中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題精講專題5：二次函數(shù)與平行四邊形 (含答案詳解)

二次函數(shù)與平行四邊形分類標(biāo)準(zhǔn)：討論對角線例如：請在拋物線上找一點p使得A、B、C、P四點構(gòu)成平行四邊形，則可分成以下幾種情況（1）當(dāng)邊AB是對角線時，那么有（2）當(dāng)邊AC是對角線時，那么有（3）當(dāng)邊BC是對角線時，那么有1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y＝－x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2），時有最大值；（3）或或或．【解析】

【分析】

（1）先假設(shè)出函數(shù)解析式，利用三點法求解函數(shù)解析式．

（2）設(shè)出M點的坐標(biāo)，利用S＝S△AOM＋S△OBM?S△AOB即可進行解答；

（3）當(dāng)OB是平行四邊形的邊時，表示出PQ的長，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出方程求解即可；當(dāng)OB是對角線時，由圖可知點A與P應(yīng)該重合．

【詳解】

解：（1）設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：，

將，，三點代入函數(shù)解析式得：，

解得，

所以此函數(shù)解析式為：；

（2）∵點的橫坐標(biāo)為，且點在這條拋物線上，

∴點的坐標(biāo)為：，

∴

∵，

當(dāng)時，有最大值為：．

答：時有最大值．

（3）設(shè)．

當(dāng)為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，且，

∴的橫坐標(biāo)等于的橫坐標(biāo)，

又∵直線的解析式為，則．

由，得，

解得，，．（不合題意，舍去）

如圖，當(dāng)為對角線時，知與應(yīng)該重合，．

四邊形為平行四邊形則，橫坐標(biāo)為4，

代入得出為．

由此可得或或或．

【點睛】

本題考查了三點式求拋物線的方法，以及拋物線的性質(zhì)和最值的求解方法．2.拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于A．B兩點（點A在B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為D．

（1）直接寫出A，B，C三點的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；

（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF//DE交拋物線于點F，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m：

①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形；

②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；拋物線的對稱軸是：x=1；（2）①當(dāng)m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形；②．【解析】

【分析】

（1）對于拋物線解析式，令y=0求出的值，確定出A與B坐標(biāo)，令x=0求出的值確定出坐標(biāo)，進而求出對稱軸即可；

（2）①根據(jù)與坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定出直線解析式，進而表示出與坐標(biāo)，根據(jù)拋物線解析式確定出與坐標(biāo)，表示出，利用平行四邊形的判定方法確定出的值即可；

②連接，設(shè)直線與x軸交于點M，求出的長，根據(jù)，列出

關(guān)于的二次函數(shù)解析式．

【詳解】

解：(1)對于拋物線

令x=0，得到y(tǒng)=3；

令y=0，得到，即(x?3)(x+1)=0，

解得：x=?1或x=3，

則A(?1，0)，B(3，0)，C(0，3)，拋物線對稱軸為直線x=1；

(2)①設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，

把B(3，0)，C(0，3)分別代入得：

解得：k=?1，b=3，

∴直線BC的解析式為y=?x+3，

當(dāng)x=1時，y=?1+3=2，

∴E(1，2)

當(dāng)x=m時，y=?m+3，

∴P(m，?m+3)

令中x=1，得到y(tǒng)=4，

∴D(1，4)，

當(dāng)x=m時，

∴線段DE=4?2=2，

∵0<m<3，

∴線段

連接DF，由PF∥DE，得到當(dāng)PF=DE時，四邊形PEDF為平行四邊形，

由，得到m=2或m=1(不合題意,舍去)，

則當(dāng)m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形；

②連接BF，設(shè)直線PF與x軸交于點M,由B(3，0)，O(0，0)，可得OB=OM+MB=3，

3.如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣1與x軸的交點為A(﹣1，0)，B(2，0)，且與y軸交于C點.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)點C關(guān)于x軸的對稱點為C1，M是線段BC1上的一個動點(不與B、C1重合)，ME⊥x軸，MF⊥y軸，垂足分別為E、F，當(dāng)點M在什么位置時，矩形MFOE的面積最大？說明理由.

(3)已知點P是直線y＝x+1上的動點，點Q為拋物線上的動點，當(dāng)以C、C1、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時，求出相應(yīng)的點P和點Q的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)點M為線段C1B中點時，S矩形MFOE最大，理由見解析；(3)

點P和點Q的坐標(biāo)為P1(4，3)，Q1(4，5)或P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或P3(2，2)，Q3(2，0)或P4(﹣2，0)，Q4(2，0).【解析】

【分析】

（1）將A(﹣1，0)，B(2，0)分別代入解析式即可解答

（2）令x＝0，y＝﹣1，得出C的坐標(biāo)，再利用對稱軸的性質(zhì)得出C1，將B(2，0)，C1(0，1)分別代入直線C1B解析式，得出直線C1B的解析式，設(shè)M(t，)，則E(t，0)，F(xiàn)(0，)，根據(jù)矩形的面積公式即可解答

（3）根據(jù)題意可分情況討論①當(dāng)C1C為邊，則C1C∥PQ，C1C＝PQ，設(shè)P(m，m+1)，Q(m，)，求出m即可解答；②C1C為對角線，∵C1C與PQ互相平分，C1C的中點為(0，0)，PQ的中點為(0，0)，設(shè)P(m，m+1)，則Q(﹣m，)，求出m即可

【詳解】

(1)將A(﹣1，0)，B(2，0)分別代入拋物線y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：

∴該拋物線的表達式為：.

(2)在中，令x＝0，y＝﹣1，∴C(0，﹣1)

∵點C關(guān)于x軸的對稱點為C1，

∴C1(0，1)，設(shè)直線C1B解析式為y＝kx+b，將B(2，0)，C1(0，1)分別代入得，解得，

∴直線C1B解析式為，設(shè)M(t，)，則E(t，0)，F(xiàn)(0，)

∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t()＝﹣(t﹣1)2+，

∵﹣＜0，

∴當(dāng)t＝1時，S矩形MFOE最大值＝，此時，M(1，)；即點M為線段C1B中點時，S矩形MFOE最大.

(3)由題意，C(0，﹣1)，C1(0，1)，以C、C1、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，分以下兩種情況：

①C1C為邊，則C1C∥PQ，C1C＝PQ，設(shè)P(m，m+1)，Q(m，)，

∴|()﹣(m+1)|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0(舍)，

P1(4，3)，Q1(4，5)；P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)；P3(2，2)，Q3(2，0)

②C1C為對角線，∵C1C與PQ互相平分，C1C的中點為(0，0)，

∴PQ的中點為(0，0)，設(shè)P(m，m+1)，則Q(﹣m，)

∴(m+1)+()＝0，解得：m1＝0(舍去)，m2＝﹣2，

∴P4(﹣2，0)，Q4(2，0)；

綜上所述，點P和點Q的坐標(biāo)為：P1(4，3)，Q1(4，5)或P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或P3(2，2)，Q3(2，0)或P4(﹣2，0)，Q4(2，0).

【點睛】

此題考查二次函數(shù)綜合題，解題關(guān)鍵在于把已知點代入解析式求值4.綜合與探究

如圖，拋物線經(jīng)過點A(-2,0)，B(4,0)兩點，與軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為.連接AC，BC，DB，DC，

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求的值；

(3)在(2)的條件下，若點M是軸上的一個動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M,使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法進行求解即可；

(2)作直線DE⊥軸于點E，交BC于點G，作CF⊥DE，垂足為F，先求出S△OAC=6，再根據(jù)S△BCD=S△AOC，得到S△BCD=，然后求出BC的解析式為，則可得點G的坐標(biāo)為，由此可得，再根據(jù)S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得關(guān)于m的方程，解方程即可求得答案；

(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構(gòu)圖，以BD為邊時，有3種情況，由點D的坐標(biāo)可得點N點縱坐標(biāo)為±，然后分點N的縱坐標(biāo)為和點N的縱坐標(biāo)為兩種情況分別求解；以BD為對角線時，有1種情況，此時N1點與N2點重合，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可求得BM1=N1D=4，繼而求得OM1=8，由此即可求得答案.

【詳解】

(1)拋物線經(jīng)過點A(-2,0)，B(4,0)，

∴，

解得，

∴拋物線的函數(shù)表達式為；

(2)作直線DE⊥軸于點E，交BC于點G，作CF⊥DE，垂足為F，

∵點A的坐標(biāo)為(-2,0)，∴OA=2，

由，得，∴點C的坐標(biāo)為(0,6)，∴OC=6，

∴S△OAC=，

∵S△BCD=S△AOC，

∴S△BCD=，

設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為，

由B，C兩點的坐標(biāo)得，解得，

∴直線BC的函數(shù)表達式為，

∴點G的坐標(biāo)為，

∴，

∵點B的坐標(biāo)為(4,0)，∴OB=4，

∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，

∴S△BCD=，

∴，

解得(舍)，，

∴的值為3；

(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構(gòu)圖，

以BD為邊時，有3種情況，

∵D點坐標(biāo)為，∴點N點縱坐標(biāo)為±，

當(dāng)點N的縱坐標(biāo)為時，如點N2，

此時，解得：(舍)，

∴，∴；

當(dāng)點N的縱坐標(biāo)為時，如點N3，N4，

此時，解得：

∴，，

∴，；

以BD為對角線時，有1種情況，此時N1點與N2點重合，

∵，D(3，)，

∴N1D=4，

∴BM1=N1D=4，

∴OM1=OB+BM1=8，

∴M1(8，0)，

綜上，點M的坐標(biāo)為：.

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)等知識，運用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.5.如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y=x﹣5經(jīng)過點B，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點A的直線交直線BC于點M．

①當(dāng)AM⊥BC時，過拋物線上一動點P（不與點B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點Q，若以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標(biāo)；

②連接AC，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時，請直接寫出點M的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P點的橫坐標(biāo)為4或或；②點M的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．【解析】

分析：（1）利用一次函數(shù)解析式確定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，則△AMB為等腰直角三角形，所以AM=2，接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，設(shè)P（m，-m2+6m-5），則D（m，m-5），討論：當(dāng)P點在直線BC上方時，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；當(dāng)P點在直線BC下方時，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分別解方程即可得到P點的橫坐標(biāo)；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到∠AM1B=2∠ACB，再確定N（3，-2），

AC的解析式為y=5x-5，E點坐標(biāo)為（，-），利用兩直線垂直的問題可設(shè)直線EM1的解析式為y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直線EM1的解析式為y=-x-，則解方程組得M1點的坐標(biāo)；作直線BC上作點M1關(guān)于N點的對稱點M2，如圖2，利用對稱性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，設(shè)M2（x，x-5），根據(jù)中點坐標(biāo)公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐標(biāo)，從而得到滿足條件的點M的坐標(biāo)．

詳解：（1）當(dāng)x=0時，y=x﹣5=﹣5，則C（0，﹣5），

當(dāng)y=0時，x﹣5=0，解得x=5，則B（5，0），

把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5；

（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，則A（1，0），

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴△OCB為等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵AM⊥BC，

∴△AMB為等腰直角三角形，

∴AM=AB=×4=2，

∵以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，AM∥PQ，

∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，

作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，則∠PDQ=45°，

∴PD=PQ=×2=4，

設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），則D（m，m﹣5），

當(dāng)P點在直線BC上方時，

PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，

當(dāng)P點在直線BC下方時，

PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，

綜上所述，P點的橫坐標(biāo)為4或或；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，

∵M1A=M1C，

∴∠ACM1=∠CAM1，

∴∠AM1B=2∠ACB，

∵△ANB為等腰直角三角形，

∴AH=BH=NH=2，

∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式為y=5x﹣5，E點坐標(biāo)為（，﹣，

設(shè)直線EM1的解析式為y=﹣x+b，

把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，

∴直線EM1的解析式為y=﹣x﹣

解方程組得，則M1（，﹣）；

作直線BC上作點M1關(guān)于N點的對稱點M2，如圖2，則∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

設(shè)M2（x，x﹣5），

∵3=

∴x=，

∴M2（，﹣）.

綜上所述，點M的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．

點睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．6.如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當(dāng)△BEC面積最大時，請求出點E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值；

（3）在（2）的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）點E的坐標(biāo)是（2，3）時，△BEC的面積最大，最大面積是3；（3）P的坐標(biāo)是（﹣3，）、（5，）、（﹣1，）．【解析】

【分析】

【詳解】

解：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，

∴點B的坐標(biāo)是（0，3），點C的坐標(biāo)是（4，0），

∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點，

∴，解得，

∴y=﹣x2+x+3．

（2）如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，，

∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，∴設(shè)點E的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則點M的坐標(biāo)是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，

∴當(dāng)x=2時，即點E的坐標(biāo)是（2，3）時，△BEC的面積最大，最大面積是3．

（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．

①如圖2，，

由（2），可得點M的橫坐標(biāo)是2，∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標(biāo)是（2，），又∵點A的坐標(biāo)是（﹣2，0），∴AM=

，∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，

∴設(shè)點Q的坐標(biāo)是（1，m），點P的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），

則，

解得或，

∵x＜0，∴點P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣）．

②如圖3，，

由（2），可得點M的橫坐標(biāo)是2，∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標(biāo)是（2，），

又∵點A的坐標(biāo)是（﹣2，0），∴AM=，

∴AM所在的直線的斜率是：；

∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，

∴設(shè)點Q的坐標(biāo)是（1，m），點P的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則，

解得或，

∵x＞0，∴點P的坐標(biāo)是（5，﹣）．

③如圖4，，

由（2），可得點M的橫坐標(biāo)是2，∵點M在直線y=﹣x+3上，

∴點M的坐標(biāo)是（2，），

又∵點A的坐標(biāo)是（﹣2，0），∴AM=，

∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，

∴設(shè)點Q的坐標(biāo)是（1，m），點P的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），

則

解得，

∴點P的坐標(biāo)是（﹣1，）．

綜上，可得在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．

【點睛】

本題考查二次函數(shù)綜合題．7.已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，﹣3），頂點D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在y軸上找一點E，使得△EAC為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標(biāo)．

（3）點P是x軸上的動點，點Q是拋物線上的動點，是否存在點P、Q，使得以點P、Q、B、D為頂點，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P、Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）滿足條件的點E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．【解析】

【分析】

（1）根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式，再將點C坐標(biāo)代入求解，即可得出結(jié)論；

（2）先求出點A，C坐標(biāo)，設(shè)出點E坐標(biāo)，表示出AE，CE，AC，再分三種情況建立方程求解即可；

（3）利用平移先確定出點Q的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出點Q的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

【詳解】

解：（1）∵拋物線的頂點為（1，﹣4），

∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，

將點C（0，﹣3）代入拋物線y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，

∴a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，

令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，

∴x＝﹣1或x＝3，

∴B（3，0），A（﹣1，0），

令x＝0，則y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴AC＝，

設(shè)點E（0，m），則AE＝，CE＝|m+3|，

∵△ACE是等腰三角形，

∴①當(dāng)AC＝AE時，＝，

∴m＝3或m＝﹣3（點C的縱坐標(biāo)，舍去），

∴E（3，0），

②當(dāng)AC＝CE時，＝|m+3|，

∴m＝﹣3±，

∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），

③當(dāng)AE＝CE時，＝|m+3|，

∴m＝﹣，

∴E（0，﹣），

即滿足條件的點E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；

（3）如圖，存在，∵D（1，﹣4），

∴將線段BD向上平移4個單位，再向右（或向左）平移適當(dāng)?shù)木嚯x，使點B的對應(yīng)點落在拋物線上，這樣便存在點Q，此時點D的對應(yīng)點就是點P，

∴點Q的縱坐標(biāo)為4，

設(shè)Q（t，4），

將點Q的坐標(biāo)代入拋物線y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，

∴t＝1+2或t＝1﹣2，

∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），

分別過點D，Q作x軸的垂線，垂足分別為F，G，

∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的右邊的交點B的坐標(biāo)為（3，0），且D（1，﹣4），

∴FB＝PG＝3﹣1＝2，

∴點P的橫坐標(biāo)為（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，

即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．

【點睛】

此題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8.如圖，拋物線過點A（0，1）和C，頂點為D，直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E，與直線AC交于點F，點F的橫坐標(biāo)為，四邊形BDEF為平行四邊形．

（1）求點F的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當(dāng)△PAB面積最大時，求點P的坐標(biāo)及△PAB面積的最大值；

（3）在拋物線的對稱軸上取一點Q，同時在拋物線上取一點R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標(biāo)．【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1

（2）（，）；

（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）【解析】

【分析】

（1）由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y＝﹣x+1，求出F點的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，則可得出答案；

（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x軸交AC于點P'，則P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；

（3）聯(lián)立直線AC和拋物線解析式求出C（，﹣），設(shè)Q（，m），分兩種情況：①當(dāng)AQ為對角線時，②當(dāng)AR為對角線時，分別求出點Q和R的坐標(biāo)即可．

【詳解】

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），

∵A（0，1），B（，0），

設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，

∴，

解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1，

∵點F的橫坐標(biāo)為，

∴F點縱坐標(biāo)為﹣+1＝﹣，

∴F點的坐標(biāo)為（，﹣），

又∵點A在拋物線上，

∴c＝1，

對稱軸為：x＝﹣，

∴b＝﹣2a，

∴解析式化為：y＝ax2﹣2ax+1，

∵四邊形DBFE為平行四邊形．

∴BD＝EF，

∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），

解得a＝﹣1，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；

（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x軸交AC于點P'，

則P'（n，﹣n+1），

∴PP'＝﹣n2+n，

S△ABP＝OB?PP'＝﹣n＝﹣，

∴當(dāng)n＝時，△ABP的面積最大為，此時P（，）．

（3）∵，

∴x＝0或x＝，

∴C（，﹣），

設(shè)Q（，m），

①當(dāng)AQ為對角線時，

∴R（﹣），

∵R在拋物線y＝+4上，

∴m+＝﹣+4，

解得m＝﹣，

∴Q，R；

②當(dāng)AR為對角線時，

∴R（），

∵R在拋物線y＝+4上，

∴m﹣+4，

解得m＝﹣10，

∴Q（，﹣10），R（）．

綜上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．

【點睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．9.如圖1，拋物線

與軸交于A,B兩點，與軸交于點C，AB=4，矩形OBDC的邊CD=1，延長DC交拋物線于點E.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖2，點P是直線EO上方拋物線上的一個動點，過點P作y軸的平行線交直線EO于點G，作PHEO，垂足為H.設(shè)PH的長為l，點P的橫坐標(biāo)為m，求l與m的函數(shù)關(guān)系是（不必寫出m的取值范圍），并求出l的最大值；

（3）如果點N是拋物線對稱軸上的一點，拋物線上是否存在點M，使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+

，最大值為；（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．【解析】

【分析】

（1）由條件可求得A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）可先求得E點坐標(biāo)，從而可求得直線OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的長，從而可表示出l的長，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；

（3）分AC為邊和AC為對角線，當(dāng)AC為邊時，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，則可證得△MFN≌△AOC，可求得M到對稱軸的距離，從而可求得M點的橫坐標(biāo)，可求得M點的坐標(biāo)；當(dāng)AC為對角線時，設(shè)AC的中點為K，可求得K的橫坐標(biāo)，從而可求得M的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得M點坐標(biāo)．

【詳解】

解：（1）∵矩形OBDC的邊CD=1，

∴OB=1，

∵AB=4，

∴OA=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

把A、B兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得

，

解得

，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；

（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，

∴E（﹣2，2），

∴直線OE解析式為y=﹣x，

由題意可得P（m，﹣m2﹣m+2），

∵PG∥y軸，

∴G（m，﹣m），

∵P在直線OE的上方，

∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，

∵直線OE解析式為y=﹣x，

∴∠PGH=∠COE=45°，

∴l(xiāng)=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，

∴當(dāng)m=﹣時，l有最大值，最大值為；

（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時，則有MN∥AC，且MN=AC，如圖，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，設(shè)AC交對稱軸于點L，

則∠ALF=∠ACO=∠FNM，

在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS），

∴MF=AO=3，

∴點M到對稱軸的距離為3，

又y=﹣x2﹣x+2，

∴拋物線對稱軸為x=﹣1，

設(shè)M點坐標(biāo)為（x，y），則|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，

當(dāng)x=2時，y=﹣，當(dāng)x=﹣4時，y=，

∴M點坐標(biāo)為（2，﹣）或（﹣4，﹣）；

②當(dāng)AC為對角線時，設(shè)AC的中點為K，

∵A（﹣3，0），C（0，2），

∴K（﹣，1），

∵點N在對稱軸上，

∴點N的橫坐標(biāo)為﹣1，

設(shè)M點橫坐標(biāo)為x，

∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此時y=2，

∴M（﹣2，2）；

綜上可知點M的坐標(biāo)為（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．

考點：二次函數(shù)綜合題．10.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點N，過A點的直線l：與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，已知，P點為拋物線上一動點（不與A、D重合）．

（1）求拋物線和直線l的解析式；

（2）當(dāng)點P在直線l上方的拋物線上時，過P點作PE∥x軸交直線l于點E，作軸交直線l于點F，求的最大值；

（3）設(shè)M為直線l上的點，探究是否存在點M，使得以點N、C，M、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1），直線l的表達式為：；（2）最大值：18；（3）存在，M的坐標(biāo)為：或或或．【解析】

【分析】

（1）將點A、D的坐標(biāo)分別代入直線表達式、拋物線的表達式，即可求解；

（2），即可求解；

（3）分NC是平行四邊形的一條邊、NC是平行四邊形的對角線，兩種情況分別求解即可．

【詳解】

解：（1）將點A、D的坐標(biāo)代入直線表達式得：，解得：，

故直線l的表達式為：，

將點A、D的坐標(biāo)代入拋物線表達式，

同理可得拋物線的表達式為：；

（2）直線l的表達式為：，則直線l與x軸的夾角為，

即：則，

設(shè)點P坐標(biāo)為、則點，，故有最大值，

當(dāng)時，其最大值為18；

（3）由題意得，，

①當(dāng)NC是平行四邊形的一條邊時，

設(shè)點P坐標(biāo)為、則點，

由題意得：，即：，

解得或0或4（舍去0，此時M和C重合），

則點M坐標(biāo)為或或；

②當(dāng)NC是平行四邊形的對角線時，

則NC的中點坐標(biāo)為，

設(shè)點P坐標(biāo)為、則點，

N、C，M、P為頂點的四邊形為平行四邊形，則NC的中點即為PM中點，

即：，

解得：或（舍去0，此時M和C重合），

故點；

故點M的坐標(biāo)為：或或或．

【點睛】

主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．11.如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸相交于A（－1，0），B（5，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第二象限內(nèi)取一點C，作CD垂直x軸于點D，鏈接AC，且AD＝5，CD＝8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位，當(dāng)點C落在拋物線上時，求m的值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點C第一次落在拋物線上記為點E，點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q，使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值為7或9（3）Q點的坐標(biāo)為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）【解析】

【分析】

（1）由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；

（2）由題意可求得C點坐標(biāo)，設(shè)平移后的點C的對應(yīng)點為C′，則C′點的縱坐標(biāo)為8，代入拋物線解析式可求得C′點的坐標(biāo)，則可求得平移的單位，可求得m的值；

（3）由（2）可求得E點坐標(biāo)，連接BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，當(dāng)BE為平行四邊形的邊時，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，則可證得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到對稱軸的距離，則可求得Q點的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得Q點坐標(biāo)；當(dāng)BE為對角線時，由B、E的坐標(biāo)可求得線段BE的中點坐標(biāo)，設(shè)Q（x，y），由P點的橫坐標(biāo)則可求得Q點的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得Q點的坐標(biāo)．

【詳解】

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，

∴OD=6，且CD=8，

∴C（﹣6，8），

設(shè)平移后的點C的對應(yīng)點為C′，則C′點的縱坐標(biāo)為8，

代入拋物線解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，

∴C′點的坐標(biāo)為（1，8）或（3，8），

∵C（﹣6，8），

∴當(dāng)點C落在拋物線上時，向右平移了7或9個單位，

∴m的值為7或9；

（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，

∴拋物線對稱軸為x=2，

∴可設(shè)P（2，t），

由（2）可知E點坐標(biāo)為（1，8），

①當(dāng)BE為平行四邊形的邊時，連接BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，當(dāng)BE為平行四邊形的邊時，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，如圖，

則∠BEF=∠BMP=∠QPN，

在△PQN和△EFB中

∴△PQN≌△EFB（AAS），

∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，

設(shè)Q（x，y），則QN=|x﹣2|，

∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，

當(dāng)x=﹣2或x=6時，代入拋物線解析式可求得y=﹣7，

∴Q點坐標(biāo)為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；

②當(dāng)BE為對角線時，

∵B（5，0），E（1，8），

∴線段BE的中點坐標(biāo)為（3，4），則線段PQ的中點坐標(biāo)為（3，4），

設(shè)Q（x，y），且P（2，t），

∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入拋物線解析式可求得y=5，

∴Q（4，5）；

綜上可知Q點的坐標(biāo)為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．

考點：二次函數(shù)綜合題．12.如圖，拋物線與軸相交于點和點，與軸相交于點，作直線．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線上方的拋物線上存在點，使，求點的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點的坐標(biāo)為，點在拋物線上，點在直線上，當(dāng)以為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）點坐標(biāo)為；（3），【解析】

【分析】

（1）將A、C點坐標(biāo)分別代入拋物線中，聯(lián)立即可求得a和c的值，從而求出拋物線解析式；

（2）過點作軸交拋物線于點，則，過點作交拋物線于點，設(shè)，借助，即可求得t的值，從而求得D點坐標(biāo)；

（3）先求出直線BC的解析式，設(shè)，分DF為邊和DF為對角線兩種情況討論，表示出M點坐標(biāo)，代入拋物線中求得n的值，即可得出N點坐標(biāo)．

【詳解】

解：（1）：拋物線經(jīng)過點，解得

∴拋物線的解析式為

（2）過點作軸交拋物線于點，則

過點作交拋物線于點

過點作于點，則

設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則

∵點是與軸的交點，

解得的坐標(biāo)為，

解得（舍去），

∴點的縱坐標(biāo)為：

則點坐標(biāo)為

（3）設(shè)直線BC的解析式為：，

將C（0,3），B（4，0）分別代入得，，解得，

∴直線BC的解析式為：，

設(shè)，

①當(dāng)FD為平行四邊形的邊時，

如圖，當(dāng)N點在M點左側(cè)時，

則即

整理得，即,

故，

解得：，

此時；

同理當(dāng)N點在M點右側(cè)時可得，

故，

解得，

此時；

①當(dāng)FD為平行四邊形的對角線時，

則,即

故，整理得，

該方程無解．

綜上所述：，．

【點睛】

本題考查二次函數(shù)綜合，分別考查了求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，和二次函數(shù)與平行四邊形問題．（1）中直接代入點的坐標(biāo)即可，難度不大；（2）中能正確作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵；（3）中能分類討論是解題關(guān)鍵，需注意平行四邊形對邊平行且相等，可借助這一點結(jié)合圖象表示M點坐標(biāo)．13.已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，

（1）求二次函數(shù)的表達式及點坐標(biāo)；

（2）是二次函數(shù)圖象上位于第三象限內(nèi)的點，求點到直線的距離取得最大值時點的坐標(biāo)；

（3）是二次函數(shù)圖象對稱軸上的點，在二次函數(shù)圖象上是否存在點．使以為頂點的四邊形是平行四邊形？若有，請寫出點的坐標(biāo)（不寫求解過程）．【答案】（1），A（-3，0）；（2）（，）；（3）（-2，-3）或（0，-3）或（2，-5）.【解析】

【分析】

（1）把A,C點帶入方程，列方程組即可求解；

（2）根據(jù)題意得出當(dāng)點到直線的距離取得最大值時，求出AC表達式，將直線AC向下平移m（m＞0）個單位，得到直線l，當(dāng)直線l與二次函數(shù)圖像只有一個交點時，該交點為點D，此時點D到直線AC的距離最大，聯(lián)立直線l和二次函數(shù)表達式，得到方程，當(dāng)方程有兩個相同的實數(shù)根時，求出m的值，從而得到點D的坐標(biāo)；

（3）分當(dāng)OB是平行四邊形的邊和OB是平行四邊形的對角線時，利用平行四邊形的性質(zhì)求出點N的坐標(biāo)即可.

【詳解】

解：（1）將B（1，0），帶入函數(shù)關(guān)系式得，，

解得：，

∴二次函數(shù)表達式為：；

（2）當(dāng)點到直線的距離取得最大值時，

∵A（-3，0），，

設(shè)直線AC的表達式為：y=kx+n，，將A和C代入，，解得：，

∴直線AC的表達式為y=-x-3，將直線AC向下平移m（m＞0）個單位，得到直線l，

當(dāng)直線l與二次函數(shù)圖像只有一個交點時，該交點為點D，此時點D到直線AC的距離最大，

此時直線l的表達式為y=-x-3-m，

聯(lián)立：，得：，

令△=，解得：m=，

則解方程：，得x=，

∴點D的坐標(biāo)為（，）；

（3）∵M在拋物線對稱軸上，設(shè)M坐標(biāo)為（-1，t），

當(dāng)OB為平行四邊形的邊時，

如圖1，可知MN和OB平行且相等，

∴點N（-2，t）或（0，t