2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材新高考第2章第1節(jié)函數(shù)的概念及其表示

第二章函數(shù)

新高考卷兩年考情圖解高考命題規(guī)律把握

1.考查形式

本章在高考中一般考查2道小題，一般占10分.

2.考查內(nèi)容

(1)函數(shù)的表示主要考察新定義問(wèn)題、分段函數(shù)的

考點(diǎn)

求值等問(wèn)題.

函數(shù)的應(yīng)用16

函數(shù)的圖象(2)函數(shù)的性質(zhì)主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)

指數(shù)、對(duì)數(shù)、基函數(shù)H7H7

分段函數(shù)用以及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性的綜合問(wèn)題.

函數(shù)性質(zhì)的綜合18H8

函數(shù)的奇偶性113H8(3)函數(shù)的圖象主要考察圖象的識(shí)別問(wèn)題.

20202021年份

(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)、幕函數(shù)常常考察代數(shù)值的大小比

較、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用等問(wèn)題.

(5)函數(shù)的應(yīng)用主要考察函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)的

建模問(wèn)題等.

函數(shù)的概念及其表示

［考試要求］

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.

2.在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解

析法)表示函數(shù).

3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

［走進(jìn)教材-夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

€＞梳理?必備知識(shí)

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,8是非空的實(shí)數(shù)集,如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按

照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,在集合8中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)

/：A—3為從集合A到集合8的一個(gè)函數(shù)，記作y=/(x),xGA.

2.函數(shù)的定義域、值域

(1)在函數(shù)y=/U),XWA中，X叫做自變量，X的取值范圍A叫做函數(shù)的定義

域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/U)kdA｝叫做函數(shù)的值

域.

(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)為

同一個(gè)函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)天系,

這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).

提醒：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定

義域的并集，值域是各段值域的并集.

［常用結(jié)論］

1.與x軸垂直的直線(xiàn)和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).

2.常見(jiàn)函數(shù)定義域的求法

類(lèi)型X滿(mǎn)足的條件

2洞5。*)

2〃+加^(〃￡柏人處有意義

點(diǎn)與阿］。

lOgq/(X)(6!>0且aW1)

屋，)(a>0且aWl)/U)有意義

tan[/U)]式疝好+E,kGZ

四則運(yùn)算組成的函數(shù)各個(gè)函數(shù)定義域的交集

實(shí)際問(wèn)題使實(shí)際問(wèn)題有意義

?激活?基本技能

一'易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)函數(shù)y=l與y=x°是同一個(gè)函數(shù).)

(2)對(duì)于函數(shù)/：A^B,其值域是集合8.()

(3/x)=、x—3+、2—x是一個(gè)函數(shù).()

(4)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)X

二'教材習(xí)題衍生

[3x2+2x,x20,

1.設(shè)函數(shù)則歡—D)=()

A.16B.4

C.5D.-4

A[A/(-l))=/(2)=16.]

2.函數(shù)?r)=|x-l|的圖象是()

3.(多選)下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是()

A.y(x)=x2—2x—1與g(s)=s2_2s-]

B.犬x)="二宗與g(x)=W^

c./U)=:與g(x)=￡

D.人幻=彳與8(尤)=正

ACAC="\/_4與g(x)=x\]一x的值域不同;J(x)=x與g(x)=d?=|x|的對(duì)

應(yīng)關(guān)系不同，故BD錯(cuò)誤，AC正確.］

4.已知函數(shù)_/U)=x+:，則/(x)的定義域?yàn)?若/(。)=2，則。的值

為.

(—8,0)U(0,+°°)1［要使函數(shù)/(x)有意義，必須使xWO,

故式x)的定義域是(一8,0)U(0,+8).

由y(a)=2得a+[=2,解得a=L]

[細(xì)研考點(diǎn)?突破題型].直擊高考

□考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域《題組通關(guān)

3Y

1.函數(shù)式x)=jM+ln(2x—W)的定義域?yàn)?)

A.(2,+8)B.(1,2)

C.(0,2)D.[1,2]

x—1>0,

B[要使函數(shù)有意義，則彳9

、2工一廠(chǎng)>0,

解得l<x<2.

3x

所以函數(shù)y(x)=j^=^+ln(2x-/)的定義域?yàn)?1,2).]

2.(2021?湖北荊州中學(xué)模擬)定義域是一個(gè)函數(shù)的三要素之一，已知函數(shù)

Jzzx(x)定義域?yàn)閇211,985],則函數(shù)shuangyiliu(x)=Jzzx(2018x)+Jzzx(2021x)的定

義域?yàn)?)

[211985-F211985

A._2018'2021.B._2021*2018

_211985]F211985

D.

C.2018'20182021'2021

A[由抽象函數(shù)的定義域可知，

211^2018x^985,985

2UW2021XW985,解得謝'

■211985

所以所求函數(shù)的定義域?yàn)槿吻埃?而J故選A.]

3.己知函數(shù)/(x—l)的定義域?yàn)閇0,2022],則函數(shù)g(x)=與斗的定義域?yàn)?/p>

[-2,1)U(1,2020][由函數(shù)/。-1)的定義域?yàn)閇0,2022],得函數(shù)y=f(x)

的定義域?yàn)閇-1,2021].

—1Wx+1W2021,

令1-

得一2Wx<2020且x#l.

所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)長(zhǎng)2,l)U(l,2020].]

4.若函數(shù)y(x)=N"優(yōu)2+陽(yáng)+1的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù),則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

是.

[0,4][由題意可得如2+蛆+12。對(duì)xCR恒成立.

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，1N0恒成立；

[m>0,

當(dāng)機(jī)#0時(shí)，則4.一解得0<相<4.

A=m—4/nW0,

綜上可得0WmW4.]

畬反思領(lǐng)悟求函數(shù)的定義域的策略

(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問(wèn)題，可借助于數(shù)軸，注

意端點(diǎn)值的取舍.

(2)求抽象函數(shù)的定義域：①若y=/(x)的定義域?yàn)樗c，則解不等式a<g(x)<b

即可求出y=/(g(x))的定義域；②若y=/(g(x))的定義域?yàn)?“，6),則求出g(x)在(a,

份上的值域即得.*x)的定義域.

考點(diǎn)二求函數(shù)的解析式《師生共研

[典例1](1)已知/停+l)=lgx,求於)的解析式.

(2)已知yu)是二次函數(shù)，且負(fù)0)=0,yu+i)=/u)+x+i,求人x)的解析式.

(3)已知函數(shù)7U)滿(mǎn)足—x)+4U)=2*,求/(x)的解析式.

22一

[解](1)(換元法)令；+1=入得了==7.題

4I1多

解

2

代人得/(f)=lgy二7

又x>0,所以/>1.

2

故兀r)的解析式是/(x)=lg1J,%￡(1,+°°).

(2)(待定系數(shù)法)設(shè)/㈤=加+云+以。^。)，

由/(0)=0知c=0,所以/0)=加+區(qū).

又由/(x+l)=/(x)+x+l,

得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,

即ax1+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+l)x+1,

2a+b=b+1,i

所以J,解得〃=〃=不

a+h=l,2

所以/(x)=；x2+；x,尤￡R.

(3)(解方程組法)由，(一幻+4(?=2"①

得/。)+4(一工)=2飛②

23+1—2r

①義2—②，得即/(x)=-3---'

2"］—2一%

故兀0的解析式是/。)=-3——'九WR.

畬反思領(lǐng)悟求函數(shù)解析式的常用方法

已知復(fù)合函數(shù)/Ig(x)］的解析式，可用！

[a^-換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍j

畝百石菜居于7(：)5工…曲;匚可樹(shù)

I配湊法I—F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后:

以彳替代g(*),便得/(x)的解析式i

已知關(guān)于/(*)與4+)或八-X)的表達(dá):

式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)!

等式，通過(guò)解方程組求出/(*)

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)已知式5+1)=》一25，則穴幻=.

(2)已知/(x)滿(mǎn)足/(X)-4(：)=2x,則/)=.

⑶已知犬x)是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足3?*x+1)—紈x—l)=2x+17,則人工)=

2.4

(l)f—4x+3(x?1)(2)一不一支(3)2r+7

［⑴法一：(換元法)令『=亞+1,則721,x=(t—I)2,

代入原式有〃)=?—1)2—2?—1)=戶(hù)一書(shū)+3,

所以_/(x)=/—4x+3(x21).

法二：(配湊法求正+1)=%+25+1—45一4+3

=(5+1)2—4(5+1)+3,

因?yàn)槌?121,所以/(x)=x2—4x+3(x21).

(2)因?yàn)?r)—4R)=2x,①

以:代替①中的x,得了自一次行=3②

A\A/A

4

0+(2)X2得-3*無(wú))=2x+—,

x

9r4

所以犬、)=一了一五?

(3)(待定系數(shù)法)設(shè)/U)=QX+/〃W0),

則3人工+1)—"(x—1)=奴+5。+匕，

所以以+5〃+0=2x+17對(duì)任意實(shí)數(shù)九都成立,

。=2,。=2,

所以k+Q17,解味=7.所以?=2H7.]

□考點(diǎn)三分段函數(shù)《多維探究

考向1求分段函數(shù)的函數(shù)值

g+ln2,xW0,

[典例2—1](2021.山東棗莊二模)已知函數(shù)/(x)={:'則

/(X—3),x>0,

戶(hù)021)=()

2

二

A.eB.2e

C.\D.2e2

e

A[當(dāng)x>0時(shí)，因?yàn)榇蝬)=/(x—3),

所以,於0=於:+3),所以./(X)是周期為3的函數(shù)，

所以人2021)=*3X673+2)=/2).

e,n22

又因?yàn)?*2)=/(_l)=e-i+m2=7-=3，

2

所以021)=不故選A.]

考向2求參數(shù)或自變量的值

[典例2—2]函數(shù)A。’若實(shí)數(shù)。滿(mǎn)足火。)=大。-1)，

則/。=()

A.2B.4

C.6D.8

D[由分段函數(shù)的結(jié)構(gòu)知，次?的定義域是(一1,+8),所以“>().

①當(dāng)0<a<l時(shí)，-1<0一1<0,則九0=/3—1)可化為2a=g,解得a=；,

??-/(0=火4)=8;

②當(dāng)時(shí)，a—lNO,則八。)=/3—1)可化為2a=2(a—l),方程無(wú)解.故

選D.]

考向3解與分段函數(shù)有關(guān)的不等式

log”:，龍21,

[典例2—3]已知函數(shù)1,則不等式的解集為

~,X<1

1—%

()

A.(一8,2]B.(-8,0]U(l,2]

C.[0,2]D.(-8,0]U[l,2]

D「.?當(dāng)時(shí)，log^Wl,

當(dāng)XVI時(shí)，—^-^1,解得x〈0,

1—X

的解集為(一8,0]U[l,2].]

畬反思領(lǐng)悟分段函數(shù)的幾類(lèi)題型及解決方法

(1)若分段函數(shù)中含有參數(shù)，則直接根據(jù)條件選擇相應(yīng)區(qū)間上的解析式代入

求參.

(2)若是求自變量的值，則需要結(jié)合分段區(qū)間的范圍對(duì)自變量進(jìn)行分類(lèi)討論,

再求值.

(3)涉及與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題，主要表現(xiàn)為解不等式，當(dāng)自變量取

值不確定時(shí)，往往要分類(lèi)討論求解；當(dāng)自變量取值確定，但分段函數(shù)中含有參數(shù)

時(shí)，只需依據(jù)自變量的情況，直接代入相應(yīng)解析式求解.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

COSTlX,啟1,⑷(4、

2.（1）已知兀0=，R,力則八#/(一加值為(

次X—1)+1,X>1,WV3)

A-2B.—2

C.-iD.1

⑵已知函數(shù)於）=［2刀；］%,>0后。.若加）十汜尸0,則實(shí)數(shù)a的值等于（

)

A.-3B.-1

C.1D.3

2x+1,xW1,

（3）已知函數(shù)y（x）=《則滿(mǎn)足y（x）+/（x+i）>i的x的取值范圍

Inx+1,x>l,

是（）

cos1+1=1，

???，◎+/VHVj

(2)-.^1)=2'=2,/.^)+2=0,：.fia)=~2,

當(dāng)aWO時(shí)，/(a)=a+l=—2,，a=-3,

當(dāng)a>0時(shí)，大。)=2。=-2,方程無(wú)解，

綜上有a=~3.

（3）由題意，根據(jù)函數(shù)的解析式可知,

啟1,3

當(dāng),一即尤忘0時(shí)，<幻+1危;+1)=2%+1+2%+3>1,得一彳4或0：

1x+1W1,4

X>1,

當(dāng)<.即m時(shí),Inx+l>l,ln(x+l)+l>l,所以當(dāng)x>l時(shí)，yu)+

x+1>1,

於+1）>1恒成立;

當(dāng)彳,即0<rWl時(shí)，la+lW2,所以兀r)+?r+l)=2x+l+ln(x+

x+1>1,

1)+1>1恒成立.

3

綜上，x>一了故選B.]

2.與高等數(shù)學(xué)接軌的函數(shù)新定義問(wèn)題

高考數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)（如歐拉公式、高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù)）的接軌，

常以小題的形式呈現(xiàn)，意在考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核

心素養(yǎng).因此在復(fù)習(xí)備考