湖北省隨州市曾都區(qū)第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

湖北省隨州市曾都區(qū)第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn),且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為_(kāi)______參考答案：=1.略2.下列四個(gè)函數(shù)中，滿足“對(duì)任意，都有”的是A． B．

C． D．參考答案：A3.已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有成立，則的最小值為（

）A.4 B.1 C. D.2參考答案：D【分析】由題意得出的一個(gè)最大值為，一個(gè)最小值為，于此得出的最小值為函數(shù)的半個(gè)周期，于此得出答案。【詳解】對(duì)任意的，成立.所以，，所以，故選：D。【點(diǎn)睛】本題考查正余弦型函數(shù)的周期性，根據(jù)題中條件得出函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，另外就是靈活利用正余弦型函數(shù)的周期公式，考查分析問(wèn)題的能力，屬于中等題。4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知a2﹣c2=2b，且sinA?cosC=3cosA?sinC，則b的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：A【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】根據(jù)正弦、余弦定理化簡(jiǎn)sinA?cosC=3cosA?sinC，得出a2﹣c2=b2；再根據(jù)a2﹣c2=2b得出b2=2b，解方程即可．【解答】解：△ABC中，sinA?cosC=3cosA?sinC，由正弦、余弦定理得a?=3??c，化簡(jiǎn)得a2﹣c2=b2；又a2﹣c2=2b，所以b2=2b，解得b=4或b=0（不合題意，舍去）；所以b的值為4．故選：A．5.復(fù)數(shù)A．i

B．－iC．－－i

D．－＋i參考答案：A略6.已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，，則A.100 B.99 C.98 D.97參考答案：C試題分析：由已知，所以故選C.【考點(diǎn)】等差數(shù)列及其運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說(shuō)數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問(wèn)題是一種行之有效的方法.7.過(guò)雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0）作圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為M．直線FM交拋物線y2=﹣4cx于點(diǎn)N，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】說(shuō)明M是FN的中點(diǎn)．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F1，說(shuō)明OM為△NF2F1的中位線．通過(guò)NF2⊥NF1，于是可得|NF|=2b，設(shè)P（x，y），推出c﹣x=2a，利用雙曲線定義結(jié)合勾股定理得y2+4a2=4b2，然后求解離心率即可．【解答】解：∵若，∴M是FN的中點(diǎn)．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F1，則F1為（﹣c，0），也是雙曲線的焦點(diǎn)．∵OM為△NF2F1的中位線．|OM|=a，∴|NF1|=2a．∵OM⊥MF，∴NF2⊥NF1，于是可得|NF|=2b，設(shè)N（x，y），則c﹣x=2a，于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c（c﹣2a），過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，點(diǎn)N到該垂線的距離為2a．由勾股定理得y2+4a2=4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4a2=4（c2﹣a2），變形可得c2﹣a2=ac，兩邊同除以a2有e2﹣e﹣1=0，所以e=，負(fù)值已經(jīng)舍去．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，向量以及圓與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．8.設(shè)有一個(gè)體積為54的正四面體，若以它的四個(gè)面的中心為頂點(diǎn)做一個(gè)四面體，則所作四面體的體積為

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B9.8．設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=2且a1，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn=（）A． B． C． D．n2+n參考答案：A考點(diǎn);等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的性質(zhì)．專題;計(jì)算題．分析;設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意得（2+2d）2=2?（2+5d），解得或d=0（舍去），由此可求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．解答;解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則根據(jù)題意得（2+2d）2=2?（2+5d），解得或d=0（舍去），所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．故選A．點(diǎn)評(píng);本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．10.將5名世博會(huì)志愿者全部分配給4個(gè)不同的地方服務(wù)，不同的分配方案有（

）A.8 B.15 C.512 D.1024參考答案：D【分析】每名志愿者有4種選擇，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出分配方案的種數(shù).【詳解】由題意可知，每名志愿者有4種選擇，將5名世博會(huì)志愿者全部分配給4個(gè)不同的地方服務(wù)，不同的分配方案種數(shù)為種.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)____________.參考答案：略12.下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的所有圖形的序號(hào)是

參考答案：①④略13.已知函數(shù)在區(qū)間上的極大值與極小值分別為，則

參考答案：32

14.雙曲線8kx2﹣ky2=8的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，3），則k的值為

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先把雙曲線8kx2﹣ky2=8的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，焦點(diǎn)坐標(biāo)得到c2=9，利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的關(guān)系即得雙曲線方程中的k的值．【解答】解：根據(jù)題意可知雙曲線8kx2﹣ky2=8在y軸上，即，∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），c2=9，∴，∴k=﹣1，故答案為：﹣1．15.在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)________.參考答案：提示：點(diǎn)到直線x-y+4=0的距離為,有約束條件知的最大值為5。16.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中主視圖、俯視圖是全等的等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球體積為

.參考答案：17.拋物線被直線所截得的弦長(zhǎng)為

。參考答案：8

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某研究所計(jì)劃利用“神七”宇宙飛船進(jìn)行新產(chǎn)品搭載實(shí)驗(yàn)，計(jì)劃搭載新產(chǎn)品、，該所要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載實(shí)驗(yàn)費(fèi)用、和預(yù)計(jì)產(chǎn)生收益來(lái)決定具體安排．通過(guò)調(diào)查，有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

產(chǎn)品A(件)產(chǎn)品B(件)

研制成本、搭載費(fèi)用之和(萬(wàn)元)2030計(jì)劃最大資金額300萬(wàn)元產(chǎn)品重量（千克）105最大搭載重量110千克預(yù)計(jì)收益（萬(wàn)元）8060

如何安排這兩種產(chǎn)品的件數(shù)進(jìn)行搭載,才能使總預(yù)計(jì)收益達(dá)到最大,最大收益是多少？參考答案：解：設(shè)搭載產(chǎn)品A件，產(chǎn)品By件，則預(yù)計(jì)收益．則作出可行域，如圖；作出直線并平移.由圖象得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí),z能取得最大值，,解得,即.所以z＝80×9＋60×4＝960(萬(wàn)元).答：應(yīng)搭載產(chǎn)品A9件，產(chǎn)品B4件，可使得利潤(rùn)最多達(dá)到960萬(wàn)元.19.（本小題滿分13分）已知為實(shí)數(shù)，證明：．參考答案：證明：∵為實(shí)數(shù)，∴．∴左邊－右邊＝．∴得證．法二：根據(jù)柯西不等式，有．∴得證．20.已知圓過(guò)點(diǎn)，且與圓關(guān)于直線對(duì)稱。（1）求圓的方程。（2）過(guò)點(diǎn)作兩條相異直線分別與圓相交于，且直線的傾斜角互補(bǔ)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線和是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由。

（1）故根據(jù)對(duì)稱，可求得圓C的方程為。（2）設(shè)兩直線的傾斜角分別為a和b，k1=tana;k2=tanb因?yàn)閍+b=180°，由正切的性質(zhì)，k1+k2=0不妨設(shè)第一條直線斜率是k即PA:y=kx+1-k則PB:y=-kx+k+1讓兩直線分別于圓聯(lián)立：PA與圓相聯(lián)立,化簡(jiǎn)得因式分解得：(x-1)[(k^2+1)x-(k^2-2k-1)]=0所以A的橫坐標(biāo)為,代入PA直線，解得A的坐標(biāo)為,同理聯(lián)立PB與圓，解出B的坐標(biāo)求得AB的斜率,所以O(shè)P‖AB參考答案：略21.（本小題滿分12分）已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點(diǎn).（1）證明：面面；（2）求與所成的角的余弦值；（3）求二面角的正弦值.參考答案：以為坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）證明：因由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面.又在面內(nèi)，故面⊥面（2）解：因所以，AC與PC所成角的余弦值為（3）解：易知平面ACB的一個(gè)法向量設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量則，不妨取設(shè)二面角的平面角為則，則所以

22.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)和極值；（3）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求解切線的斜率f′（1）=1﹣a，然后求解切線方程．（2）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值即可．（3）令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），求出導(dǎo)函數(shù)g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，求出，通過(guò)若a≤0，若，若，分別判斷函數(shù)的符號(hào)函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，然后求解a的取值范圍．【解答】解：（1）由題，所以f′（1）=1﹣a，所以切線方程為：（1﹣a）（x﹣1）﹣y=0（2）由題a=1時(shí)，f（x）=lnx﹣x+1，所以所以f′（x）＞0?0＜x＜1；f′（x）＜0?x＞1，所以f（x）在（0，1）單增，在（1，+∞）單減，所以f（x）在x=1取得極大值f（1）=0．所以函數(shù)f（x）的極大值f（1）=0，函數(shù)無(wú)極小值（3），令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，①若a≤0，F(xiàn)′（x）＞0