江蘇省連云港市青口第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

江蘇省連云港市青口第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某三棱錐的三視圖如右圖所示，該三棱錐的體積是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B略2.設(shè)集合A=，B=，則滿足的集合M的個(gè)數(shù)是()高考資源網(wǎng)首發(fā)A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：C略3.設(shè)，，為不同的直線，，為不同的平面，則正確的命題為（

）A．若，則

B．若則C．若則

D.若且則參考答案：D略4.若函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：由于恒成立，因此在上時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，，即，故答案為A考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系5.在中，，，則的最小值是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.已知正數(shù)a，b滿足，則的最大值為（）A. B.2 C. D.1參考答案：A【分析】令a＝x﹣y，b＝x+y，（x＞y＞0），由此a2+b2＝ab+1可化為（x﹣y）2+（x+y）2＝（x﹣y）（x+y）+1，即x2+3y2＝1（x＞y），然后再令x＝cosα，，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】令a＝x﹣y，b＝x+y，（x＞y＞0），則a2+b2＝ab+1化為（x﹣y）2+（x+y）2＝（x﹣y）（x+y）+1，即x2+3y2＝1（x＞y），令x＝cosα，，∵x＞y＞0，∴cos0，∴0，則z＝（）a+2b＝（1）（x﹣y）+2（x+y）＝（1）x﹣（3）y，＝（1）cosα﹣（3）＝2sin（），∵0，∴，當(dāng)sin（）＝1時(shí)有最大值2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)、轉(zhuǎn)化法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7.若二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為8，則該展開式的系數(shù)之和為（

）A.－1 B.1 C.27 D.－27參考答案：A依題意二項(xiàng)式系數(shù)和為.故二項(xiàng)式為，令，可求得系數(shù)和為.8.已知l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是(

)A．若l⊥α，m?α，則l⊥m B．若l⊥m，m?α，則l⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m參考答案：A【考點(diǎn)】平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】證明題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】對(duì)四個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：對(duì)于A，若l⊥α，m?α，則根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理知：l⊥m，故A正確；對(duì)于B，若l⊥m，m?α，則根據(jù)直線與平面垂直的判定定理知：l⊥α不正確，故B不正確；對(duì)于C，∵l∥α，m?α，∴由直線與平面平行的性質(zhì)定理知：l與m平行或異面，故C不正確；對(duì)于D，若l∥α，m∥α，則l與m平行，異面或相交，故D不正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．9.若,則等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B

解析：10.已知集合，則A∩B=（

）A.(－∞,1) B.(0,1) C.(－1,0) D.(－1,1)參考答案：B【分析】先化簡(jiǎn)集合A,B，再求得解.【詳解】由題得所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個(gè)總體分為甲、乙兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本．已知乙層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為，則總體中的個(gè)體數(shù)為

．參考答案：18012.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______.(用數(shù)字作答)參考答案：展開式的通項(xiàng)公式為，由得，所以常數(shù)項(xiàng)為。13.已知正三角形邊長(zhǎng)為2，將它沿高翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體的外接球的表面積為

.參考答案：試題分析：根據(jù)題意可知三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，而且，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為，外接圓的半徑為；∴球的半徑為，四面體ABCD外接球表面積為：．考點(diǎn)：1.球內(nèi)接多面體；2.球的體積和表面積．【思路點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力，計(jì)算能力；三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，三棱錐的三條側(cè)棱，底面是正三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可．14.（2）（幾何證明選講選做題）如圖，已知：內(nèi)接于圓O，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，是圓O的切線，若，，則的長(zhǎng)為

．參考答案：（2）15.小明想利用樹影測(cè)量他家有房子旁的一棵樹的高度,但由于地形的原因,樹的影子總有一部分落在墻上,某時(shí)刻他測(cè)得樹留在地面部分的影子長(zhǎng)為1.4米,留在墻部分的影高為1.2米,同時(shí),他又測(cè)得院子中一個(gè)直徑為1.2米的石球的影子長(zhǎng)(球與地面的接觸點(diǎn)和地面上陰影邊緣的最大距離)為0.8米,根據(jù)以上信息,可求得這棵樹的高度是

米.(太陽光線可看作為平行光線)

參考答案：6

16.已知，，

。參考答案：，所以,.17.已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，，，過棱AB作該球的截面，則當(dāng)截面面積最小時(shí)，球心到截面的距離為

．參考答案：5易知球的半徑為，取中點(diǎn)，則當(dāng)截面與垂直時(shí)，截面面積最小，此時(shí)球心到截面的距離為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知等比數(shù)列的所有項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為若求實(shí)數(shù)的值.參考答案：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由條件得成等差數(shù)列，所以………………………2分解得

由數(shù)列的所有項(xiàng)均為正數(shù),則=2

……………………4分?jǐn)?shù)列的通項(xiàng)公式為=…………………6分（2）記,則…………7分若不符合條件；………8分若，則，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2,此時(shí)

…………11分又＝,所以

……………13分19.某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測(cè)兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[100,120)內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品.表1是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表，圖1是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖.表1：甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]頻數(shù)14192051

圖1：乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖（1）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)；

甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品

不合格品

合計(jì)

（2）根據(jù)表1和圖1，對(duì)兩套設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較；（3）將頻率視為概率.若從甲套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記抽到的不合格品的個(gè)數(shù)為X，求X的期望E(X).附：P(K2≥k0)500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635

.參考答案：（1）見解析；（2）見解析；（3）試題分析：（1）根據(jù)表1和圖1即可完成填表，再由將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得即把握認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)（2）根據(jù)題意計(jì)算甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率，乙套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲套設(shè)備相比較為分散，從而做出判斷（3）根據(jù)題意知滿足，代入即可求得結(jié)果解析:（1）根據(jù)表1和圖1得到列聯(lián)表

甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品484391不合格品279合計(jì)5050100

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得∵，∴有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)（2）根據(jù)表1和圖1可知，甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為，乙套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為，甲套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值主要集中在[105,115）之間，乙套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲套設(shè)備相比較為分散.因此，可以認(rèn)為甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率更高，且質(zhì)量指標(biāo)值更穩(wěn)定，從而甲套設(shè)備優(yōu)于乙套設(shè)備.（3）由題知，∴.20.（本小題滿分12分）已知中∠ACB=90°，AS=BC=1，AC=2，SA⊥面ABC，AD⊥SC于D，（1）求證：AD⊥面SBC；（2）求二面角A-SB-C的大小.參考答案：（1）證明：

又面

又AC∩SA=A,

面

…………2分∵AD平面SAC，

……………4分又面

………6分（2）由（1）AD⊥面SBC，過D作DE⊥BS交BS于E，連結(jié)AE，則∠AED為二面角A-SB-C的平面角，………8分，由AS=BC=1，AC=2，得AD=，………….10分在直角△ADE中，，即二面角A-SB-C的大小為………12分.略21.

已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，設(shè),求在區(qū)間[1,2]上的最大值．參考答案：(I)當(dāng)時(shí)，

所以.

所以，切點(diǎn)為.

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即

…6分（）因?yàn)椋?令,則當(dāng)時(shí),,,為減函數(shù)所以的最大值為當(dāng)時(shí),時(shí)+

0

-↗

極大↘

所以的最大值為當(dāng)時(shí),時(shí)，恒成立，為增函數(shù)所以的最大值為

………………13分22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，斜率為1的直線l過定點(diǎn)（﹣2，﹣4）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程以及直線l的參數(shù)方程；（2）兩曲線相交于M，N兩點(diǎn)，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）由斜率為1的直線l過定點(diǎn)（﹣2，﹣4），可得參數(shù)方程為：，（t為參數(shù)）．由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．（2）把直線l的方程代入拋物線方程可