心流形第五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三8.

席尼爾科夫意義下的混沌特征值和特征空間同宿軌道及其計算席尼爾科夫意義下的混沌9.拓撲等價與拓撲共軛10.

計算機模擬和電路實驗

第六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三1.1引言非線性動態(tài)電路的穩(wěn)態(tài)解有四種形式，除了前面介紹的平衡點、周期解兩種形式，另外兩種形式分別是擬周期解與混沌解。電路中的擬周期解早已為人們所了解，但非線性電路中的混沌解只是在近20年才為人們所認識。第七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三長期以來，人們認為一個確定的電路中，其解也是確定的，即在兩組相近的初始條件下，其解也是相近的。這里所謂確定的電路，是指電路中的所有元件參數(shù)全是確定的，不包含任何隨機因素。第八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三但在近20年中發(fā)現(xiàn)，確定的非線性電路中存在著一種特殊的穩(wěn)態(tài)解，該種形式的解既不是周期的，也不是擬周期的，而是在一定區(qū)域內(nèi)永不重復類似隨機的振蕩。這種振蕩對初始值極端敏感，不能從任一點預測未來的振蕩行為，這種非線性電路的解就稱為混沌。第九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三一個非線性電路產(chǎn)生周期、擬周期或混沌振蕩，必須滿足一定的電路參數(shù)條件。同一個非線性電路不同的參數(shù)，其解也不會一樣。當非線性電路的參數(shù)發(fā)生變化，引起電路解的性質(zhì)發(fā)生質(zhì)的變化，例如由平衡點解變?yōu)橹芷谡袷幗?這種解的質(zhì)的變化就稱為分歧(bifurcation)或分岔，引起變化的參數(shù)稱為分歧參數(shù)。第十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三由于非線性電路中的分歧現(xiàn)象與非線性電路中產(chǎn)生擬周期解與混沌有密切的關系，本章將非線性電路中的分歧現(xiàn)象與擬周期解及混沌一并介紹。第十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三1.2非線性電路的分岔當電路參數(shù)發(fā)生改變，特別是微小的改變時，就能引起電路的解或相圖發(fā)生質(zhì)的變化。這種現(xiàn)象在非線性動力學理論中稱為分歧。能引起解發(fā)生質(zhì)的變化的參數(shù)稱為分歧參數(shù)，產(chǎn)生質(zhì)的變化的參數(shù)值稱之為分歧點。在特定的非線性電路中，電阻、電容、電感、放大器的放大倍數(shù)等都可能是分歧參數(shù)。第十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三

非線性電路中的分歧問題可以分為靜態(tài)分歧、動態(tài)分歧，也可以按局部分歧和全局分歧分類。靜態(tài)分歧：是指系統(tǒng)的平衡點數(shù)目和穩(wěn)定性的變化。動態(tài)分歧：是指在相平面上軌道定性性質(zhì)的變化。局部分歧：是討論平衡點或軌道附近相圖的拓撲結(jié)構(gòu)的變化。全局分歧：是研究大范圍內(nèi)拓撲結(jié)構(gòu)的變化。第十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三靜態(tài)分歧又可以分為平衡點的鞍結(jié)分歧、跨臨界分歧、叉式分歧等等。動態(tài)分歧可以分為霍普夫分歧、閉軌分歧、環(huán)面分歧、同宿或異宿分歧等等。下面以幾個典型的例子來討論分歧現(xiàn)象。

第十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三首先應注意的是，無論是靜態(tài)分歧或者是動態(tài)分歧中的霍普夫(Hopf)分歧，只有平衡點是非雙曲平衡點時，才會有分歧現(xiàn)象發(fā)生。非雙曲平衡點意味著非線性電路對應的線性化方程系數(shù)矩陣至少有一個具有零實部的特征值。第十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三為了說明上述不同的分歧情況，考慮一階電路如圖1-1所示，非線性電阻的伏安特性為壓控的，且i=v2，以電容電壓（vc=v）為狀態(tài)變量的電路方程為圖1-1具有鞍結(jié)分歧的電路即

令時，有

（7-1）

第十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三可見該電路的平衡點隨參數(shù)的變化而變化。特別當＝0時，x=0是該電路的一個非雙曲平衡點。平衡點隨參數(shù)變化，由式給出，可以用平衡點隨分歧參數(shù)變化的圖1-2表示。這種平衡點或方程的解隨分歧參數(shù)變化的圖稱為分歧圖。第十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三圖1-2鞍結(jié)分歧第十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三由圖1-2可見，當<0時，電路沒有平衡點，即電路不存在工作點；當＝0時，有一個平衡點，而當>0時，有二個平衡點，分別為。容易判斷是穩(wěn)定的，是不穩(wěn)定的。這表示參數(shù)產(chǎn)在=0的附近變化時，電路平衡點的個數(shù)和軌道都發(fā)生了定性的變化，即發(fā)生了分歧，分歧點是（x，）=（0，0）。這種分歧稱為鞍結(jié)分歧。第十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三鞍結(jié)分歧過程可以從電路的工作點的變化過程來解釋。按照工作點的求解方法，將圖1-1中電容開路，有圖1-3(a）所示電路及圖1-3(b)求工作點的示意圖。第二十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三從圖1-3(b)可以看出，當電流源電流IS<0時，電路工作點不存在；當IS＝0時，有一個工作點；當IS>0時，有兩個工作點。且工作點Q1處的動態(tài)電阻為正值，所以，該工作點是穩(wěn)定的；工作點Q2處的動態(tài)電阻為負值，該工作點是不穩(wěn)定的。第二十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三圖1-3靜態(tài)工作點及求解電路第二十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三這種分歧稱為鞍結(jié)分歧的原因如下：對<0時，無平衡點；對＝0時，有一個在原點處稱為鞍結(jié)點的平衡點；對>0時，有兩個平衡點，這兩個平衡點一個是穩(wěn)定結(jié)點，一個是鞍點。第二十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三為了能清楚地表明鞍結(jié)分歧相圖的變化，考慮圖1-4所示二階電路。此電路是圖1-1所示一階電路增加了一個RL電路，仍設非線性電阻的伏安特性為i＝v2，以電容電壓和電感電流為狀態(tài)變量列出狀態(tài)方程：第二十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三取歸一化值，設，則有：

(1-2)

當＝0時，式（1-2）有非雙曲平衡點。由于式（1-2）的第二式特征值實部不為零，因此其分歧由式（1-2)的第一式?jīng)Q定。但相平面上的鞍結(jié)點變化過程可以清楚地表示出來，如圖1-5所示。

第二十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三圖1-4鞍結(jié)分歧

圖1-5鞍結(jié)分歧相圖第二十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三過臨界分歧可以用圖1-6所示一階電路來說明，電路的非線性電阻的伏安特性為壓控且i＝v2，以電容電壓為狀態(tài)變量的方程為圖1-6過臨界分歧一階電路

即

令

，則有

（1-3）

第二十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三式（1-3）在＝0時，x=0的點是一個具有零特征值的非雙曲平衡點。平衡點隨參數(shù)變化，由式給出，如圖1-7所示。

圖1-7過臨界分歧第二十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三從圖中可見，當<0時，電路有兩個平衡點x1=0和x2=。容易判定，x1=0的平衡點是穩(wěn)定的。x2=的平衡點是不穩(wěn)定的；當＝0時，僅有一個穩(wěn)定平衡點；當>0時，與<0時相同，有兩個平衡點。但平衡點的穩(wěn)定性質(zhì)發(fā)生了轉(zhuǎn)換，x1=0變成了不穩(wěn)定平衡點，x2＝是穩(wěn)定的平衡點。在=0的鄰域內(nèi)發(fā)生變化時，會導致平衡點的個數(shù)和穩(wěn)定性發(fā)生變化，因此，點（x，）=(0,0)就是分歧點，這種分歧稱為過臨界分歧。第二十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三與鞍結(jié)分歧相同，分歧過程也可以用電路靜態(tài)工作點的概念解釋。當電容用開路代替后，受控源和非線性電路的伏安關系分別畫于圖1-8。當＝0時，僅有工作點Q0，當>0時，有工作點Q0和Ql，且Ql處的動態(tài)電阻為正值；當＜0時，有工作點Q2和Q0，且Q2處的動態(tài)電阻為負值。這說明了平衡點穩(wěn)定性質(zhì)轉(zhuǎn)變的本質(zhì)。第三十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三圖1-8靜態(tài)工作點

第三十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三討論叉形分歧的電路仍如圖1-6所示，但非線性電阻的伏安特性為i＝v3；以電容電壓為狀態(tài)變量時，狀態(tài)方程為同時令

，有如下方程

（1-4）

第三十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三可以驗證點（x，）=（0,0)是具有零特征值的非雙曲平衡點。當時電路的平衡點隨參數(shù)變化，由式給出，如圖1-9所示。當＜0時，電路有一個平衡點，x＝0，且是穩(wěn)定平衡點；當＝0時，x＝0也是一個平衡點，仍是穩(wěn)定的；當>0時，電路有3個平衡點，這3個平衡點分別是和；

第三十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三此時，不僅平衡點的個數(shù)發(fā)生了變化，而且穩(wěn)定性也發(fā)生了變化，時的x=0的平衡點在過分歧點后，由穩(wěn)定變成了不穩(wěn)定，并產(chǎn)生了兩個新平衡點；新產(chǎn)生的兩個平衡點是穩(wěn)定的。由于隨的變化，穩(wěn)定的平衡點在x-平面上描出的曲線像一把叉子，因此稱為叉形分歧。對應叉形分歧的電路的靜態(tài)工作點隨產(chǎn)的變化求解過程如圖1-10所示。第三十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三圖1-9叉形分歧圖

圖1-10叉形分歧靜態(tài)工作點

第三十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三當時，僅有工作點Q0；當>0時，有3個工作點，即Q0，Ql和Q2。由于Q1和Q2處的動態(tài)電阻都為正值，所以工作點是穩(wěn)定的。Hopf分歧可以用RC正弦振蕩器說明。圖1-11所示為移相式RC振蕩電路，當電路中反相放大器的電壓放大倍數(shù)k>29時，該電路中將產(chǎn)生穩(wěn)定的正弦振蕩，振蕩頻率，蕩幅度大小由放大器的飽和特性決定。第三十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三為用分歧理論分析該電路，設放大器的轉(zhuǎn)移特性為顯然m＝0時，放大器是線性的，且是反相的，放大倍數(shù)為k。式中引人的非線性項是為了使放大器具有飽和特性。分別以3個電容電壓為狀態(tài)變量列出狀態(tài)方程（1-5）

第三十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三圖1-11滯后移相振蕩電路第三十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三將放大器的轉(zhuǎn)移特性代入上式，并令將時間歸一化后，有（1-6）

點（v1,v2,v3）=(0,0,0)是該電路的唯一平衡點。在平衡點處的線性化方程為第三十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三系數(shù)矩陣的特征方程為（1-7）

當k=29時，，有一對實部為零的共扼復特征值。即k=29時，平衡點為非雙曲平衡點；當k<29時，，且a(k)<0，w(k)>0，此時平衡點為漸近穩(wěn)定雙曲平衡點；第四十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三當k>29時，，但a（k）＞0,即平衡點為不穩(wěn)定雙曲平衡點。顯然k＝29是一個分歧點，當k從k<29增加經(jīng)過k=29到k>29時，相圖的定性性質(zhì)發(fā)生了質(zhì)的變化。除平衡點的移定性質(zhì)變化外，還從平衡點分歧出極限環(huán)，即產(chǎn)生周期振蕩，這種分歧稱為Hopf分歧。放大器放大倍數(shù)k是分歧參數(shù)，當k>29時出現(xiàn)周期振蕩，振蕩的周期。式中的為特征方程式在k=29時的純虛根的模值。第四十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三1-3非線性電路中的擬周期現(xiàn)象非線性動態(tài)電路的解除了平衡點、周期解外，還有一種可以用解析函數(shù)表達的解，即擬周期振蕩。圖7-12所示線性電路中有兩個正弦激勵源，其角頻率分別是和。線性電路的微分方程可以寫為第四十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三上式可以改寫為（1-8）

式中分別為兩個激勵的等效振幅。

圖1-12兩個激勵的RLC電路第四十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三

電路的穩(wěn)態(tài)響應為

（1-9）

上式表明，線性RLC電路的穩(wěn)態(tài)響應由兩個周期振蕩合成。但由于兩個周期振蕩的頻率比為一無理數(shù)，因此，其合成響應不是周期的。另一方面，任給一個

，可以找到兩個整數(shù)m和n，使得成立。因而式（7-9)可以寫為

（1-10）

上式前兩項之和為一周期響應，周期為。

第四十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三式（1-10）表示的響應則不是周期的，但與周期為的周期響應相差無幾。故式（1-9）表示的響應稱為擬周期響應。

擬周期函數(shù)的數(shù)學定義為：如果連續(xù)函數(shù)f(t)滿足下列條件：（1）對任意給定的正小數(shù)，存在一個稱為轉(zhuǎn)移數(shù)的集合，使得成立；（2）存在一個依賴于的長度L()，使得在任何一個時間區(qū)間a＜t<a＋L上至少包含一個轉(zhuǎn)移數(shù)，就稱f(t)為擬周期函數(shù)。第四十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三粗略地講，擬周期函數(shù)可以用具有不可通約頻率的傅里葉多項式表示。周期激勵下的范德坡振蕩電路如圖1-13所示，非線性電阻的伏安特性為

以電容電壓為變量的電路方程為第四十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三第四十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三令，則電路方程可歸一化為（1-11）

將上式寫成狀態(tài)方程形式，并令，得

（1-12）

其中。

第四十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三式(1-12)是自治方程。顯然，當外激勵的振幅等于零時，式(1-12)仍將產(chǎn)生一個角頻率等于1、振幅等于2的自激振蕩解。由式中的歸一化參數(shù)關系可以看出，反映了頻率失調(diào)的大小，即外加激勵的頻率偏離自激振蕩頻率的程度。當較小時，式(1-12)可以看成所謂弱非線性系統(tǒng)，其響應的振幅變化比較緩慢，可以用平均法求得其近似解析結(jié)果。第四十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三現(xiàn)在討論時的情況，設解為（1-13）

用平均法，可以得到關于a(t)，b(t)的自治狀態(tài)方程（1-14）

第五十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三其中，，是隨時間變動的振幅。

當式（1-14)中的時，得到平衡點的約束方程，令平衡點為，則

為求解上式，將上兩式分別平方后相加，得

（1-16）

（1-15）

第五十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三式中，是振蕩的不變振幅。由的意義可知，當式(1-14)的平衡點穩(wěn)定時，意味著式(1-12)有穩(wěn)定的周期解；當平衡點不穩(wěn)定時，則式（1-12)的解是不穩(wěn)定的。若平衡點是一個非雙曲平衡點，隨著電路參數(shù)（F,）的變化，有可能會產(chǎn)生分歧現(xiàn)象。特別是式（1-14)出現(xiàn)Hopf分歧時，a（t）和b（t）將以周期形式變化，式（1-12）的解式（1-13)將會出現(xiàn)和頻、差頻及擬周期振蕩。第五十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三當式（1-14）發(fā)生Hopf分歧時，將出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)，即a（t）和b（t）將是角頻率為的周期解。由于x(t)＝a(t)cost＋b(t)sint，則按照三角函數(shù)的和差化積公式，x(t)中將會出現(xiàn)和頻與差頻項，其頻率是和。若去歸一化，電路中將有和頻率的分量存在。當是有理數(shù)時，解是周期的；當是無理數(shù)時，解就是擬周期的，即解中將會出現(xiàn)至少兩個不可通約的頻率分量。第五十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三7-4非線性電路中的混沌現(xiàn)象非線性電路中的平衡點、周期解及擬周期解有如下共同的特征：（1）完全確定性。只要給定初始狀態(tài)，可以精確地預測之后任一時刻的行為。（2）如果解是穩(wěn)定的，則當初始狀態(tài)有任何微小的變動時，相應的解的狀態(tài)改變也很微小，即運動狀態(tài)對初始值不敏感。（3）無論是周期振蕩或者是擬周期振蕩，它們的頻譜都是離散的。周期振蕩信號的頻譜各頻率之比均為有理數(shù)，擬周期振蕩信號的頻譜各頻率之比為無理數(shù)。第五十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三（4）對于周期激勵的電路，無論解是周期振蕩或者是擬周期振蕩，當選取激勵信號的周期作等間隔橫截其響應時，周期信號在橫截面上表現(xiàn)為一個點，或m個點，一個點稱為周期1，m個點稱為周期m；擬周期信號則是一個無限填充的封閉橢圓。這種橫截面稱為龐卡萊截面。第五十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三長期以來，人們認為對于非線性系統(tǒng)，確定性激勵只能引起確定性響應，隨機性激勵只能引起隨機性響應?；煦绗F(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)使人們驚奇地看到，確定性激勵或確定性系統(tǒng)竟然可以引起或產(chǎn)生某種隨機性響應。隨著其他學科中混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)和深入研究，非線性電路中的混沌研究始于20世紀80年代初。第五十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三1981年Linsay最初報道了圖1-14所示周期激勵下的電阻、電感與變?nèi)荻O管串聯(lián)電路中的混沌現(xiàn)象。該電路中當周期激勵的頻率固定，振幅從一定值增加時，變?nèi)荻O管兩端的電壓輸出將會產(chǎn)生所謂周期1、周期2、周期4,…直至混沌的響應。周期n就意味著電路的輸出信號的周期是激勵信號周期的n倍。如果以激勵的振幅作為橫軸，等激勵周期橫截輸出信號所得的點為縱軸，可得到圖1-15所示倍周期分歧圖。第五十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三圖1-14變?nèi)荻O管混沌電路

圖1-15倍周期分歧圖

第五十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三粗略地講，非線性電路的混沌或混沌振蕩是指確定性電路中產(chǎn)生的不確定、類似隨機的輸出。所謂確定性電路是指電路的參數(shù)和輸入都為確定值，沒有隨機因素。所謂不確定、類似隨機的輸出是指電路的輸出既不是周期的，又不是擬周期的；既不趨于無窮、又不趨于靜止，而是在一定區(qū)域內(nèi)永不重復的輸出。第五十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三這種性質(zhì)的輸出與平衡點，周期解和擬周期解相比有如下幾個特征：（1）不確定性。即在給定的初始狀態(tài)下，不能精確預測它在其后任一時刻的行為。（2）對初始值的極端敏感性。任意靠近兩個初始值出發(fā)的軌道在一定的時間間隔內(nèi)將會以指數(shù)方式分離。初始值的極其微小的改變，可以使振蕩的輸出產(chǎn)生本質(zhì)的差異。這種差異絕不是計算誤差形成的，而是非線性電路的固有特性。

第六十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三（3）周期或擬周期振蕩信號的頻譜是離散譜?；煦缯袷庉敵鲂盘杽t是一定頻率范圍內(nèi)的連續(xù)譜。（4）周期或擬周期振蕩的龐加萊映射是點或無限填充的封閉的橢圓線。但混沌振蕩對應的龐加萊映射在龐加萊截面上的表現(xiàn)，則是雜亂無章的點集合。第六十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三除了前述的這四個特征外，還有一個定量描述混沌的統(tǒng)計量—正的李雅普諾夫指數(shù)。李雅普諾夫指數(shù)與非保守系統(tǒng)或稱為耗散系統(tǒng)中的“吸引子”概念相聯(lián)系的。當一個電路是耗散系統(tǒng)時，意味著電路中有最終消耗能量的正電阻存在。隨著時間的增加，相空間中的軌道都向某一定的區(qū)域逼近，它就是吸引子。在非保守系統(tǒng)中可能有許多吸引子，向其中某個吸引子趨向的點集合稱為該吸引子的吸引盆。在某吸引子的吸引盆中不會有其他吸引子。

第六十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三在相空間中，吸引子共有4種類型：(1)平衡點（不動點）(2)周期吸引子(3)擬周期吸引子(4)混沌吸引子（也稱奇怪吸引子）第六十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三吸引子可以在任意階的電路中出現(xiàn)，但混沌吸引子只可能在三階或高于三階的動態(tài)電路中出現(xiàn)，而且它是整體穩(wěn)定（耗散能量消耗、最終無源）和局部不穩(wěn)定（雙曲、局部有源）相結(jié)合的產(chǎn)物。在相空間的表現(xiàn)是“伸長”和“折疊”。

第六十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三圖1-16所示分別從相互靠近的兩點1，2出發(fā)的軌道隨時間演化的過程可以清楚地說明問題，由于混沌對初始條件的極端敏感，隨著時間的增加，相互靠近的相點1,2很快分開，它們之間的距離按時間的指數(shù)方式增加，即相點的距離伸長了。正的李雅普諾夫指數(shù)定量描述了這種伸長效應。圖1-16混沌軌道的“伸長”與“折疊”

第六十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三由于軌道是整體吸引的，局限在有限的區(qū)域內(nèi)的軌道又要折轉(zhuǎn)回來，即“折疊”。否則，相空間中的點將會趨于無窮遠處。顯然，對于連續(xù)的軌道而言，在二維相平面中是沒有“折疊”的余地的。因而混沌只能出現(xiàn)在三階自治或二階非自治以上的動態(tài)電路中。第六十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三隨著非線性電路研究的深入，目前已有很多產(chǎn)生混沌的實際電路及用于研究混沌產(chǎn)生機制的電路的報道?；煦绗F(xiàn)象廣泛地存在于非線性電路中，比較典型并已得到深入研究的電路是二階非自治鐵磁諧振電路和稱為蔡氏電路的三階自治電路。二階非自治鐵磁諧振電路如圖1-17所示。當非線性電感的韋安特性用三次多項式表示時，可以得到歸一化方程為：

第六十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期三圖1-1