系統(tǒng)數(shù)學模型的建立

系統(tǒng)數(shù)學模型的建立第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.1

由系統(tǒng)原理圖畫功能方框圖為了建立系統(tǒng)的數(shù)學模型，往往需要由系統(tǒng)的原理圖畫出系統(tǒng)的功能方框圖?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型的建立，可以按照圖4.1-1的基本步驟進行。圖4.1-1建立系統(tǒng)數(shù)學模型的基本步驟第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例4.1-1

試由圖4.1-2所示水位控制系統(tǒng)原理圖畫出其功能方框圖，并確定其控制方式。圖4.1-2水位控制系統(tǒng)原理圖解：由圖4.1-2可知水箱為被控對象；水位實際高度Hy為被控量；用水Q2、進水壓力、環(huán)境溫度等為擾動量；浮子為測量裝置；電位計為比較計算裝置；電動機、變速齒輪、控制閥為執(zhí)行裝置；由于電位計與電路底板的接點位置與水位的期望高度H

f

相對應，故為被控量。此系統(tǒng)的功能方框圖如圖4.1-3所示。第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三圖4.1-3水位控制系統(tǒng)的功能方框圖由圖4.1-3可知，此系統(tǒng)屬于“按偏差調(diào)節(jié)”的閉環(huán)負反饋控制系統(tǒng)。實際控制過程如下：當用水Q2使水箱的實際水位高度Hy與期望水位高度H

f出現(xiàn)偏差（由電位計與電路底板的接點位置設定），被浮子測量后，通過杠桿帶動比較電位計的滑動觸點，直接改變電動機電樞電壓的極性和大小，經(jīng)過變速齒輪改變進水控制閥的開啟或關(guān)閉程度，調(diào)節(jié)進水量Q1的大小，使水箱的實際水位高度H

y

與期望水位高度H

f的偏差減小直至消除，Hy

=H

f時，使電位計的滑動觸點與電路底板的零電位相等，電動機因電樞電壓為0而停轉(zhuǎn)，系統(tǒng)處于一種新的平衡狀態(tài)。第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三由系統(tǒng)原理圖畫功能方框圖的步驟根據(jù)例4.1-1的求解過程，可歸納“

由系統(tǒng)原理圖畫功能方框圖”的步驟如下：·首先由系統(tǒng)原理圖確定被控對象，這是由系統(tǒng)原理圖畫功能方框圖的主要矛盾，是關(guān)鍵；·其次由被控對象找到被控量、擾動量、控制裝置與給定量；·最后對照三種基本控制方式的功能方框圖模式，即可完成系統(tǒng)功能方框圖的繪制。第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.2建立系統(tǒng)微分方程的一般方法由系統(tǒng)的功能方框圖及各功能方框的輸入輸出動態(tài)關(guān)系，可以從入到出建立系統(tǒng)的微分方程組，消去中間變量后，就可得到系統(tǒng)的微分方程。這是一個最基本的方法，也是最笨的方法。對于線性系統(tǒng)，還可以利用Laplase變換，把系統(tǒng)的功能方框圖變?yōu)閯討B(tài)結(jié)構(gòu)圖，通過等效化簡，消去中間變量，直接求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）；或者把系統(tǒng)的功能方框圖變?yōu)樾盘柫鲌D，通過Mason公式直接求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）。此外，還可用試驗測定的方法建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.2.1基本方法1）一般非線性數(shù)學模型的線性化

一般而言，實際控制系統(tǒng)的元件都含有不同程度的非線性特性，如果采用非線性微分方程描述系統(tǒng)，就會導致求解過程的許多困難。因此，只要不是典型的非線性問題，只要分析方法不使系統(tǒng)產(chǎn)生太大的誤差，則允許在一定條件下將一般非線形模型近似為線性模型。小偏差法（小增量法）是常用的近似方法。小偏差法的前提條件是：系統(tǒng)僅在平衡工作點附近的小范圍工作；小偏差法的實質(zhì)是在平衡工作點附近足夠小的范圍內(nèi)，用平衡點的切線來取代原來連續(xù)變化函數(shù)的非線性特性。小偏差法的示意圖如圖4.2-1所示。圖4.2-1小偏差法的示意圖第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（1）單變量非線性函數(shù)的線性化：若對連續(xù)的非線性函數(shù)y

=

f（x），在工作點A（x0,y0）附近展成Talor級數(shù)（4.2-1）考慮y0

=

f（x0），有（4.2-2）令，當增量很小時，可以忽略的高次冪項，有如下近似（4.2-3）（2）雙變量非線性函數(shù)的線性化：若是有兩個或兩個以上變量的非線性系統(tǒng)，可以采用與上述單變量線性化基本相同的方法。設非線性函數(shù)y=f（x1

，x2），同樣可在某工作點（x10，x20），用Talor級數(shù)展開，以同樣的方法可求得

Δy≈k1Δx1+k2Δx2

（4.2-4）第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（3）注意事項：在上述小偏差線性化過程中，要注意以下幾點①線性化參數(shù)ki的計算只適于小偏差情況；②入、出變量與系統(tǒng)的實際變化不能太大；③非線性特性必須連續(xù)可微；④典型非線性化問題需用第9章專門方法。（4）應用舉例：例4.2-1設三相橋式可控晶閘管整流電路的輸入為控制角，輸出為整流電壓Ud

，二者的非線性關(guān)系為，式中U2為交流電源的相電壓有效值，U0

為＝０時的整流電壓。試對此表達式，在參考工作點（0

，Ud0

）附近，進行局部線性化處理。第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三解：由單變量非線性函數(shù)的線性化方法有

ΔUd

=Ud-Ud0≈ksΔ=ks(-0)

式中有ΔUd

≈Δ

=ksΔ若按約定省略增量符號Δ，可得Ud

=

ks

，即：線性化處理后，Ud將隨控制角

的ks倍線性變化。

2）Laplace變換與傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）

（1）Laplace變換（詳細介紹見中篇第7章）：①定義：對于一個t

≥

0時有定義的連續(xù)時間函數(shù)f(t)，若積分在復變量s的某區(qū)域內(nèi)收斂，則f(t)的單邊拉氏正變換為（4.2-5）其中f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)，復變量。第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三①用拉氏變換求解微分方程的步驟·先將系統(tǒng)的微分方程進行拉氏變換，得到以s為變量的代數(shù)方程，計算中的初始值應取系統(tǒng)在t=0-時的對應值；·再求解代數(shù)方程，得到系統(tǒng)輸出量的象函數(shù)表達式；·最后將輸出量的象函數(shù)表達式展成部分分式，用部分分式法求拉氏反變換（見第7章），即得系統(tǒng)微分方程的時域解。②應用舉例例4.2-3RC網(wǎng)絡如圖4.2-3所示，若開關(guān)閉合前，電容的初始電壓為UC(0-)，開關(guān)s在0時刻瞬間閉合后，試求電容C兩端的電壓uC(t)

。圖4.2-3一階RC網(wǎng)絡第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三解：開關(guān)S在0時刻閉合瞬間，網(wǎng)絡微分方程為（4.2-10）對式（4.2-10）兩邊取拉氏變換，得（4.2-11）整理（4.2-11）式，可得輸出量的象函數(shù)表達式（4.2-12）對（4.2-12）式兩邊求拉氏反變換，得（4.2-13）

（3）傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）一定條件下，拉氏變換可以把系統(tǒng)微分方程變?yōu)閺妥兞縮的代數(shù)方程，使計算與分析過程簡化，并把系統(tǒng)的時域數(shù)學模型變?yōu)橄到y(tǒng)的復頻域數(shù)學模型——傳遞函數(shù)(

系統(tǒng)函數(shù)

)——

經(jīng)典控制理論中十分重要的常用數(shù)學模型。第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三①傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）的定義所謂傳遞函數(shù)，即線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。傳遞函數(shù)也可定義為：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)單位沖激（脈沖）響應的拉氏變換。若一般線性定常系統(tǒng)的微分方程表達式為：

式中：y(t)為系統(tǒng)的輸出量，f(t)為系統(tǒng)的輸入量。在初始狀態(tài)為零時，對（4.2-14）式兩邊求拉氏變換得：即（4.2-16）式（4.2-16）中，Y(s)表示輸出量的拉氏變換，F(xiàn)(s)表示輸入量的拉氏變換，G(s)表示環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的傳遞系數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）；多數(shù)情況下，取a

0=1。第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三②關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明·由于拉氏變換是一種線性積分運算，而傳遞函數(shù)又是從拉氏變換得來的，因此傳遞函數(shù)的概念只能用于線性定常系統(tǒng)；·傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入信號以及初始狀態(tài)無關(guān)，但是，改變輸入、輸出信號的作用點，將會使同一系統(tǒng)得到不同分子的傳遞函數(shù)（分母不變）；·由于傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因此傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律，不能直接求系統(tǒng)的零輸入響應，但是可以通過拉氏反變換由傳遞函數(shù)得到系統(tǒng)微分方程，再對系統(tǒng)微分方程求非零初始條件下的拉氏變換，得到零輸入響應與零狀態(tài)響應之和的拉氏變換，最后經(jīng)拉氏反變換即可得到零輸入響應、零狀態(tài)響應與完全響應；由于系統(tǒng)的慣性及能源的限制，使傳遞函數(shù)分子多項式的階次m小于或等于分母多項式的階次n，即

n

≥

m

；·多輸入多輸出系統(tǒng)多變量之間的關(guān)系不可能只用一個傳遞函數(shù)來表征，必須用傳遞函數(shù)矩陣來表示（詳見下篇第10章）。第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三③傳遞函數(shù)的幾種表達形式·真有理分式表達式——式（4.2-16）在ai、b

j

均為實數(shù)，且n＞

m

時，即為傳遞函數(shù)的真有理分式表達式，其中

n為系統(tǒng)的階次，分母為系統(tǒng)的特征多項式，若n=

m則需用多項式除法把式（4.2-16）（假分式）化為真有理分式與商之和的形式，一般由多項式除法得到的商都與δ(t)信號有關(guān)；零、極點表達式——把式（4.2-16）的分子、分母多項式都分解為單因子因式的乘積，即得到傳遞函數(shù)的零、極點表達式（4.2-17）其中Kg=b0/a0

（a0=1）為系統(tǒng)的傳遞系數(shù)或根增益，

zj為系統(tǒng)的零點，p

i為系統(tǒng)的極點；第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三典型環(huán)節(jié)表達式——式（4.2-16）的分子、分母多項式都可化為典型環(huán)節(jié)的形式，從而得到典型環(huán)節(jié)表達式（4.2-18）式（4.2-18）的分子中：K為放大環(huán)節(jié)，為一階微分環(huán)節(jié)（可能有幾個），而二階微分環(huán)節(jié)則為（也可能有幾個）；式（4.2-18）的分母中：為積分環(huán)節(jié)（v為整數(shù)，表示積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，v<0時表示有純微分環(huán)節(jié)），為慣性環(huán)節(jié)（可能有幾個），為二階振蕩環(huán)節(jié)（也可能有幾個）；令、，可把式（4.2-18）變成式（4.2-17），有

第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三④常見元部件的傳遞函數(shù)

比例（放大）環(huán)節(jié)——方框圖如圖4.2-4所示，微分方程為（t≥0）式中：K為比例系數(shù)或增益，是一個常數(shù)。傳遞函數(shù)為

(4.2-19)圖4.2-4放大環(huán)節(jié)的方框圖第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三

慣性環(huán)節(jié)——方框圖如圖4.2-5所示，微分方程為（t≥0）式中T為時間常數(shù)。傳遞函數(shù)為(4.2-20)

積分環(huán)節(jié)——方框圖如圖4.2-6所示，微分方程為（t≥0）傳遞函數(shù)為(4.2-21)圖4.2-5慣性環(huán)節(jié)的方框圖圖4.2-6積分環(huán)節(jié)的方框圖第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例4.2-5試求圖4.2-7中，通過減速器與輸出軸相連的伺服電動機的輸出軸轉(zhuǎn)角φy與電動機電樞電壓Uf之間的傳遞函數(shù)。解：忽略電磁慣性和機械慣性的影響，設初始狀態(tài)為零，由圖4.2-7有電動機轉(zhuǎn)速,減速器輸出轉(zhuǎn)速可得（4.2-22）式（4.2-22）中：K1、K2為比例常數(shù)，又，代入式4.2-22可得：，初始狀態(tài)為零時，對此式兩邊求拉氏變換得式中：K=K1·K2，為比例常數(shù)。所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（4.2-23）圖4.2-7伺服電動機示意圖第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三微分環(huán)節(jié)——微分環(huán)節(jié)有理想微分、一階微分與二階微分三種。圖4.2-8理想微分環(huán)節(jié)的方框圖理想（純）微分環(huán)節(jié)——方框圖如圖4.2-8所示，微分方程為（t≥0）傳遞函數(shù)為（4.2-24）例4.2-6若測速發(fā)電機的輸出電壓為u(t),轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角為θ(t)，則測速發(fā)電機的微分方程為u(t)=Ktω(t)，其中ω(t)=為所測轉(zhuǎn)軸的角速度，試求其傳遞函數(shù)。圖4.2-8理想微分環(huán)節(jié)的方框圖第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三解：在零初始狀態(tài)下對已知測速發(fā)電機的微分方程兩邊求拉氏變換，可得U(s)=KtΩ(s)=KtsΘ(s)（4.2-25）有兩種傳遞函數(shù)為（4.2-26）與（4.2-27）測速發(fā)電機兩種傳遞函數(shù)的方框圖如圖4.2-9a.和b.所示。a.輸入為角速度

b.輸入為角位移圖4.2-9測速發(fā)電機兩種傳遞函數(shù)的方框圖第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三一階微分環(huán)節(jié)——方框圖如圖4.2-10所示。微分方程為（4.2-28）式中t≥0，τ為時間常數(shù)。傳遞函數(shù)為（4.2-29）二階微分環(huán)節(jié)——方框圖如圖4.2-11所示，微分方程為（4.2-30）傳遞函數(shù)為（4.2-31）

圖4.2-10一階微分環(huán)節(jié)的方框圖圖4.2-11二階微分環(huán)節(jié)的方框圖第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三振蕩環(huán)節(jié)——方框圖如圖4.2-12所示，微分方程為（4.2-32）式中：t≥0，T為時間常數(shù)，為阻尼比。傳遞函數(shù)為（4.2-33）或為（4.2-34）式中：

為振蕩環(huán)節(jié)的固有振蕩角頻率。振蕩環(huán)節(jié)的兩個極點為，當時，單位階躍響應為（t≥0）圖4.2-12二階振蕩環(huán)節(jié)的方框圖第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三延遲環(huán)節(jié)——方框圖如圖4.2-13所示，微分方程形為傳遞函數(shù)為

（4.2-35）3）建立系統(tǒng)微分方程的基本方法

（1）由微分方程組建立系統(tǒng)微分方程一般線性系統(tǒng)微分方程的建立，大致分為以下三步：①確定輸入、輸出與中間變量：根據(jù)實際工作情況，確定元件的輸入量（給定量和擾動量）、輸出量（被控量，也稱為系統(tǒng)響應）與中間變量（輸入、輸出變量以外的變量）；②由系統(tǒng)各部分的動態(tài)關(guān)系建立微分方程組；③消除中間變量，得到系統(tǒng)的微分方程。圖4.2-13二階微分環(huán)節(jié)的方框圖第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例4.2-9試求出圖4.2-16所示他勵直流電動機電樞電壓與電機轉(zhuǎn)速之間的微分方程。解：圖4.2-16中R

a為電樞電阻；La為電樞電感；Mm為電動機電磁轉(zhuǎn)矩；ML為電動機轉(zhuǎn)軸上的負載轉(zhuǎn)矩；Mo

為擾動輸入的負載轉(zhuǎn)矩；f1為電動機轉(zhuǎn)軸上的粘性摩擦系數(shù)；f2為電動機負載轉(zhuǎn)軸上的粘性摩擦系數(shù)；J1為電動機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量；J2為負載轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)動慣量；1/i=Z1/Z2

為變速比?！D4.2-16他勵直流電動機拖動原理圖第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（2）由功能方框圖建立系統(tǒng)微分方程由功能方框圖建立控制系統(tǒng)的微分方程，一般可分為以下三步：·首先由系統(tǒng)原理圖畫出系統(tǒng)的功能方框圖，明確輸入、輸出變量與中間變量；·再分別列寫系統(tǒng)各功能方框的微分方程；·最后消去中間變量，得到總輸出量與輸入量之間的系統(tǒng)微分方程。在列寫系統(tǒng)各功能方框的微分方程時，要注意信號傳送的單向性——前一個方框的輸出是后一個方框的輸入；要按信號傳送順序從左到右列寫，且左出=右入、“上式出”為“下式入”。第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例4.2-10圖4.2-17為閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)原理圖，試寫出該控制系統(tǒng)的微分方程。解：首先由原理圖畫系統(tǒng)功能方框圖如圖4.2-18所示（未考慮負載擾動），并確定輸入為給定電壓Ug、輸出為電動機轉(zhuǎn)速n

，中間變量為Uf、Ud與Uk

。圖4.2-17閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)原理圖第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三再分別列寫系統(tǒng)各功能方框的微分方程。由圖4.2-18有：·比較放大：由I1+I2-I3=0有

R

01=R

02時得（4.2-41）其中K1=R12/R01為放大器的反饋放大系數(shù)；·可控整流放大：Ud=KsUk

（4.2-42）其中Ks為可控整流放大的電壓放大系數(shù)?！ぶ绷麟妱訖C：在不計電樞電阻、電感與負載擾動時，根據(jù)例4.2-9求出的直流電動機微分方程式（4.2-39）可得：（4.2-43）圖4.2-18閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)的功能方框圖第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三反饋環(huán)節(jié)（測速發(fā)電機）：由測速發(fā)電機輸出電壓U

f與轉(zhuǎn)速n

成正比(見例4.2-6)，有（Ks

f為比例系數(shù)）（4.2-44）最后消去中間變量Uf、Ud

與Uk，可得到系統(tǒng)的微分方程：

（4.2-46）當系統(tǒng)穩(wěn)定時，閉環(huán)系統(tǒng)的靜態(tài)方程式為（4.2-47）第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.2.2

方框圖的等效變換1）控制系統(tǒng)的方框圖表示

（1）組成方框圖的基本單元一般的，控制系統(tǒng)的方框圖由信號線、比較點（綜合點）、引出點（測量點）、方框（環(huán)節(jié)）四種基本單元組成，如圖4.2-19所示。圖4.2-19組成方框圖的基本單元第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三·信號線：帶箭頭的直線，線旁標記為傳遞的信號，箭頭為傳遞方向，如圖4.2-19a.所示；

·比較點（綜合點、和點）：對兩個以上信號進行加減運算，“+”號表示相加，“-”號表示相減，如圖4.2-19b.所示；

·引出點（測量點、分點）：表示信號引出或測量的位置，從同一個引出點引出的信號完全相同，如圖4.2-19c.所示；

·方框（環(huán)節(jié)、子系統(tǒng)）：方框表示信號的入、出動態(tài)關(guān)系（元部件、子系統(tǒng)或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)），方框的輸出信號為輸入信號與傳遞函數(shù)的乘積，如圖4.2-19d.所示。（2）控制系統(tǒng)方框圖的繪制在建立控制系統(tǒng)的功能方框圖的基礎(chǔ)上，對每個功能方框的入、出動態(tài)關(guān)系式明確后，即可通過拉氏變換得到每個功能方框的傳遞函數(shù)，用每個功能方框的傳遞函數(shù)取代原功能方框，功能方框圖就變成了控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖（方框圖）。第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三例4.2-11試由圖4.2-17閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)的原理圖，畫出系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。解：·首先由原理圖畫系統(tǒng)功能方框圖如圖4.2-18，利用例4.2-10的有關(guān)結(jié)果，即比較放大：；可控整流放大：Ud/

Uk=Ks；直流電動機：；反饋環(huán)節(jié)（測速發(fā)電機）：·再分別求拉氏變換（零初始條件下），得到每個功能方框的傳遞函數(shù)比較放大：；可控整流放大：；直流電動機：；

反饋環(huán)節(jié)（測速發(fā)電機）：最后用每個方框的傳遞函數(shù)取代原功能方框，即得系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖4.2-20所示。第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三由系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，易得閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

Ф(s)=令Kg

=KsK1、Kk

=KsfKsK1

/Ce

得Ф(s)=，其中。等效變換應遵循的原則是：變換前后信號傳遞的數(shù)學關(guān)系不能改變。圖4.2-20閉環(huán)直流調(diào)速控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（3）方框圖等效變換的三條基本法則①串聯(lián)相乘：圖4.2-21表示由n個子系統(tǒng)串聯(lián)組成的復合系統(tǒng)。

（4.2-48）②并聯(lián)相加：圖4.2-22表示由n個子系統(tǒng)并聯(lián)組成的復合系統(tǒng)。復合系統(tǒng)的輸入即各子系統(tǒng)的輸入，而復合系統(tǒng)的輸出則為各子系統(tǒng)輸出的代數(shù)和，即

(4.2-49)

圖4.2-21n個子系統(tǒng)的串聯(lián)第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三③回路吸收：反饋回路一般如圖4.2-23a.所示。由4.2-23a.有對以上(1)、(2)、(3)式消去中間變量E

(s)、

B

(s)可得閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(4.2-50)即：反饋回路的方框圖可吸收為圖4.2-23b.的形式（負號對應正反饋，正號對應負反饋）。

圖4.2-22n個子系統(tǒng)并聯(lián)

圖4.2-23一般反饋回路第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（4）分、和點的等效移動①和點的前移：和點從某個方框的輸出端移到輸入端即和點的前移，如圖4.2-24所示。②和點的后移：和點的后移與前移是可逆的，類似從圖4.2-24b.變換成圖4.2-24

a.，此處不再重復。③和點之間的移動：圖4.2-25給出了兩個相鄰和點相互交換移動的等效變換。

a.原方框圖b.

和點的前移圖4.2-24和點的前移第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三④分點的前移：分點從某個方框的輸出端移到輸入端即分點的前移，如圖4.2-26所示。⑤分點的后移：分點的后移與分點的前移是可逆的，即由圖4.2-26b.變換成

a.，此處不再重復。

a.原方框圖b.

兩個相鄰和點交換移動c.

兩個相鄰和點合并圖4.2-25和點之間的移動a.原方框圖b.

分點的前移圖4.2-26分點的前移第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三⑥分、和點的易位：由于分、和點易位會增加系統(tǒng)的分、和點數(shù)目，使問題更加復雜，除非必需，一般不采用這種變換。圖4.2-27給出了分、和點易位的等效變換，以備必需。（5）應用舉例例4.2-12應用方框圖等效變換方法求取圖4.2-28的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。a.原方框圖b.

分、和點易位圖4.2-27分、和點的易位圖4.2-28例4.2-12的系統(tǒng)方框圖第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三解：由題，按照先串、并，后吸收，依次由內(nèi)向外的變換過程如圖4.2-29所示圖4.2-29例4.2-12的等效變換過程第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三

4.2.3

信號流圖與Mason公式1）

信號流圖系統(tǒng)的信號流圖由節(jié)點和有向線段組成，是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的一種簡化表示形式，具有與結(jié)構(gòu)圖相同的等效化簡法則。在信號流圖中，用節(jié)點來表示信號（通常用小圓圈表示），用有向線段來表示信號的傳輸方向和傳輸關(guān)系。由于節(jié)點變量的設置是任意的，因此一個系統(tǒng)的信號流圖并不是唯一的，可以有多種畫法。

（1）信號流圖的表示與傳輸規(guī)則：信號流圖的表示與傳輸規(guī)則如圖4.2-32所示。第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三圖4.2-32信號流圖的表示與傳輸規(guī)則第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（2）信號流圖的常用術(shù)語·源節(jié)點（源點）：只有輸出支路的輸入節(jié)點，表示整個系統(tǒng)的輸入變量（圖4.2-33的x1）。·匯節(jié)點（匯點）：只有輸入支路的輸出節(jié)點，表示整個系統(tǒng)的輸出變量（圖4.2-33的x6）?；旌瞎?jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點，表示系統(tǒng)內(nèi)部的中間變量。圖4.2-33中的x2、x3、x4、x

5都是混合節(jié)點，混合節(jié)點具有“先入后出”或“先和后分”的特點?！で跋蛲ǖ溃ㄇ跋蛲罚盒盘枏妮斎牍?jié)點到輸出節(jié)點的所有傳遞通路，每個節(jié)點在一條通道中最多只能被通過一次。在圖4.2-33中，從源點x1

到匯點x

2

共有兩條前向通道，分別為x

1→x

2→x

3

→x

4

→x

5

→x

6

和x

1→x

2→x

5

→x

6

?！きh(huán)路（回路）：如果通道的起點和終點為同一個點，并且與途經(jīng)的其余節(jié)點只相遇一次，則稱該通路為環(huán)路或回路?；ゲ唤佑|環(huán)路：無公共節(jié)點或支路的環(huán)路。前向通道增益（通道增益）：前向通道途經(jīng)各支路傳輸增益(含符號)的乘積，常用p

k

表示。環(huán)路增益：環(huán)路途經(jīng)各支路傳輸增益（含符號）的乘積，通常用Li

表示。圖4.2-33系統(tǒng)的信號流圖表示第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2）由方框圖→信號流圖

（1）信號流圖與方框圖的對應關(guān)系信號流圖與方框圖的對應關(guān)系如圖4.2-34所示。（2）由方框圖→信號流圖利用信號流圖與方框圖的對應關(guān)系，可直接由系統(tǒng)的方框圖畫出系統(tǒng)的信號流圖。圖4.2-34信號流圖與方框圖的對應關(guān)系第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三3）Mason公式及其應用利用Mason公式，可以由信號流圖求出系統(tǒng)的傳輸函數(shù)Ф(s)。

（1）Mason公式：

Ф(s)=(4.2-52)式中，(4.2-53)

為系統(tǒng)信號流圖的特征式；表示信號流圖中所有回路的傳輸函數(shù)之和；表示信號流圖中所有兩個互不接觸回路的回路傳輸函數(shù)的乘積之和；表示所有三個互不接觸回路的回路傳輸函數(shù)的乘積之和；p

k表示第k條前向通道的傳輸函數(shù)，共m條（m≥1）；是中除去所有與第k條前向通道相接觸的回路所在的項以后的余式。第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三（2）Mason公式的應用例4.2-16試求出圖4.2-36所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(混合節(jié)點為“先和后分”)。解：由圖可知，此系統(tǒng)信號流圖共有兩條前向通道，即p1=abcde,p2=kde；共有六個回路，回路增益分別為L1=-af、L

2=-bg、L

3=-ch、L

4=-di、L

5=-ej、L

6=-khgf；共有七對兩不接觸回路，即L1

L3、L1

L4、L1

L5、L2

L4、L2L5、L3

L5、L5

L6；只有一組三不接觸回路，即L1

L3

L5；且所有回路均前向通道p1有接觸，使Δ1=1；圖4.2-36例4.2-16系統(tǒng)的信號流圖第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三但回路L2與前向通道p

2沒有接觸，使Δ2=1-L2=1+bg；可得

Δ=1-L1-L2-L3-L4-L5-L6+L1

L3+L1

L4+L1

L5+L2

L4+

+L2

L5+L3

L5+L5

L6-L1

L3

L5即Δ=1+af+bg+ch+ch+ej+khgf

+

afch+afdi+afej+

+bgdi+bgej+chej

+ejkhgf+afchej由Mason公式有Ф(s)=為所求。第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）4.3.1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在圖4.3-1中，如果斷開H(s)輸出端與和點的連接，則稱前向通路與反饋通路的傳遞函數(shù)的乘積G1(s)G2(s)H(s)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，即：開環(huán)傳遞函數(shù)=B(s)/E(s)。由圖4.3-1及回路吸收法則可知：當干擾N(s)不作用時，

Ф(s)=其中Ф(s)的分母為：（4.3-1）式（4.3-1）稱為系統(tǒng)的閉環(huán)特征式。

圖4.3-1典型閉環(huán)控制系統(tǒng)的方框圖

第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.3.2系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)1）輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)在圖4.3-1中，當干擾N(s)不作用時，圖4.3-1可化為圖4.3-2a.。由圖4.3-2a.可得：（4.3-2）

為輸入信號作用下系統(tǒng)輸出對輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)。a.輸入信號作用下的系統(tǒng)方框圖

b.

干擾信號作用下的系統(tǒng)方框圖圖4.3-2系統(tǒng)輸入信號作用點的改變第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2）干擾信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)在圖4.3-1中，當輸入F(s)不作用時，圖4.3-1可化為圖4.3-2b.。由圖4.3-2b.可得:

（4.3-3）為干擾信號作用下系統(tǒng)輸出對干擾的閉環(huán)傳遞函數(shù)。３）系統(tǒng)的總輸出利用線性系統(tǒng)的疊加原理，由式（4.3-2）和式（4.3-3）可得到系統(tǒng)總輸出為各外作用下輸出的總和，即

（4.3-4）第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.3.3系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)在對系統(tǒng)進行分析時，不僅要研究輸入和干擾信號對輸出信號的影響，還要研究控制過程中輸入和干擾信號對誤差的影響，研究誤差信號的變化規(guī)律。穩(wěn)態(tài)誤差的大小直接反映了系統(tǒng)的控制精度。在圖4.3-1中，誤差E(s)=R(s)-B(s)（4.3-5）1）輸入信號作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)在圖4.3-1中，當干擾N(s)不作用時，圖4.3-1可化為圖4.3-3a.。a.輸入信號作用下的系統(tǒng)方框圖

b.

干擾信號作用下的系統(tǒng)方框圖圖4.3-3系統(tǒng)輸出信號作用點的改變第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三由圖4.3-2a.可得：（4.3-6）

為輸入信號作用下系統(tǒng)誤差對輸入的傳遞函數(shù)。2）干擾信號作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)在圖4.3-1中，當輸入F(s)不作用時，圖4.3-1可化為圖4.3-3b.(由于圖4.3-1中的負反饋符號不宜越過和點，故保留在H(s)方框內(nèi))。由圖4.3-3b.可得ФEN(s)（4.3-7）

ФEN(s)為干擾信號作用下系統(tǒng)誤差對干擾的傳遞函數(shù)。3）系統(tǒng)的總誤差利用線性系統(tǒng)的疊加原理有系統(tǒng)的總誤差E(s)=ФEF(s)F(s)+ФEN(s)N(s)

（4.3-8）第五十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.4

系統(tǒng)數(shù)學模型的試驗測定

4.4.1

試驗測定數(shù)學模型的主要方法由于用試驗測定法建立的系統(tǒng)模型是通過對系統(tǒng)輸入、輸出試驗數(shù)據(jù)進行數(shù)學處理后得到的，所以試驗測定法一般只用于建立被測對象的輸入輸出模型，這種方法只對被測對象或系統(tǒng)的外部特性進行測試和描述，而不考慮其內(nèi)部的復雜結(jié)構(gòu)。為了獲得被測對象或系統(tǒng)的動態(tài)特性，必須對被研究的過程給以激勵，使之處于動態(tài)響應狀態(tài)。根據(jù)所加激勵信號和分析方法的不同，試驗測定法可以分為以下幾種：1）時域測定法時域測定法是在被測對象或系統(tǒng)的輸入端加入階躍擾動信號或者脈沖信號，在輸出端測量輸出隨時間變化的階躍響應曲線或者脈沖響應曲線，然后對輸出響應的曲線進行分析，從而使被研究對象或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)得到確定。這種方法采用的測試儀器簡單，測試工作量小，但測量精度不高。第五十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2）頻域測定法頻域測定法是在被測對象或系統(tǒng)的輸入端加入不同頻率的等幅正弦波，通過對輸入與輸出信號的幅值比和相位差的測量，得