空間幾何體的直觀圖三視圖及其應(yīng)用

第十單元立體幾何§10.1

空間幾何體的直觀圖、三視圖及其應(yīng)用1學(xué)

基礎(chǔ)知識(shí)2講

考點(diǎn)考向3悟

方法技巧課程要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.認(rèn)識(shí)柱、錐，臺(tái)體，球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合體）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀圖.3.會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.4.會(huì)畫(huà)某些建筑物的三視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）幾何體的基本概念通過(guò)幾何體的基本概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以三視圖為背景研究幾何體的特征通過(guò)三視圖還原幾何體，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)課程要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成平面圖形的直觀圖結(jié)合斜二測(cè)畫(huà)法還原幾何體，求其體積、面積等通過(guò)畫(huà)幾何體的直觀圖，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)續(xù)表學(xué)

基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)清單

1.簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)特征棱柱側(cè)棱都_____________，上

下底面是____________的多邊形棱錐底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)_____________的三角形棱臺(tái)由_____________的平面截棱錐得到，其

上下底面是相似多邊形互相平行全等平行于底面公共頂點(diǎn)名稱(chēng)特征圓柱有矩形繞________________旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐有直角三角形繞__________________________旋轉(zhuǎn)一周得到圓臺(tái)由直角梯形繞___________________旋轉(zhuǎn)一周或等腰梯形繞_______________________旋轉(zhuǎn)半周得到，也可由_______底面的平面截圓錐得到球由半圓面繞____________旋轉(zhuǎn)一周或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)半周得到

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征一邊所在直線一條直角邊所在直線直角腰所在直線上下底邊中心所在直線平行于直徑

3.簡(jiǎn)單幾何體的三視圖

簡(jiǎn)單幾何體的三視圖是用平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三視圖包括________________、______________、____________.正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖4.簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖

簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，基本步驟如下：

畫(huà)幾何圖形的底面畫(huà)幾何體的高

不變?cè)瓉?lái)的一半不變拓展知識(shí)

（1）球的三視圖都是半徑相等的圓.（2）水平放置的圓錐的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖均為全等的等腰三角形.（3）水平放置的圓臺(tái)的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖均為全等的等腰梯形.

（4）水平放置的圓柱的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖均為全等的矩形.

3.正方體的截面情況：三角形，四邊形（有菱形、矩形、梯形等），五邊形，六邊形.特別提醒（1）三視圖的長(zhǎng)度特征：“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”，即正（主）視圖和側(cè)（左）視圖一樣高，正（主）視圖和俯視圖-樣長(zhǎng)，側(cè)（左）視圖和俯視圖一樣寬，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫(huà)法.（2）臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，但一定要強(qiáng)調(diào)截面與底面平行.（3）注意空間幾何體的不同放置對(duì)三視圖的影響.（4）幾何體的展開(kāi)、折疊問(wèn)題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系.夯實(shí)基礎(chǔ)【概念辨析】1.

關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，判斷下面結(jié)論是否正確.（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）（1）棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等.(

)√（2）棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等.(

)×（3）三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形.(

)√（4）有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等.(

)√【對(duì)接教材】2.

[人教A版必修2P15T2改編]下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是(

).A.

①②

B.

①③

C.

①④

D.

②④D

3.

[人教A版必修2P8A組T1改編]下列說(shuō)法中正確的是(

).A.

棱柱的側(cè)面可以是三角形B.

正方體和長(zhǎng)方體都是特殊的四棱柱C.

所有幾何體的表面都能展開(kāi)成平面圖形D.

棱柱的各條棱都相等B

【易錯(cuò)自糾】

A

A.

2

B.

4

C.

6

D.

8C

【真題演練】6.

[2020年北京卷]某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為(

).

D

講

考點(diǎn)考向考點(diǎn)1

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【題組過(guò)關(guān)】1.

給出下列四個(gè)命題:①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；④若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱.其中所有錯(cuò)誤命題的序號(hào)是(

).

A.

②③④

B.

①②③

C.

①②④

D.

①②③④D

2.

給出下列結(jié)論：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；⑤用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是球.其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.⑤[解析]①中這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐，①錯(cuò)誤；②中這條腰若不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺(tái)，②錯(cuò)誤;圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，③錯(cuò)誤；④中如果用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，那么得到的不是圓錐和圓臺(tái)，④錯(cuò)誤；只有球滿足任意截面都是圓面，⑤正確.

A.

B.

C.

D.

C

點(diǎn)撥

解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的技巧（1）緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.（2）通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.考點(diǎn)2

空間幾何體的三視圖【考向變換】考向1

由幾何體的直觀圖識(shí)別三視圖例1

[2018年全國(guó)Ⅲ卷]中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái).構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(

).A.

B.

C.

D.

A

點(diǎn)撥

由幾何體的直觀圖求三視圖，注意正（主）視圖、側(cè)（左）視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線，不能看到的部分用虛線表示.

A.

B.

C.

D.

C

考向2

已知三視圖，判斷幾何體例2

某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(

).A.

1

B.

2

C.

3

D.

4C

點(diǎn)撥

由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀，要熟悉柱、錐、臺(tái)、球體的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖.其步驟如下：（1）定底面:根據(jù)俯視圖確定；（2）定棱及側(cè)面：根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面特征，調(diào)整實(shí)線、虛線對(duì)應(yīng)棱的位置；（3）定形狀：確定幾何體的形狀.【追蹤訓(xùn)練2】

一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余幾何體的三視圖如圖所示，則截去的幾何體是(

).A.

三棱錐

B.

三棱柱

C.

四棱錐

D.

四棱柱B[解析]由三視圖還原幾何體如圖所示，

考向3

已知幾何體的某些視圖，判斷其他視圖例3

[2021唐山五校聯(lián)考]如圖所示的是一個(gè)空間幾何體的正（主）視圖和俯視圖，則它的側(cè)（左）視圖為(

).A.

B.

C.

D.

A

點(diǎn)撥

由幾何體的部分視圖畫(huà)出剩余的視圖，先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)其直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分視圖是否符合.【追蹤訓(xùn)練3】

[2021江西贛州模擬]在一個(gè)幾何體的三視圖中，正（主）視圖和俯視圖如圖如示，則相應(yīng)的側(cè)（左）視圖可以為(

).A.

B.

C.

D.

D

考點(diǎn)3

空間幾何體的直觀圖【典例遷移】

D[解析]如圖①，②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖.

B

悟

方法技巧方法突破

幾何體表面上點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離

求幾何體表面上點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離。先將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題。再求平面圖形上兩點(diǎn)之間的最短距離。