of geometry中譯論幾何學(xué)之基礎(chǔ)假說

(UeberdieHypothesen,welchederGeometriezuGrunde張海潮、肇從(Euclid)到幾何學(xué)最著名的家雷建德(Legendre，無論對于「多元延伸量」(multiplyextendedties)(包括空間量)的概念仍我們所處的空間也不過是三元延伸量的一種特例。然而在此必然會發(fā)覺，幾何學(xué)中的定理并不能由「量」的一般概念中導(dǎo)出，源自經(jīng)驗(yàn)和能找出一組最簡單的數(shù)據(jù)關(guān)系來決定空間的度量關(guān)系。這個(gè)問題的本質(zhì)尚有爭議且可能有好幾套簡單的數(shù)據(jù)關(guān)系均符合要求。單就眼前的問題看，最重要的一套是得做為幾何學(xué)原本的公設(shè)。一如所有數(shù)據(jù)關(guān)系1 n在嘗試解決第一個(gè)問題—n元延伸量概念的建立之前，我懇求大家多這方面所受的訓(xùn)練甚少。過去所學(xué)，除了樞密顧問談雙二次剩余的第二篇中的少許提示，他的五十冊及哥廷根學(xué)術(shù)中的點(diǎn)滴及赫(Herbart)的一些哲學(xué)研究外，也少能派上用場。殊事例(instnce。這些事例形成了所謂的流形：任兩事例若可以連續(xù)地漸次轉(zhuǎn)移成為彼此，是連續(xù)流形，否則為離散流形。個(gè)別事例在(pit(eleet。構(gòu)成離散流形的例子很多，至少在較高等的語言中一定可以找得到只要能夠理解一堆東西擺在一起的觀念就夠了（在離散量的研究中，數(shù)學(xué)家可以毫不遲疑地假設(shè)所有的「東西」都是同類的。反過來說，連續(xù)流形的例子在日常生活中很少，大概只有顏色以及實(shí)際物體的所有位置可以算是多元量的幾個(gè)簡單實(shí)例。這種概念的創(chuàng)造與發(fā)展最先并屢屢出現(xiàn)于高等數(shù)學(xué)。利用標(biāo)記或圈圍取出流形的某些部分，稱出一個(gè)量，充當(dāng)其他量的測量標(biāo)準(zhǔn)。否則，我們只能在一個(gè)量包含于另一個(gè)量時(shí)才能作比較，只能談「較多」(more(less，而不知「大小」hwu。以這種的方式進(jìn)行，形成了對形上的區(qū)域。這項(xiàng)研究對數(shù)學(xué)許多部門而言是必要的（例如多變量解析函數(shù)的處理，而這種研究的缺乏，正是(be)的著名定理及(Lagrange、發(fā)府(Pha?)和亞各比(Jac)等人的貢獻(xiàn)之所以未能在微分方程一般理論中有所發(fā)揮的主要原因。從「延n延伸量」這種概念的建立，而第二點(diǎn)則提到如何將流形中定位置的在一個(gè)概念下的事例如果構(gòu)成連續(xù)流形，則從其中的一個(gè)事例以確定的方式移動(dòng)到另一個(gè)事例時(shí)，中間所經(jīng)過的所有事例會構(gòu)成一個(gè)一元延伸的流形。它的特色是，從其中任一點(diǎn)出發(fā)，則只有兩個(gè)方向確定的方式移向另一個(gè)完全不同的一元流形，以致于舊流形上每一點(diǎn)都確定的新流形上的對應(yīng)點(diǎn)，則仿前述，這樣的例子便構(gòu)成了一個(gè)二元延伸流形。以此類推，我們可以想象一個(gè)二元延伸流形確定地移向一個(gè)完全不同的二元流形而得到一個(gè)三元延伸流形，不難看出如何繼續(xù)這個(gè)建構(gòu)。如果我們把這個(gè)過程中的參與者看成是n(ariabii)而得到n+1反之，我現(xiàn)在要說明怎樣將一個(gè)具已知邊界的變動(dòng)度分解為一個(gè)一維變動(dòng)度及一個(gè)較低維的變動(dòng)度?？紤]流形上沿一個(gè)一維向度的分解，個(gè)給定的流形上定出續(xù)的位置函數(shù)，使在流形上的任一區(qū)，便分解而連續(xù)地從一個(gè)變?yōu)榱硪粋€(gè)；我們因而可以假定它們?nèi)慷际峭粋€(gè)子流形的變換，而這種變換會使得第一個(gè)子流形上的每一點(diǎn)規(guī)律地對應(yīng)到第二個(gè)子流形上的每一點(diǎn)。也有些例外的原流形若是nn?1重復(fù)nnn個(gè)數(shù)字；任 n元量的度量關(guān)系(假設(shè)線的長度來量度在建立了n元流形的觀念，并將其中位置決定問題轉(zhuǎn)化成為數(shù)值決定式表示，而它們之間的關(guān)連只能藉表達(dá)。然而在某些假設(shè)之下，我們的結(jié)果以幾何表示。因此，雖然無法完全避免抽象化的研究，但其結(jié)果可用幾何方式表出。這兩個(gè)部分的基礎(chǔ)見于樞密顧問談曲面的著測量，需要先讓量獨(dú)立于位置而存在；有很多方法可以辦到這一點(diǎn)。這正是我在此所要假說，亦即線的長度與其形狀無關(guān)，每條線都能以另一條線測距。位置化簡為數(shù)量，則n元流形中的點(diǎn)的位置可用x1x2x3直到xnn個(gè)變量表示；如此，則只要X(X=x1x2···xn)t的函數(shù)，便能定出直線。所以我們的是，為線的長度定出一個(gè)數(shù)學(xué)式；為此，所有的X要有共定我所討論的線，其dxi(xi的微變化量)間的比值呈連續(xù)變化。如此，我們可以把線分割成許多小段的「線元素」(lineelement)，使得「線元素」上dx(即dx1dx2dx3···dxn間)的比為定值，我們的問題則是，如何為每一點(diǎn)找出一個(gè)ds的一般式，其中ds必須以x和dsdx形成的n?1維流形；亦即找到一個(gè)位置的連續(xù)函數(shù)，使得上述各等距n?1維流形代入之值都不同。則向各個(gè)方向遠(yuǎn)離起點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的值必須越來越大，或越來越小。我要假設(shè)在其往各方向遠(yuǎn)離起點(diǎn)時(shí)，系數(shù)如為有限，則一次項(xiàng)系數(shù)須為零，而二次項(xiàng)系數(shù)為非負(fù)；在此假ds固定時(shí)，這個(gè)二次微分式亦固定；當(dāng)ds以同一比例放大時(shí)(dx亦然)，它以平方的關(guān)系放大。因此，它等于ds2乘以一個(gè)常數(shù)，而ds也因而等于一個(gè)以x的連續(xù)函數(shù)為系數(shù)的dx的正二次齊次式的。在物理空間中，如用直角標(biāo)，則ds (dx)2;物理空間是我們這個(gè)「最簡單的例子」中特例。下一個(gè)次簡單的例子應(yīng)該算是以四次微分式的四次來表常費(fèi)事，且對物理空間的研究幫助不多，特別是因?yàn)槠浣Y(jié)果無法以nnn個(gè)函數(shù)，則可將原來的式子轉(zhuǎn)換成一個(gè)類似的式子。然而我們并不能n+2個(gè)系數(shù)是獨(dú)立變量的任意函數(shù)n個(gè)條件，因nn(n1)/2個(gè)系數(shù)，完全取決n(n1)/2系。因此，像平面和物理空間這樣子，線元素可寫 (dx)2的形，構(gòu)成了一種特殊情形，是我們正要探討的。他們需要一個(gè)名稱；因此把這種線元素平方能以全微分平方和之式子表示的流形叫（t）賴于表現(xiàn)方式的那些特性。為了達(dá)到這一點(diǎn)，我們要依據(jù)一定的原理基于以上的目的，我們要建立一個(gè)自一原點(diǎn)出發(fā)的測地線或最短曲線系統(tǒng)。如此，任意點(diǎn)可經(jīng)由兩個(gè)條件而確定其位置：連接該點(diǎn)與原點(diǎn)的最短曲線長度，以及此線在原點(diǎn)的初始方向。也就是說，找出dx0(起始點(diǎn)上沿最短曲線的dx)dαd0，使得在di，以及諸dα1,2,x3,···,xn使其與dis2x∑i于dx2n(n?1)/2ii(x1dx2?x2dx1)(x1dx3?x3dx1)···,形成了一個(gè)四次的微(000···x1x2x3···dx1dx2dx3···)xdx這兩條線屬同一面元們的流行是「平」的，它會等于0;此時(shí)線元素的平方可以化為∑dx2i標(biāo)。將它乘以?3/4,則便成了樞密顧問所稱的面曲率。先前提過，(n?)/2個(gè)位置函數(shù)才能確定上述n元流形的度量關(guān)系。因此，每點(diǎn)若給定n(n?1)/2個(gè)面方向的曲率，便可以定出流形的式的表線元素的這種流形，其度量關(guān)系因此以完全獨(dú)立于變量的選擇表示。我們也可以用同樣的方法處理一種線元素表現(xiàn)的稍微復(fù)雜的情形線元素表成微分的四次。在這種更一般的情形下，妨叫做最小部份的平面性。然而就目前而言，這些流形最主要的特性，也是我們之所以要加以研究的原因，是二維流形的度量關(guān)系可以用幾在曲面的了解上，內(nèi)在的度量關(guān)系，雖然只和曲面上路徑的長度相關(guān)，卻往往和曲面與其外部點(diǎn)之相對位置扯上關(guān)系。然而我們可以自外在關(guān)系中把曲面抽出，方法適用一種不改變面上曲線長度的彎曲；亦即曲面只能加以彎曲，而不能伸縮，因彎曲而產(chǎn)生的各種曲面要將平面彎曲便可形成錐和柱，而內(nèi)在度量關(guān)系不變，所有關(guān)于平面的定理—種面則根本上不同，因?yàn)橛汕蛎孀兂善矫鎰荼匾炜s。根據(jù)前面的研究，二元量的線元素若能表為微分平方式的，如曲面，則一點(diǎn)的內(nèi)在度量關(guān)系決定于（面象成曲面在這點(diǎn)的兩個(gè)曲率積；或者由另一角度看：這個(gè)量乘以一個(gè)由測地線形成的無限角形（隨著其直徑的縮小，會等于內(nèi)角和減去兩直角（用弳度量表示即內(nèi)角和減π設(shè)了兩個(gè)曲率積在曲面彎曲下不變的定理。第二個(gè)定義則假定一個(gè)無限角形，其內(nèi)角和減去兩直角會正比于面積。為了在n元流形sufacedi)上，替曲率下一個(gè)可以理理，如果將所有起自一點(diǎn)而處在面元上的向量延長成最短曲線，則可定出曲面；而這曲面在這定點(diǎn)上有一定的面曲率，此面曲率等于此點(diǎn)的n一個(gè)「平」的n元流形上，每一點(diǎn)，每一方向的曲率皆為0；然根據(jù)前面的研究，如果要決定其度量關(guān)系，必須知道每一點(diǎn)上有個(gè)獨(dú)立曲值的流形的一種特例。曲率為定數(shù)的流形，其共同特征如下：其上的由曲率決定；因此在任一點(diǎn)的每個(gè)方向上的值與在另一點(diǎn)每個(gè)方向141+4

常曲率的曲面可用來做幾何的例證。我們不難看出，常曲率為正的曲面，必可滾貼到半徑為該曲率倒數(shù)的球上。為了了解這種曲面的常曲率比球大的這類曲面，會從球的內(nèi)部與赤道相切，類似輪胎面的外側(cè)；它們也可以滾貼上半徑較小的球帶，但可能不止一層。曲率較大半徑的球面，再把切割線貼合起來。曲率為0的曲面，是一個(gè)在赤道與球相切的圓柱；若曲率為負(fù)，則類似輪胎面的內(nèi)側(cè)，在赤道與球外切。如果把這些曲面看成面塊(piecesofsurface)在其中移動(dòng)的所有可能位置，正如空間是物體的位置一般，則小面塊可在曲面上自由移動(dòng)而不必伸縮。曲率為正的曲面可以讓面塊自由移動(dòng)而不必彎曲，如球面，但曲率為負(fù)就。除了這種小面塊對位置的立性之外，在曲率為0的曲面中，有一種其他曲面沒有的特性，即方向 研究了n元量的度量關(guān)系的決定方式之后，我們可以給出決定物理空間的度量關(guān)系的充要條件；但是，先假設(shè)線長是獨(dú)立于其形狀，且線元素可表成微分平方式的—因此極微小的狀態(tài)可視為因此，只要三角形三內(nèi)角和等于兩直角，物理空間的度量關(guān)系便確立但其次，如果我們跟一樣，假設(shè)不止線獨(dú)立于形狀，而體亦述討論中，我們先將延展性(extension)或區(qū)域性（regionality）得以由此確定，而所有相關(guān)的定理可由此推得。接下來要討論的是，別就大了：前述第一種情形的可能狀態(tài)是離散的，其得自經(jīng)驗(yàn)的理解能及的大范圍和小范圍時(shí)，會特別重要，后者會在觀察能力之外越來物理空間的建構(gòu)推廣到超乎量度之大時(shí)，注意「」與「無限」之別，一個(gè)是延展關(guān)系的，一個(gè)是度量關(guān)系的?？臻g是一個(gè)的三元擴(kuò)充感官認(rèn)知時(shí)要用到它，探索物體的可能位置時(shí)也要用到它；從這些用途中不斷肯定這個(gè)假設(shè)?？臻e的性質(zhì)，其確切性比任何果假設(shè)物體獨(dú)立于位置，因而給定一個(gè)固定的正曲率（不管多小都可以，則物理空間必屬有限。如果在一個(gè)曲面方向把初始向量沿長成最短曲線，可以得到一個(gè)正常曲率的曲面，因而該曲面若在超測度之大的問題，對處理自然界現(xiàn)象是沒有用的。但超測度之小的問題則不同。我們對于微觀現(xiàn)象的因果關(guān)系的知識，有賴于我們處理無限小問題的精確度。近幾個(gè)世紀(jì)，人類對于自然界運(yùn)作方式的理解幾乎全來自建構(gòu)的精確性，這種精確性來自無限量分析的發(fā)明，以及現(xiàn)代物理所借助的阿基米得、、珈璃略等人的原理。對的，在尚無法運(yùn)用這種原理的自然科學(xué)中，它的因果關(guān)系仍有賴于微量的分析，但只能做到顯微鏡的放大極限為止。因此，物理空間我們?nèi)艏僭O(shè)物體獨(dú)立于位置而存在，則曲率必處處為常數(shù)，而由天文觀測中可知，這個(gè)常數(shù)不能非0；至少，其倒數(shù)必大到使望遠(yuǎn)鏡的觀測范圍變得微不足道。但如果物體不獨(dú)立于位置而存在，則無限小的度量關(guān)系便不能由無限大的來下結(jié)論；每一點(diǎn)的曲率都可以在三個(gè)方向自由變動(dòng)，只要滿足空間中每一個(gè)可測量的部分的總曲率顯然是。若線元素?zé)o法如先前所述，表為微分式平方和的，關(guān)系會變得更復(fù)雜。物理空間度量關(guān)系的基本認(rèn)知來自剛體和光束的概念，而它們似在無限小的世界中并不適用；因此可以相當(dāng)肯定的認(rèn)為，物理空間中的度量關(guān)系，在無限小的時(shí)侯并不合乎幾何學(xué)的假說。事實(shí)上，只要這點(diǎn)能夠更方便我們解釋現(xiàn)象，就應(yīng)立即接受這幾何學(xué)的假說在無限小時(shí)是否適用的問題，牽涉到空間度量關(guān)系的基礎(chǔ)。關(guān)于此問題（仍屬物理空間的研究，上述的腳注是適用的；在離散流形中，度量關(guān)系的原理已經(jīng)包