矢量分析及場(chǎng)論基礎(chǔ)

矢量分析及場(chǎng)論基礎(chǔ)第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三VectoranalysisIntroductionVectoranalysisisthelanguageusedinthestudyofelectromagneticfields.Withouttheuseofvectors,thefieldequationswillbeunwieldytowriteandoneroustoremember.Asingleequationinvectorformissufficienttorepresentuptothreescalarequations.Webeginourdiscussionbydefiningscalarandvectorquantities.第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三§0-1標(biāo)量(Scalar)和矢量(Vector)Mostofthequantitiesencounteredinelectromagneticfieldscaneasilybedividedintotwoclasses,scalarsandvectors.標(biāo)量：Aphysicalquantitycanbecompletelydescribedbyitsmagnitudeiscalledascalar.Forexample,mass(質(zhì)量)、time、temperature、work(功)、electriccharge(電荷)Eachofthesequantitiesiscompletelydescribablebyasinglenumber.Infact,allrealnumbersarescalars.第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三矢量：Aphysicalquantityhavingamagnitudeaswellasadirectioniscalledavector.Forexample,force、velocity(速度)、torque(力矩)、acceleration(加速度)、electricfield、magneticfield.

Themagnitudeofavectorisdepictedbyalinesegment,andthedirectionisindicatedbymeansofanarrow.第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三Vectoroperations矢量運(yùn)算Vectoraddition加法Vectorsubtraction減法Multiplicationofavectorbyascalar矢量乘以標(biāo)量Productoftwovectors兩矢量的乘積

Dotproduct點(diǎn)積

Crossproduct叉積第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三§0-2Theorthogonalcoordinatesystems

正交坐標(biāo)系Uptothispointwehavekeptourdiscussionquitegeneralandusedgraphicalrepresentationswhenmanipulatingvectors.Fromamathematicalpointofviewitisveryconvenienttoworkwithvectorswhentheyareresolvedintocomponentsalongthreemutuallyorthogonaldirections.第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三Wewillmainlyusethreeorthogonalcoordinatesystems:

Weshallnowdigresstodiscusseachofthesecoordinatesystemsandthenresumeourdiscussionofvectors.坐標(biāo)系是相對(duì)于參考原點(diǎn)確定空間任一點(diǎn)位置的唯一方法，它可以由三個(gè)互相垂直的曲面的交點(diǎn)來(lái)確定。于是，在該點(diǎn)上這些曲面的法線便可規(guī)定為坐標(biāo)軸。在分析電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，往往需要根據(jù)具體問(wèn)題的幾何條件選擇一種相適應(yīng)的坐標(biāo)系。rectangularcylindricalsphericalcoordinatesystem第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三TheCartesiancoordinatesystem1.Rectangularcoordinatesystem直角坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直平面的交線規(guī)定為直角坐標(biāo)軸(x,y,z)第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三在電磁場(chǎng)中，大部分問(wèn)題必須通過(guò)沿曲線、曲面或區(qū)域的積分求解，因此應(yīng)對(duì)相應(yīng)的微分元有充分的了解。Differentialelementsofsurfaceandvolume微分體積元和面積元ThegeneraldifferentiallengthelementfromPtoQis:第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三OthercoordinatesystemsTheCartesiancoordinatesystemisgenerallytheoneinwhichstudentsprefertoworkeveryproblem.Thisoftenmeansalotmoreworkforthestudent,becausemanyproblemspossessatypeofsymmetrywhichpleadsforamorelogicaltreatment.第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三Itiseasiertodonow,onceandforall,theworkrequiredtobecomefamiliarwithcylindricalandsphericalcoordinates,insteadofapplyinganequalorgreaterefforttoeveryprobleminvolvingcylindricalorsphericalsymmetrylater.Withthisfuturesavingoflaborinmind,weshalltakeacarefulandunhurriedlookatcylindricalandsphericalcoordinates.一個(gè)問(wèn)題無(wú)論是柱對(duì)稱還是球?qū)ΨQ，都可以在我們所熟知的直角坐標(biāo)系中表示和求解，但這將顯示不出對(duì)稱性，而且在多數(shù)情況下會(huì)帶來(lái)不必要的麻煩，因此還要用到圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三由z、Φ為常數(shù)的平面與半徑ρ為常數(shù)的圓柱面的交線規(guī)定的坐標(biāo)(ρ,Φ,z)2.Cylindricalcoordinatesystem圓柱坐標(biāo)系第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三微分體積元和面積元ThegeneraldifferentiallengthelementfromPtoQis:第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三CylindricalCoordinates第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三ThreeSurfacesoftheCylindricalCoordinatecylinder：constant第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三Semi-infiniteplane第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三constantInfiniteplane第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三柱面坐標(biāo)的坐標(biāo)面第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三3.Sphericalcoordinatesystem球坐標(biāo)系第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三微分面元與微分體積元ThegeneraldifferentiallengthelementfromPtoQis:第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三Sphericalcoordinates第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三ThreeSurfacesoftheSphericalCoordinateconstantSphericalsurface：const第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三Semi-infinite第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三Conicalsurface：第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三§0-3Scalarandvectorfields標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)場(chǎng)：Afieldisafunctionthatdescribesaphysicalquantityatallpointsinspace.在自然界中，許多問(wèn)題是定義在確定空間區(qū)域上的，在該區(qū)域上每一點(diǎn)都有確定的量與之對(duì)應(yīng)，我們稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。如果這個(gè)量是標(biāo)量我們稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)(Scalarfield)；如果這個(gè)量是矢量，則稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)(Vectorfield)。Ifafielddoesnotvarywithtimewerefertoitasastaticfield.如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)(staticfield)，反之為時(shí)變場(chǎng)(time-varyingfield)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)。第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三定義了場(chǎng)量的空間點(diǎn)稱為場(chǎng)點(diǎn)。在直角坐標(biāo)系中，場(chǎng)點(diǎn)M可以由它的三個(gè)坐標(biāo)x,y,z確定。因此，一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)和一個(gè)矢量場(chǎng)可分別用標(biāo)量函數(shù)和矢量函數(shù)表示第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)

sourcepointandfieldpoint一般說(shuō)來(lái)，場(chǎng)是由場(chǎng)源產(chǎn)生的。場(chǎng)源所在的空間位置稱為源點(diǎn)。空間位置上除了定義場(chǎng)量外，也可以定義場(chǎng)源。這樣，可以把空間的點(diǎn)表示為場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)。Wewillgenerallyuseprimedlettersforthecoordinatesofthesourcepointandunprimedlettersforpointsatwhichthedesiredquantityistobedeterminedinordertoavoidconfusion.為避免混淆，用撇號(hào)表示源點(diǎn)，不加撇則表示場(chǎng)點(diǎn)。第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三源點(diǎn)P′用坐標(biāo)(x′,y′,z′)表示，也可以用位置矢量表示；場(chǎng)點(diǎn)P用坐標(biāo)(x,y,z)表示，也可用位置矢量表示。由源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離矢量用表示第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三幾個(gè)有用的場(chǎng)矢量1.位移矢量thepositionvector2.單位矢量theunitvector3.線元矢量thelinevector4.面元矢量thesurfacevector第三十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.利用微分體積元求半徑為a的球的體積。2.已知：試分別用叉乘和點(diǎn)乘求矢量間的夾角。課堂練習(xí)：第三十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三課外作業(yè)：1.利用圓柱坐標(biāo)，求半徑為a、高為h的直圓柱的側(cè)面面積及直圓柱的體積。2.Giventhreevectors：Find：1)2)Theunitvectors:3)