專(zhuān)題15空間中平行與垂直備戰(zhàn)2020高考理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對(duì)點(diǎn)提分教師版紙間書(shū)屋

專(zhuān)題 201920182019201920192018201720192019考點(diǎn) 題組一調(diào)研 m，nααβα，β【答案】B，m，n是兩條異面直線(xiàn)，m?αm∥βmβ相交，則由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可αm，nn必相交.m∥ββm1∥m，m?αm1∥αm，nm1nn∥αα∥β；Cαβα∥β；Dα，βγα、βα∥β．調(diào)研2 若?????，?????，??∥??，則若??⊥??，??∥??，則??⊥若?????，??是??在??內(nèi)的射影，??⊥??，則??⊥若??⊥??，????=??，??⊥??，則??⊥【答案】A，由線(xiàn)面平行的判定定理可知，若?????，?????，??∥??，則??∥??，正確；B，互相平行的平面，一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面，故正確；C，由三垂線(xiàn)定理可知，若??⊥??，則??⊥??，正確；D，由兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可知，要使??⊥??，則需要添加條件??//??或?????D題組二調(diào)研 已知，表示兩個(gè)不同的平面，l表示一條直線(xiàn)，且，則l是l∥ 【答案】l，則l∥或l，所以充分條件不成立；又當(dāng)l∥時(shí)，不能得到l，所以必要條件不成立，故選D．調(diào)研4 已知l為平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)，α，β表示兩個(gè)不同的平面，則“α⊥β”是“l(fā)⊥β”的 【答案】B．考點(diǎn) 題組 調(diào)研1 如圖，四棱錐???????????中，????⊥平面????????，????//????，????=????=????=3，????=????=4，??為線(xiàn)段????上一點(diǎn)，????=2????，??為????的中點(diǎn)．（2）求四面體????????（2）323（1）由已知得????=????=2，取????的中點(diǎn)??，連接32由??為????中點(diǎn)知????//????，????=1????=2，即????=2因?yàn)?????平面??????，?????平面??????，所以????//平面??????．2（2）因?yàn)????⊥平面????????，??為????的中點(diǎn)，所以??到平面????????的距離為12取????的中點(diǎn)??，連接????，由????=????=3得????⊥????，????=√????2?????2=55由????//????得??到????的距離為√5，故 14 55所以四面體????????的體積為

1

PA45N 調(diào)研2 平面MNB1與平面BCC1B1的交線(xiàn)為l，求證：MN∥l．1C1B，在△A1BC1M，NA1C1，A1BMN∥C1B．MN?BCC1B1，C1B?BCC1B1，MP?BCC1B1，C1B1?BCC1B1MPBCC1B1．NPBCC1B1．題組二調(diào)研

ABC

（2）（1）ABPPMMPAC,ABPM∥BCPM12PMNB1MN∥PB1，MN∥ABB1A1．又因?yàn)锳BC

又因?yàn)?ANAB1N，ANA1B．，調(diào)研 如圖在四棱錐ABCDE中底面BCDE為正方形平面ABE底面 ABAEBE，MNAEADMN∥ABCBMADEDEP，使得CPAD（2）（3）（1）因?yàn)辄c(diǎn)MNAEAD的中點(diǎn)，所以BCDEBC∥DE，所以MNABCBCABCMN∥ABEBCDEDEBEDEBMABEDE因?yàn)锳BAEBE，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，所以BMAE.因?yàn)镈E AEE，DE平面ADE，AE平面ADE，所以BM平面ADE.BEFAFDF，過(guò)C點(diǎn)作CPDFDEPP即為所求作的點(diǎn)．ABAEBEFBEAFBE.DFABEBCDEAFBCDE，AFDF因?yàn)镃PDF， ，所以CP平面ADADF，所以CP在解決平行(垂直)關(guān)系的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“”的轉(zhuǎn)化；而應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序好相題組 調(diào)研 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝√3，D，E分別是AC1和BB1的中點(diǎn)，則直DEBB1C1C 【答案】DEBFDE//BFFFGBCBCG，由題意得FBG（或其補(bǔ)角）DEBB1C1CAB＝1，AC＝2，BC＝√3，所以ABC90BCA30，CF=FA=FB=1，所以∠FBG=30°DEBB1C1C30°．故選3調(diào)研6如圖所示，在四棱錐???????????中，平面????????⊥平面ABC，BEEC，BC6，AB 3∠??????=（1）求證：????⊥（2）若二面角?????????為45°，求直線(xiàn)????與平面??????（2）4AB2BC2【解析（1）在△ACB中，應(yīng)用余弦定理得cosABC 2AB

，解得????=323所以????2+????2=????2，所以????⊥因?yàn)槠矫????????⊥平面??????，平面????????∩平面??????=????，????⊥????，所以????⊥平面又因?yàn)?????平面????????，所以????⊥（2）因?yàn)????⊥平面????????，?????平面????????，所以????⊥????．又????⊥????，平面??????∩平面??????=????，所以∠??????是平面??????與平面??????所成的二面角的平面角，即∠??????=45°．因?yàn)????⊥????，????⊥????，????∩????=??，所以????⊥平面??????．所以∠??????是直線(xiàn)????與平面??????因?yàn)樵赗t△BCE中，????=????sin45°=所以在Rt△BAE中，sinBAEBE 6 即直線(xiàn)????與平面??????所成的角的正弦值為64調(diào)研7 已知三棱柱?????????1??1??1中，∠??????=900，????=????=2，??1在底面ABC上的射影恰為????的中點(diǎn)??，????1⊥????1．（1）求證：????1⊥平面（2）求二面角?????1?????（2）√7．7（1）由題意知??1??⊥平面??????，且??1??=??1??，又??1???平面??1??1????∴平面??1??1????⊥平面??????．又????⊥????∴????⊥平面??1??1????，又????1?平面??1??1????∴????⊥????1，又????1⊥????1，且????，????1為平面??1????內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，∴????1⊥平面（2）設(shè)????1與??1??的交點(diǎn)為??，則由（1）有????平面過(guò)點(diǎn)??作????⊥??1??于??，連接????，則????⊥??1??，故∠??????∵????⊥平面??1????∴????⊥由??為??1??中點(diǎn)，得????1=????=2，則????=又在△ABC中，得????= 在△AOE中，∠??????=900，????=√3，????=√2，得cos∠??????= 即二面角?????????的余弦值為 調(diào)研8 如圖，在直三棱柱?????????1??1??1中，∠??????=90°，????=????=????1，??是????的中點(diǎn)，??是????1的求異面直線(xiàn)????與??1??求證：????⊥求二面角??????????

）3

）（12設(shè)????=????=????1=2??，則??1??1=√2??，??1??=2√2??，12??1??1=2??1??1=√2??，??1??=

+

=2a28a222a222a2（2）由（1）可知，??1??1⊥

3，所以異面直線(xiàn)????與??1??3又因?yàn)槿庵????????1??1??1是直三棱柱，所以??1??1⊥平面??????1??1，得??1??1⊥????；又由△E1CC1與△GEC相似，得??1??1⊥??1??，又由??1??1∩????1=??1，所以????⊥平面??1??1??????⊥（3）設(shè)??是????的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)??作????⊥????于??，連接????，????，則????⊥又由平面??????平面??????1??1，得????平面??????1??1，則PQE（或其補(bǔ)角是二面角????????5由????=??，????=??，????=??，得tanPQEPE 5 所以二面角????????的正切值是考點(diǎn) 題組 ，調(diào)研 ，

ABBC1AD1E是線(xiàn)段2上異于點(diǎn)C，D的動(dòng)點(diǎn)，EFAD于點(diǎn)F，將△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PFAF，則五棱錐PABCEF的體積的取值范圍為 1【答案】(0,)3PFPFEF,PFAF, AFEFx,FA2x,

ABCEF

PF平面ABCEFDFx0x1，則 11211x213x2,則五棱錐P 的體積Vx113x2x13xx3，則V'x11x2，當(dāng)0x1時(shí)，V'x0,Vx 調(diào)遞增，故V0VxV1，即Vx的取值范圍是(0,13調(diào)研 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是????、????的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)．現(xiàn)在沿????、????及把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使??、??、??三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為??下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ①AG△EFH所在平面 ②AH△EFH所在平面③HF△AEF所在平面 ④HG△AEF所在平面⊥⊥則△AHG中有兩個(gè)直角，錯(cuò)誤，故填①③④．調(diào)研 如圖，已知矩形????????中，????=10，????=6，將矩形沿對(duì)角線(xiàn)????把△ABD折起，使??移動(dòng)到??1，且??1在平面??????上的射影??恰好在????（1）求證：????⊥（2）求證：平面??1????⊥平面（3）求三棱錐??1???????（2）（3）48．（1）因?yàn)??1在平面??????上的射影??恰好在????上，所以??1??⊥平面??????，又?????平面??????，所以????⊥??1??，又????⊥????，所以????⊥平面??1????，又??1???平面??1????，所以????⊥（2）因?yàn)????????是矩形，所以??1??⊥由（1）知??1??⊥????，??1??∩????=??，所以??1??⊥平面??1????，又??1???平面??1????，所以平面??1????⊥平面??1????．（3）因?yàn)??1??⊥平面??1????，所以??1??⊥ 因?yàn)????=6，????=10，所以????=8

=×(×6×8)×

?????1???? 調(diào)研4 如圖，在矩形????????中，????=2，????=4，??，??分別為????，????的中點(diǎn)，現(xiàn)將Δ??????沿????折起，得四棱錐???????????．（2）若平面??????⊥平面????????，求四面體????????（2）2√2．3因?yàn)??為????的中點(diǎn)，所以????//????，且????=

12在折疊前，四邊形????????為矩形，??為????的中點(diǎn)，所以????//????，且????=

12∴????//????，且????=????，所以四邊形????????為平行四邊形，故????//????，又?????平面??????，?????平面??????，所以????//平面??????．（2）在折疊前，四邊形????????為矩形，????=2，????=4，??為????所以△ADE,△CBE都是等腰直角三角形，且????=????=????=????=2，所以∠??????=∠??????=45°，且????=????=2√2．又∠????????????+∠??????=180°∴∠??????=又平面??????⊥平面????????，平面??????∩平面????????=????，?????平面????????，所以????⊥平面??????，即????為三棱錐?????????的高． 因?yàn)??為????Δ??????=2×2×????·????=4×2×2=所以四面體????????的體

??=3×??Δ??????·????=3×1×2√2=折疊與展開(kāi)，這兩種方式的轉(zhuǎn)變是空間幾何與平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化的，求解翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是把握題組二調(diào)研5 且????⊥????，點(diǎn)??為側(cè)棱????的中點(diǎn)．（1）求證：????⊥平面（2）求三棱錐????????（3）在∠??????的角平分線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)??DF平面???????若存在，求????的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明 1 ）【答案（）見(jiàn)解析 1 ）（1）在平行四邊形????????中，有????=????=????，又??為側(cè)棱????的中點(diǎn)，所以????⊥????，又????⊥????，????⊥????，且????????=??，所以????⊥平面??????，又?????平面??????，所以????⊥????，因?yàn)????∩????=??，所以????⊥平面（2）因?yàn)???????????=???????????，????⊥平面??????，所以????是三棱錐????????故 =1 ×????=1?????????3 （3）取????中點(diǎn)??，連接????并延長(zhǎng)至點(diǎn)??，使????=????，連接因?yàn)????=????，所以射線(xiàn)????是角∠??????的角平分線(xiàn)，因?yàn)?????平面??????，?????平面??????，所以????//平面又????⊥????，所以????⊥????，????=????=1，則????=√2．調(diào)研6 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BQQC(0)．

AB1AD2EFADAA1Q當(dāng)1BEFA1DQ是否存在BDFQ？若存在，請(qǐng)求出（2）（1）當(dāng)1QBCEADEDBQED∥BQ，BEDQBE∥QD．BEA1DQDQA1DQBE∥A1DQ．EFADA1AEF∥A1D，因?yàn)?EFE,EF平面BEF,BE平面BEF，所以平面BEF∥平面A1DQ（2）AQBDFQ若BDFQ,又A1A,FQ平面A1AQ，且A1A FQF，所以BD平面A1AQ．因?yàn)锳Q平面A1AQ，所以AQBD．ABCDAQBD，得△AQB∽△DBAAB2ADBQAB1AD2BQ1QC3BQ1，即1 A．若m∥，則mCm∥，∥

Bm，，則D．若m∥，，則m【答案】m為一條直線(xiàn)，A，若m∥，由直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)及平面與平面平行的性質(zhì)可知m，所以正確B，若m，則m∥mB錯(cuò)誤;C，若m∥∥，則m∥mC錯(cuò)誤;D，若m∥，mm∥mD錯(cuò)誤.綜上可知，正確的為A.故選2（A．BCD．【答案】A，平行，可得相交或平行；B，平行于同一條直線(xiàn)，可得相交或平行；C，α∥β；D，垂直與同一個(gè)平面，可得相交或或平行．3（A．異 D．平【答案】【解析】設(shè) l,m∥,m∥，過(guò)m作平面與,都相交，記 a, b，則有m∥a,m∥b,a∥b，a,b,a∥,a 故選 lm∥m∥m作平面與 E，F(xiàn)AB,ADOABCD的中心，則A．直線(xiàn)EF，AO是異面直 C．直線(xiàn)EF與BC所成的角為 D．直線(xiàn)EF，BB所成角的余弦值為 【答案】EFAO共線(xiàn)，AEFBC1，△BCOBC

2，OC 21(1)21(1)212(1)222

62

OB2BC2OC2

1

.C2OB 同理得OBB是EF，BB所成的角，在△OBB中求得cosOBB 6.D錯(cuò) A、BC、D.5（為四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.現(xiàn)有一個(gè)“鱉臑”P(pán)AABCABBC，且PAABBCPBACA． 【答案】PAABCABBCPAABBCPABC補(bǔ)形為PB∥CD，所以DCAPBACADC三角形，所以DCAπ3 ABBC2ABC90AC與平面C1AB30°BA1AC14323【答案】

2313M，則CMABC1∴CAM30，CM1AC 22可求得CC

1 CC4 B

AC與平面C1ABABC1就可得到CAMAC與平面C1AB所成角，即CAM30，在△C1BC中求出CC12，進(jìn)而利用VBACCVCABC 7（AB2CD4E是該圓臺(tái)底面圓弧CDAEABCD 53

25【答案】ABCD的中點(diǎn)分別為OO，連接OO,AO,AE，E是CD的中點(diǎn)，所以O(shè)ECD，因?yàn)镺O平面CDE，所以O(shè)OOE所以O(shè)EABCD，故OAEAEABCD所成的角，因?yàn)镺O2OA1，

5，又OE2AO2所以AEAO2所以sinOAEOE2

E，可證OEABCD，在Rt△AOE中計(jì)算sinOAE即可8（積為1，點(diǎn) 段BC上點(diǎn)M異于點(diǎn)B，C，點(diǎn) 段CC上，且CN1，若平面AMN截 A．2 B．1,2

C．0,1 D．0,2 3 3 【答案】所以CNCM1，3BM23所以，當(dāng)0BM2BM2 02BM的取值范圍為， 31BMBM的取值范圍. 3平面ABC，△ABC為等邊三角形，且邊 ，球O的表面積為16π，則直線(xiàn)PC與平面PAB所成37

52

【答案】D，EAB，BC∵△ABC是等邊三角形，∴CD⊥AB，PA∩AB＝A，3∵△ABC3

∴CD＝AE＝3，AF2AE＝1F為△ABC O16πOOA2OA2AF3∴OA2AF33 3∴PD

51，PCPA2PA2PA，PD，CD，得出結(jié)論．10（

22AC BEABFC．EF∥平面 D．異面直線(xiàn)AE,BF所成的角為定【答案】A.ACBD，ACDD1BDD1B1ACBE，正確；

DD1DACBDD1B1BEV

1

AB11EFBBAB

2EABFE

EF∥BDEFABCDBDABCDEF∥ABCDAEBF所成的角是AEO

cosAEOOE

1 322角，AD ，AO2

，OD

261222 6，cosADO 212221

2AEBF所成的角的余弦值不相等，所以所成角不是定值，故不正確11（在圓周上A，BPAOMPBMOPACPAMOBOCPACPACPBC其中正確題的序號(hào) MOBPBAMOBPA的中位線(xiàn)，故MOPAC故①正確PA平面MOB，故②錯(cuò)誤對(duì)③，因?yàn)锽CAC，故OC不會(huì)垂直于AC，故OC不垂直于平面PAC.故③錯(cuò)誤對(duì)④，因?yàn)锽CAC，PA面ABC，故PABC.又PA ACA.BC平面PACBCPBCPACPBC.故④正確12（省廣州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三第三次階段考試數(shù)學(xué)試題）已知直線(xiàn)l與正方體 222故答案為 213（（1）（2）FA1D的中點(diǎn)，BDABCDEFABCDEF∥ABCDAA1ABCD，BDABCD，（1）（2）14（2019-2020年高三上學(xué)期第一次摸底考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱柱AC∥DMN3（2） 3ACDMNMNDMNAC∥DMN（2）∵EDMAB6AA14BAD603∴點(diǎn)E到平面ABC的距離d1AA2， 166sin120 3 1 d193263B E （2）15（2的正三角形，AE1，AEABCBCDABC，BDCDBD若AE2，求證：AC平面BDEBDE的距離是7，求該幾何體的體積23（2） 3（1）BCBEBAMNK連接DMDNNKMKNK1AE12 MBCDMBC，DM∴ 所以四邊形DNKM是平行四邊形．所以KM DN，又因?yàn)?AC（三角形中位線(xiàn)定理所以 AC平面BDEACDN平面BDE

所以AC平面BDE得證（2）ABAMED，所以該幾何體的體積V錐B

錐C

1

MBMA所 EAMDMED直線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足是T，連接MT則BTED，于是BT 72因?yàn)镸B1，MD1所以BT 3232從而TDM60，所以AE2，從而SEAMD323 3.求解時(shí)（1BC、BE、BA的中點(diǎn)為M，N，KDNKM有 DN，又因?yàn)?AC，即

（2）AMED，幾何體的體積V錐

錐C

13

MBMASEAMD，即可求得體積16（ABCDAB∥DCBAD90AB4AD2DC3E在CDDE2△ADEAEADEABCE(2)GAE中點(diǎn)DABCEBDP，使得CP∥ADEBD理由（2） 2（3）存在，PB:BD3:43（1）因?yàn)镚AEADDE2DGAE因?yàn)槠矫鍭DE平面ABCE，平面ADE平面ABCEAE，DG平面ADE，DGABCE.BCABCE，DGBC.2在直角三角形ADE中，易求AE22，則DGADDE 222所以四棱錐DABCE的體積為 1D

142

3P，使得CP//ADEBD過(guò)點(diǎn)C作CF∥AEABFAFFB13.FFP∥ADDBPPCDPPB13又因?yàn)镃F∥AEAEADECFADE所以CF∥ADEFP∥ADE又因?yàn)?PFF所以平面CFP∥ADE因?yàn)镃P平面CFP，所以CP∥ADEDPPB13

（1）（（3

17（SABSBCSCABCD（2）2（1）∵SAABCDBCABCD又∵ABBC， ABABC⊥平面SABBCSBCSABSBC（2）AC2SAABCDSCASCABCD222SCASA22

則tanSCA

SA 222 22基礎(chǔ)題.（1）SABCABBCBC⊥SAB，進(jìn)而可證明平SABSBC;（2）ACSAABCD，可得SCASCABCD所成1．（2019年高考Ⅱ卷理數(shù)）設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與β平 B．α內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與β平C．α，β平行于同一條直 D．α，β垂直于同一平【答案】【解析】由面面平行的判定定理知：平行是∥的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若∥，則平行，所以?xún)?nèi)兩條相交直線(xiàn)都與平行是∥的B．犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑臆斷，如：“若aba∥b，則∥”此類(lèi)的錯(cuò)誤．2．（2019年高考Ⅲ卷理數(shù)）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平ABCD，MED的中點(diǎn)，則A．BM=ENBM，EN是相交直線(xiàn)B．BM≠ENBM，EN是相交直線(xiàn)C．BM=ENBM，EN是異面直線(xiàn)D．BM≠ENBM，EN【答案】EOCD于O，連接ON，BDBM，ENEBD的中線(xiàn)，是MMFODFBF平面CDEABCD，EOCDEO平面CDE，EOABCD，MFABCD

EO

3,ON1,EN2MF

3,BF5,BM

7，BMEN3．（2018新課標(biāo)Ⅱ理科）在長(zhǎng)方體A