線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性

線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性第一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三5.1Lyapunov意義下的運(yùn)動穩(wěn)定性

5.1.1系統(tǒng)的運(yùn)動與平衡系統(tǒng):,如果存在某個狀態(tài),滿足:則稱為系統(tǒng)的一個平衡點(diǎn)或平衡狀態(tài)。令則為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的集合。中的孤立點(diǎn)稱為系統(tǒng)的孤立平衡點(diǎn)。第二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三例5.1.1

考慮下述定常線性系統(tǒng)容易求得其平衡點(diǎn)集為顯然，即為三維空間中的超平面，是一個稠密集。第三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三5.1.2Lyapunov意義下的運(yùn)動穩(wěn)定性定義的任一初態(tài)

為Lyapunov意義下穩(wěn)定的，如果對給定的任一實(shí)數(shù)定義5.1.1

（Lyapunov意義下的穩(wěn)定性）

設(shè):為系統(tǒng)

的一個平衡狀態(tài)，稱都對應(yīng)地存在一個實(shí)數(shù)使得由滿足不等式

出發(fā)的受擾運(yùn)動都滿足不等式

第四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三第五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三的穩(wěn)定等價于一致穩(wěn)定，但對時變系統(tǒng)，出現(xiàn)的受擾運(yùn)動都是Lyapunov意義下為穩(wěn)定的。

的穩(wěn)定并不意味著其為一致穩(wěn)定，而且，從實(shí)際的角度而言，常要求一致穩(wěn)定，以便在任一初始時刻定義5.1.2

（Lyapunov意義下的一致穩(wěn)定性）在上述Lyapunov意義下的穩(wěn)定性定義中，如果的選取無關(guān)，則進(jìn)一步稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。對于定常系統(tǒng)，的選取只依賴于而與初始時刻

第六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三第七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三1、是Lyapunov意義下為穩(wěn)定的，即滿足上述關(guān)于穩(wěn)定的定義。定義5.1.3

（Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性）動力學(xué)系統(tǒng):的一個平衡狀態(tài)2、對

出發(fā)的受擾運(yùn)動都同時滿足不等式

稱為是漸近穩(wěn)定的，如果和任意給定的實(shí)數(shù)對應(yīng)地存在實(shí)數(shù)使得由滿足不等式的任一初態(tài)第八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三第九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三和定義5.1.4（Lyapunov意義下的一致漸近穩(wěn)定性）

如果在上述Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性定義中，實(shí)數(shù)依賴于初始時刻，那么稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。的大小都不第十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三第十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三的一個平衡狀態(tài)，如果以狀態(tài)空間中的任一有限點(diǎn)定義5.1.5

（Lyapunov意義下的大范圍漸近穩(wěn)定性）設(shè)都是有界的，且成立

則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)為初始狀態(tài)的受擾運(yùn)動是大范圍漸近穩(wěn)定的。第十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三定義5.1.6

（Lyapunov意義下的不穩(wěn)定定義）

設(shè)

的任一初態(tài)出發(fā)的運(yùn)動滿足不等式的一個平衡狀態(tài)，如果對于不管取多么大的有限實(shí)數(shù)為系統(tǒng)，都不可能找到相應(yīng)的實(shí)數(shù)

，使得由滿足不等式則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的。第十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三第十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三定義5.1.7

（指數(shù)穩(wěn)定的定義）設(shè)的一個平衡狀態(tài)，如果對于任意的有限實(shí)數(shù)使得由滿足不等式

的任一初態(tài)出發(fā)的運(yùn)動滿足不等式為系統(tǒng),都存在相應(yīng)的實(shí)數(shù)和

則稱平衡狀態(tài)為指數(shù)穩(wěn)定的。第十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三定義5.1.8

（全局指數(shù)穩(wěn)定的定義）

設(shè)的一個平衡狀態(tài)，如果對于任意的有限實(shí)數(shù)

的任一初態(tài)出發(fā)的運(yùn)動滿足不等式為系統(tǒng)，都存在相應(yīng)的實(shí)數(shù)和使得由滿足不等式

則稱平衡狀態(tài)為全局指數(shù)穩(wěn)定的。第十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三5.1.3關(guān)于穩(wěn)定性定義的幾點(diǎn)說明1.穩(wěn)定性的主體--平衡點(diǎn)

穩(wěn)定性是動力學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì),穩(wěn)定性是針對系統(tǒng)的平衡狀態(tài)而言的,只有對于具有惟一平衡點(diǎn)或者是其所有平衡狀態(tài)為同時穩(wěn)定或不穩(wěn)定的系統(tǒng)言及系統(tǒng)穩(wěn)定與否才有意義.2.穩(wěn)定性定義中的初始時刻--一致性問題

初始時刻的影響決定了穩(wěn)定性是否一致的問題.第十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三3.穩(wěn)定性定義中的吸收域

在漸近穩(wěn)定性的定義中表征了穩(wěn)定平衡狀態(tài)所允許的初值擾動范圍,稱為平衡狀態(tài)的吸收域。它決定了漸近穩(wěn)定性的全局性和局部性，即當(dāng)可取為整個維空間時，相應(yīng)的穩(wěn)定性便是全局穩(wěn)定的，否則為局部漸近穩(wěn)定的。第十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三4.幾種穩(wěn)定性之間的關(guān)系5.Lyapunov穩(wěn)定性與微分方程解關(guān)于初值的連續(xù)性依賴性在微分方程理論中,解的適定性,即解的存在性,惟一性及它對初值的連續(xù)依賴性,是一個非常重要的內(nèi)容.第十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三5.1.4Lyapunov第二方法的主要定理Lyapunov把動力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法歸納為本質(zhì)不同的兩種方法,分別稱為Lyapunov第一方法(間接法:通過對線性化方程的穩(wěn)定性分析給出原非線性系統(tǒng)在小范圍內(nèi)穩(wěn)定性的信息)和第二方法(直接法:通過構(gòu)造一類似于“能量”函數(shù),分析它及其一次導(dǎo)數(shù)的定號性而獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關(guān)信息)第二十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

中包含原點(diǎn)1.2.3.定義5.1.9

設(shè)為是定義在的一個封閉有限區(qū)域；上的一個標(biāo)量函數(shù)。如果

關(guān)于和有界正定，即存在兩個連續(xù)的和滿足

非減標(biāo)量函數(shù)并使得對任何和有:

第二十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三則稱上的一個（時變）正定函數(shù)。進(jìn)一步，如果具有無窮大性質(zhì)。

是定義在，則稱正定函數(shù)第二十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三1.2.3.對于任何上的一個時不變正定函數(shù)。

定義5.1.10

設(shè)為中包含為定義在上的一個標(biāo)量函數(shù)。如果原點(diǎn)的一個區(qū)域；對于向量的所有分量均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。有，則稱為定義在進(jìn)一步，如果，則稱正定函數(shù)具有無窮大性質(zhì)。

第二十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三定理5.1.1

如果存在包含原點(diǎn)的某鄰域有界正定函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)在上為有界半負(fù)定的（或負(fù)定的），則該系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的（或一致漸近穩(wěn)定的）。

和定義在上的一個

，它沿著系統(tǒng)第二十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三上的一個有界正定函數(shù)定理5.1.2

如果存在一個具有無窮大性質(zhì)的定義在，它沿著系統(tǒng)

的導(dǎo)數(shù)在上一致有界一致負(fù)定，則該系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)為全局一致漸近穩(wěn)定的。

第二十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三內(nèi)為半負(fù)定的（或負(fù)定的），則該系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)為局部穩(wěn)定（或漸近穩(wěn)定）的。定理5.1.3

如果在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在一個正定函數(shù)，它沿著系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)在第二十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三定理5.1.4

如果在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在一個正定函數(shù)，它沿著系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)在內(nèi)為半負(fù)定的，但在內(nèi)在系統(tǒng)的非零解上非零，則該系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)為漸近穩(wěn)定。第二十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三定理5.1.5

如果在上存在一個具有無窮大性質(zhì)的正定函數(shù)

，它沿著系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)在

內(nèi)為負(fù)定的，則該系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)為全局漸近穩(wěn)定的。

第二十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三定理5.1.6

如果在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)為正定，則該系統(tǒng)的零解為不穩(wěn)定的。內(nèi)存在一個正定函數(shù)，它沿著系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)在第二十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三5.2線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定5.2.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的特殊性命題5.2.1

如果線性系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)穩(wěn)定，則其一切其它非零平衡點(diǎn)亦穩(wěn)定。的零解為漸近穩(wěn)定的，則其必為全局漸近穩(wěn)定。

命題5.2.2

如果線性系統(tǒng)第三十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三命題5.2.3

線性系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性與全局指數(shù)穩(wěn)定性等價。第三十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三上有界，即存在正常數(shù)5.2.2直接判據(jù)定理5.2.1

設(shè)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則系統(tǒng)為：1.穩(wěn)定的充要條件是2.一致穩(wěn)定的充要條件是上一致有界，即存在與無關(guān)的正常數(shù)，使得為系統(tǒng)在，使得

在第三十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三3.漸近穩(wěn)定的充要條件是

4.一致漸近穩(wěn)定的充要條件是存在與無關(guān)的正常數(shù)，使得

例5.2.1考慮下述時變系統(tǒng)第三十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三從而由定理5.2.1顯見該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。下面將考察該系統(tǒng)的一致漸近穩(wěn)定性。據(jù)定理5.2.1，如果該系統(tǒng)為一致漸近穩(wěn)定，則存在正數(shù)容易求得其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為和滿足也即第三十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三其一致漸近穩(wěn)定性等價于指數(shù)穩(wěn)定性。

推論5.2.1

對于線性系統(tǒng)由于上式右端是一個正數(shù)，而左端收斂到因而為一個矛盾不等式。此即說明該系統(tǒng)為非一致漸近穩(wěn)定的。第三十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三一致漸近穩(wěn)定。

分段連續(xù)，則定理5.2.2

設(shè)穩(wěn)定。一致穩(wěn)定。2.1.3.漸近穩(wěn)定。4.第三十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三上的一個分段連續(xù)的實(shí)對稱矩陣函數(shù)，它稱為是一致有界和一致正定的，如果存在正實(shí)數(shù)5.2.3Lyapunov定理定義5.2.1

設(shè)為定義在，使成立

第三十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三收斂，且為下述矩陣微分方程

引理5.2.1

是系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定的，為其狀態(tài)

為一致有界，一致轉(zhuǎn)移矩陣。正定的矩陣，則積分

對于任何的唯一解。

第三十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三有唯一的實(shí)對稱、一致有界和一致正定的矩陣解的元均為分段連續(xù)，一致有界的實(shí)函數(shù)。則原點(diǎn)平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定的充要條件是對任意給定的一個實(shí)對稱、一致有界和一致正定的時變矩陣。定理5.2.3

考慮線性時變系統(tǒng)為其唯一的平衡狀態(tài)，Lyapunov矩陣微分方程：。

第三十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三推論5.2.2

設(shè)為上的一致有界分段連續(xù)矩陣，且

則系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定。

第四十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三5.3線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

5.3.1直接判據(jù)與Hurwitz定理定理5.3.1

對于系統(tǒng)有以下結(jié)論：1.該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有非正實(shí)部，且其具有零實(shí)部的特征值為其最小多項式的單根，也即在矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型中，與A的零實(shí)部特征值相關(guān)聯(lián)的Jordan塊均為一階的。2.該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。第四十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

，則1.矩陣A稱為Hurwitz穩(wěn)定的，如果矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。2.矩陣A稱為臨界Hurwitz穩(wěn)定的，如果矩陣A是非Hurwitz穩(wěn)定的，但它的所有特征值均具有非正實(shí)部，且其具有零實(shí)部的特征值為其最小多項式的單根。定義5.3.1

設(shè)第四十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三均大于0。這里，。Hurwitz定理

給定實(shí)系數(shù)多項式

其所有根均在復(fù)平面左半平面的充要條件是下述行列式

第四十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三因而該系統(tǒng)為非漸近穩(wěn)定的。由于矩陣本身為對角陣，即其Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為其自身，而特征值0例5.3.1考慮下述定常線性系統(tǒng)顯然其特征值為和所在的兩個Jordan塊均為一階的，故該系統(tǒng)穩(wěn)定。第四十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三5.3.2Lyapunov定理定理5.3.2

定常線性系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣方程

對任意給定的正定對稱矩陣都有唯一正定對稱解推論5.3.1

矩陣方程有唯一正定對稱解的充要條件，是矩陣的特征值都有負(fù)實(shí)部。

第四十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三階正定對稱矩陣推論5.3.2

任意給定以及正數(shù)，矩陣方程

有唯一正定對稱解的充要條件是矩陣的每個特征值滿足不等式

第四十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三漸近穩(wěn)定的充要條件是，對任意給定的，當(dāng)定理5.3.3

定常系統(tǒng)階非負(fù)定對稱矩陣能觀測時，矩陣方程

有唯一對稱正定解。

第四十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三事實(shí)5.3.1

存在具有正實(shí)部特征值的階實(shí)矩陣和具有互異特征值的階反對稱矩陣，使得對于任何均有

事實(shí)5.3.2

對于任何具有正實(shí)部特征值的階實(shí)矩陣和具有互異特征值的階反對稱矩陣，系統(tǒng)

均為不穩(wěn)定的。5.3.3關(guān)于”凍結(jié)法”的討論第四十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三5.4二階動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.4.1二階動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述二階動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性由其自由系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全決定。如果令系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第四十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三5.4.2預(yù)備引理則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

引理5.4.1

設(shè)均為階實(shí)方陣，且

1.

2.

3.

4.能觀

第五十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三5.4.3充分判據(jù)定理5.4.1

二階動力系統(tǒng):漸近穩(wěn)定的充分條件是:第五十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三表達(dá)，其參數(shù)矩陣為例5.4.1考慮兩個衛(wèi)星交會時的控制問題。設(shè)目