初中數(shù)學(xué) 軸對(duì)稱

第十三章軸對(duì)稱2021/5/91

如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。對(duì)稱軸2021/5/922021/5/93

下面的圖形都是軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)分別找出每個(gè)圖形的對(duì)稱軸。練一練2021/5/94

取一張紙，先對(duì)折，然后打開放在桌上，在紙的一側(cè)上滴一滴墨水，將紙迅速合上、壓平，再將紙打開，觀察所得到的圖案。位于折痕兩側(cè)的墨跡圖案彼此之間有什么關(guān)系？做一做2021/5/95觀察下圖中的每組圖案，你發(fā)現(xiàn)了什么？

如果兩個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，它們能完全重合，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸。想一想2021/5/96

欣賞下面這幅圖，你能找出兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形嗎？找一找2021/5/97

軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱是不是一回事?它們有區(qū)別嗎?議一議不同點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形對(duì)一個(gè)圖形而言。成軸對(duì)稱是對(duì)兩個(gè)圖形而言。聯(lián)系：軸對(duì)稱圖形成軸對(duì)稱2021/5/98

請(qǐng)觀察下面幾何圖形，哪些是軸對(duì)稱圖形？并找出它們的對(duì)稱軸。練一練等邊三角形一般三角形一般等腰三角形圓等腰梯形一般梯形平行四邊形2021/5/99找出下列圖形的對(duì)稱軸2021/5/910美國(guó)加拿大烏拉圭澳大利亞國(guó)旗是一個(gè)國(guó)家的象征，觀察下面的國(guó)旗哪些是軸對(duì)稱圖形？找出它們的對(duì)稱軸。瑞典英國(guó)以色列挪威試一試2021/5/911√√√√√√√√2021/5/912火眼金睛比一比2021/5/913找規(guī)律填空：2021/5/914猜字游戲：2021/5/915下列16個(gè)英文字母中，是軸對(duì)稱圖形的是

A

B

C

D

E

F

G

H

M

N

O

P

Q

R

S

T

ABCDEHMOT2021/5/916樸素的對(duì)稱觀念在我們的生活中廣泛存在：①文學(xué)中的對(duì)仗也是一種“對(duì)稱”。王維的詩(shī)句“明月松間照，清泉石上流”無非是把第一句中的“明月”變成了第二句中的“清泉”，“松間”變成了“石上”，“照”變成了“流”，詞意變了，但是詞性和句式結(jié)構(gòu)并沒有變.由于工整的文字對(duì)仗,使王維詩(shī)的自然意境之美得到很好地表現(xiàn).我國(guó)文學(xué)中的歌賦尤其是對(duì)聯(lián)，更把“對(duì)稱”的要求推進(jìn)到極高的境界.閱讀討論對(duì)稱與文化2021/5/917②我國(guó)人民喜聞樂見的京劇臉譜，多是對(duì)稱的圖形，民族建筑中整體或局部呈對(duì)稱的現(xiàn)象更是常見.③對(duì)稱概念在物理學(xué)等領(lǐng)域中也起著重要的作用.著名的物理學(xué)家楊振宇和李政道獲得的諾貝爾獎(jiǎng)研究成果——“宇稱不守恒”就和對(duì)稱密切相關(guān).楊振宇在《對(duì)稱和物理學(xué)》一文中寫道：“在理解物理世界的過程中,21世紀(jì)會(huì)目睹對(duì)稱概念的新方面嗎？我的回答是，十分可能”。2021/5/918

正如20世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家赫爾曼.外爾所說的，“對(duì)稱是一種思想，通過它，人們畢生追求，并創(chuàng)造次序、美麗和完善……”對(duì)稱的涵義已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)的范疇，它出現(xiàn)在自然、藝術(shù)、科學(xué)、建筑乃至詩(shī)歌中。對(duì)稱是一種美，生活有了“對(duì)稱”會(huì)更美。2021/5/919華巖教育課程輔導(dǎo)中心（濟(jì)源）常年招收初中各年級(jí)一對(duì)一、一對(duì)多、小班學(xué)生招生學(xué)科：英語、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、地理、生物學(xué)習(xí)環(huán)境：1、夏季空調(diào)、冬季市政供暖全天候開放2、免費(fèi)礦泉水全天候供應(yīng)您還可以免費(fèi)享受到我們以下周到的服務(wù)：1、免費(fèi)試聽三次（三次課以內(nèi)無論任何理由離開我處，均不需要交納任何費(fèi)用）2、免費(fèi)提供相關(guān)學(xué)習(xí)資料3、免費(fèi)咨詢學(xué)習(xí)、心理等各方面信息4、免費(fèi)不定期開設(shè)家長(zhǎng)課程，講授中學(xué)生心理和家庭教育相關(guān)知識(shí)上課地點(diǎn)：河南省濟(jì)源市世紀(jì)廣場(chǎng)南側(cè)華新東區(qū)（華新花園）詳情咨詢系人：梁老師2021/5/92013.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)2021/5/921思考MNABCA′C′B′如圖，△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線MN對(duì)稱，點(diǎn)A、B、C分別是點(diǎn)A',B',C'的對(duì)稱點(diǎn)，線段AA'、BB'、CC'與MN有什么關(guān)系？P點(diǎn)A，A′是對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)AA′交對(duì)稱軸MN于點(diǎn)P，將△ABC和△A′B′C′沿直線MN折疊后，點(diǎn)Ａ與Ａ′重合，于是有：2021/5/922ＡＰ＝ＰＡ′，∠ＭＰＡ＝∠ＭＰＡ′＝９0°對(duì)稱軸所在的直線經(jīng)過對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段。MNQpGABCA′C′B′P..

Q2021/5/923定義：

經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，就叫這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。圖中的兩個(gè)三角形關(guān)于直線MN對(duì)稱QpGMNABCA'C′B′幾何語言：∵M(jìn)N是AA′的垂直平分線∴AP=PA′,∠MPA=∠MPA′=90°2021/5/924軸對(duì)稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線。即對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分。類似地，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線。2021/5/925CA'ABB'C'll垂直平分

AA'

l垂直平分BB'

l垂直平分CC'

2021/5/926ABlP1P2P3P4如圖，木條l與AB釘在一起，l垂直平分AB，P1，P2,P3P4,…是l上的點(diǎn)，分別量出點(diǎn)P1

，P2,P3P4

，…到A與B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？發(fā)現(xiàn)：AP1=BP1;AP2=BP2;AP3=BP3;AP4=BP4.2021/5/927動(dòng)動(dòng)手，你也會(huì)有發(fā)現(xiàn)！

畫線段AB的垂直平分線l，在l上取任意點(diǎn)P，量一量點(diǎn)P到A與B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？再取幾個(gè)點(diǎn)試試。你能說明理由嗎？結(jié)論：

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．2021/5/928ABCPl

直線l⊥AB，垂足是C，AC=CB,點(diǎn)P在l上，求證PA=PB.證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°又∵AC=CB，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)∴PA=PB2021/5/929線段平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。線段垂直平分線的性質(zhì)：ＰＡlＣＢ應(yīng)用幾何語言：∵l⊥ＡＢ∴ＰＡ＝ＰＢ2021/5/930反過來,如果AP=BP，那么P點(diǎn)是否在線段AB的垂直平分線上呢？若AP=BP

，則P在線段AB的垂直平分線上。結(jié)論：

與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。記住了！

線段的垂直平分線可以看成是與線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.

2021/5/931與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的判定：ＰＡlＣＢ應(yīng)用幾何語言：∵PA＝PB∴l(xiāng)是AB的垂直平分線2021/5/932理解了嗎？1、∵

，∴AB＝AC。理由：

2、∵

，∴A在線段BC的中垂線上理由：AD是BC的中垂線AB＝AC線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。BCAD3、如圖，NM是線段AB的中垂線,下列說法正確的有：。①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分線ABMND①②③2021/5/933

3、下列說法：①若直線PE是線段AB的垂直平分線，則EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA=PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；④若EA=EB，則過點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè)B．2個(gè) C．3個(gè)D．4個(gè)C2021/5/934會(huì)用嗎？4如圖，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，求△BCD的周長(zhǎng)。DCBEA解：∵ED是線段AB的垂直平分線∴∵C△BCD=BD+DC+BC∴C△BCD===BD=ADAD+DC+BCAC+BC12+7=192021/5/9351.垂直平分線的定義：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線∴

，

；2.垂直平分線的性質(zhì)：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線∴

（）3.垂直平分線的判定：∵PA＝PB∴

（）小結(jié)MN⊥ABPABMNDAD＝BDPA＝PB線段垂直平分線上點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等P在AB的垂直平分線上與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上2021/5/936例1：如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？例題精講AB分析：我們只要連接點(diǎn)A和點(diǎn)B，畫出線段AB的垂直平分線，就可以得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)稱軸.而由兩點(diǎn)確定一條直線和線段垂直平分線的性質(zhì)，只要作出到點(diǎn)A、B距離相等的兩點(diǎn)即可.作法：1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于1/2AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于C、D兩點(diǎn)；2.作直線CD.CD∴直線CD即為所求2021/5/937例2：如圖是一顆五角星，你能作出它的所有對(duì)稱軸嗎？例題精講作法：1.找出它的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)（例如A和A’）；2.作線段AA’的垂直平分線l.AA’l用類似的的方法，就可以作出其他四條對(duì)稱軸.你也試一試！2021/5/938練習(xí)1：作出下列圖形的一條對(duì)稱軸，和同學(xué)比較一下，你們作出的對(duì)稱軸