2021年高考數(shù)學(xué)經(jīng)典例題六數(shù)列【含答案】

專題六數(shù)列

一、單選題

1.北宋時(shí)期的科學(xué)家沈括在他的著作《夢(mèng)溪筆談》一書中提出一個(gè)有趣的問題，大意是：酒店把酒壇層

層堆積，底層擺成長(zhǎng)方形，以后每上一層，長(zhǎng)和寬兩邊的壇子各少一個(gè)，堆成一個(gè)棱臺(tái)的形狀(如圖1),

那么總共堆放了多少個(gè)酒壇？沈括給出了一個(gè)計(jì)算酒壇數(shù)量的方法一一隙積術(shù)，設(shè)底層長(zhǎng)和寬兩邊分別擺

放6個(gè)壇子，一共堆了“層，則酒壇的總數(shù)

S=H+(a-l)(b-l)+(a-2)0-2)+…+(a-"+1)(6-〃+1)現(xiàn)在將長(zhǎng)方形垛改為三角形垛,即底

層擺成一個(gè)等邊三角形，向上逐層等邊三角形的每邊少1個(gè)酒壇(如圖2),若底層等邊三角形的邊上擺放

10個(gè)酒壇，頂層擺放1個(gè)酒壇，那么酒壇的總數(shù)為()

C

根據(jù)題目中己給模型類比和聯(lián)想，得出第一層、第二層、第三層、……、第十層的酒壇數(shù)，然后即可求

解.

【詳解】

每一層酒壇按照正三角形排列，從上往下數(shù)，最上面一層的酒壇數(shù)為1,

第二層的酒壇數(shù)為1+2,第三層的酒壇數(shù)為1+2+3,

第四層的酒壇數(shù)為1+2+3+4,…，由此規(guī)律，

最下面一層的酒壇數(shù)為1+2+3+…+10,

所以酒壇的總數(shù)為v7v7v7.

故選：C.

2.斐波那契數(shù)列是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在撰寫《算盤全書》。必er^acc?）一書中研究的一個(gè)著名數(shù)列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…，該數(shù)列是數(shù)學(xué)史中非常重要的一個(gè)數(shù)列.它與生活中許多現(xiàn)象息息

相關(guān)，如松果、鳳梨、樹葉的排列符合該數(shù)列的規(guī)律，與楊輝三角，黃金分割比等知識(shí)的關(guān)系也相當(dāng)密切.已

知該數(shù)列滿足如下規(guī)律，即從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，根據(jù)這個(gè)遞推關(guān)系，令該數(shù)列為

｛%｝,其前〃項(xiàng)和為%=出=1,%=2,若S2021='則。2023=（）

A.1B.『+1C.2tD.f+1

D

利用遞推關(guān)系%+2=4川+%,結(jié)合累加法求解.

【詳解】

由遞推關(guān)系得：%=出+4,

%=%+a2

%=%+%,

??+i=3+,

a“+2=a“+i+a“9

累加可得%=5“+生，

所以^2023=^,2021+生=,+1,

故選：D.

3.數(shù)列中，°1=2,若?！?[+。#+2^^W+io=2廳一25,則左=（）

A.2B.3C.4D.5

C

取帆=1,可得出數(shù)列｛""｝是等比數(shù)列，求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于

%的等式，由左eN*可求得左的值.

【詳解】

2

在等式4”+”=a”"”中，令m=1,可得/+i==26,，可

所以，數(shù)列k"｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則a，，=2x2"T=2",

%+%+???+-。=-丁。)=(2,0-1>25(2'°-1)

.?.27=25,貝兇+1=5,解得左=4.

故選：C.

&

4.記S,為等比數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和.若as-匈=12,a6-a4=24,則4=()

A.2"-1B.2-21-nC.2-2〃TD.2―〃-1

B

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和

前“項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列的公比為夕,

421G

%q-4q=12q2

=><

,口4“5_〃“3=24：1

由,a.5-a.3=12,a6.-a4A=24可r得:

a

n~。百〃'~2"'凡=

所以]—q1—2

2=3=2-2~

因此T'

故選：B.

5.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），

環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)

多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板

（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

C

第〃環(huán)天石心塊數(shù)為%,第一層共有〃環(huán)，則｛%｝是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，

設(shè)為｛%｝的前"項(xiàng)和，由題意可得邑“一邑”=邑”—5”+729,解方程即可得到〃，進(jìn)一步得到S3,,.

【詳解】

設(shè)第〃環(huán)天石心塊數(shù)為耳，第一層共有〃環(huán)，

則缶力是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，%=9+(〃—l)x9=9〃，

設(shè)s”為｛%｝的前〃項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分

別為S,“S2”-邑,邑“-$2“，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，

所以§3〃—S2n=S2n-Sn+729,

3〃(9+27〃)2〃(9+18〃)2〃(9+18〃)〃(9+9〃)___

----------------------=---------------------F729

即2222

即9/=729,解得■?,

二半包:3402

所以2.

故選：C

6.設(shè)｛4｝是等比數(shù)列，且q+出+。3=1,。2+生+。4=2,則4+%+%=()

A.12B.24C.30D.32

D

根據(jù)已知條件求得。的值,再由％+%+%=爐3+。2+。3)可求得結(jié)果

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為力貝盧+出+%，(**/)=1

a2+%+%聞+//+1/=aa(i+g+g2)=g=2

因此。6+%+6=*+ad+ad=ad(\+q+q2^=q5=32

故選：D.

7.記Sn為等差數(shù)列匕/的前〃項(xiàng)和.已知S4=0,as=5,則()

22

A.a。=2n-5Ban=3n-10cSn=2n-8nDSn=|n-2n

A

S4=4a1+1X4X3=0風(fēng)=-3

由題知，a5=a]+4d=5,解得(d=2,,-.an=2n-5,故選A.

a=

其它解法：本題還可用排除，對(duì)B,55,S4=---=-10N0,排除日對(duì)口

2

S4=0,a5=S5-S4=2X5-8X5-0=10W5,排除c.對(duì)D,

2

s4=0,a5=S5-S4=|X5-2X5-0=|W5,排除D,故選A.

色

8.已知等差數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和g,公差#0,d記仇=$，bn+\=S2n+2-Sn，”6N*,下列等式不

可能成立的是（）

A.2al二的+金B(yǎng).2仇=與+樂C.4=44D,"=b?瓦

D

根據(jù)題意可得，"+I=邑"+2_52"=4"+1+。2"+2,而仇=Sz=q+%,即可表示出題中4,&，4,a,再

結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷各等式是否成立.

【詳解】

對(duì)于A,因?yàn)閿?shù)列｛對(duì)｝為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由4+4=2+6可得，

2%=%+牝,A正確;

對(duì)于B,由題意可知，〃+|=520+2_52“=。2“+|+生“+2,4=52=%+%,

.歷二&+見乩=的+&=a,,仇

??ZJ4，4/o，OI11Z，O1310?

?2b4=2（%+。8），+d=%+%+4]]+%2

??，?

根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由3+11=7+7,4+12=8+8可得

a+4=%+。4+知+%2=2（%+。8）=2與，B正確；

a2

對(duì)于Ql-a2a8=（4+31）2_（q+1）（q+7d）=2d-2a｝d=2d（d-

當(dāng)％="時(shí)，"：=生。8,C正確；

2

對(duì)于Db：=（%+%）2=（21+13d）~=4。；+52ald+169c/

b2b8=（%+。4）（%5+《6）=（2%+5d）（2q+29d）=4+；+68qd+145/

b；-b2b8=24d2_16qd=Sd（3d-2a1）

當(dāng)d>0時(shí),%4d,...3d-2q=d+2（d-aJ>0即其_她>0；

當(dāng)"<°時(shí)，4之"，...3"-26=d+2（d-q）<0即公-她>0,所以公一她>°,]）不正確.

故選：D.

9.在等差數(shù)列血｝中，囚=-9,%=T.記[=《4???q,（〃=i，2,“.），則數(shù)列｛（，｝（）.

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

B

首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小

項(xiàng).

【詳解】

笄2

由題意可知，等差數(shù)列的公差5-1

則其通項(xiàng)公式為：4=q+(〃TW=-9+(〃-l)x2=2〃-11

注意到4<的<4<4<%<°<%=1<%

且由‘5＜?？芍?＜°。-6，zeN)

T

六一＞1(拒7,ieN)

由可知數(shù)列'"j不存在最小項(xiàng),

由于％=-9,“2=-7,%=-5,?4=-3,牝=-1,4=1

故數(shù)列憶｝中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：。=63,4=63x15=945.

故數(shù)列｛1｝中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為4.

故選：B.

10.等差數(shù)列｛""｝的首項(xiàng)為1,公差不為°,若外,。3,4成等比數(shù)列，則數(shù)列｛4｝的前6項(xiàng)的和$6為

()

A.-24B.-3C.3D.8

A

:設(shè)等差數(shù)列｛""｝的公差為d,("*°),%=1,且生，%,4成等比數(shù)列,

Y=出"6,

/.(a1+2d=(q+d)(q+51)

解得d=-2,

?[a)S6=6q+^d

前6項(xiàng)的和為2

=6x1+x2)=—24

故選：A

H.o-l周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用若序列4出…4…滿足4€｛0,1｝?=1,2「一)，且存在正整數(shù)

加，使得q+m=《（i=L2,…）成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足4+"，=《《=1，2，-）的最小正整數(shù)

]"I

C（A）=—Z%%（*=1,2,…，機(jī)-1）

'〃為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為加的0T序列“任…。”…，相日是描述其

。（4）4:伙=1,2,3,4）

性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足5的序列是（）

A.11010---B."Oil…c.10001…D.H001---

C

根據(jù)新定義，逐一檢驗(yàn)即可

【詳解】

由6+,”=《知，序列《的周期為必，由已知，機(jī)=5,

15

0（%）=￡工44+"，％=1，2,3,4

5/=1

對(duì)于選項(xiàng)A,

】1)=叵即——(。］生++。304+”4”5+〃5“6)=一(1+0+0+0+0)=-V—

5j=i5555

15112

〃2)=＞《4+2一(。］。3+。2。4+。3“5+a4a6+%07)=—(0+1+0+1+0)=—

"=15'-55,不滿足;

對(duì)于選項(xiàng)B,

］5113

c(i)=wZ%q+i

一(%%+。2。3+。304+。405+。5a6)=一(1+0+0+1+1)=—

〉/=15.................55,不滿足;

對(duì)于選項(xiàng)D,

15112

卬4+1=—(。］〃2+〃2〃3+。3〃4+〃4〃5+^6)=—+0+0+0+1)=—

J/=1555,不滿足;

故選：C

二、多選題

12.設(shè)數(shù)列｛""｝的前〃項(xiàng)和為S”,若，4“為常數(shù)，則稱數(shù)列｛""｝為"吉祥數(shù)列”.則下列數(shù)列｛"｝為

“吉祥數(shù)列”的有（）

A"="

B"=(T)"(〃+l)c.a=4〃-2D.2

A.n

BC

按照求和方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一求和驗(yàn)證即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1+/7

對(duì)于AS"=-2—,§2“="(1+2〃),邑”=2〃。+4〃)，

S2,_〃(1+2〃)_1+2〃

所以S4,,2“。+4〃)〃(1+4〃)不為常數(shù)，故A不正確；

旦=2」

對(duì)于B,由并項(xiàng)求和法知：$2"=〃，S4“=2〃，54?2n2(故B正確;

2+4〃-2

X〃=2/72

s.=%=8/S=32?2

對(duì)于C,2>4n

所以S，.4,故C正確；

對(duì)于D-=*=2(2fs「2(4T),42(161),

S2―4T1

所以S*,⑹―14"+1不為常數(shù)，故口錯(cuò)誤；

故選：BC.

13.(多選題)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為g,其前"項(xiàng)和為S"，前"項(xiàng)積為1,并滿足條件

.2019—1v0

6>1，4201洶2020>1,a2020-l，下列結(jié)論正確的是()

A.$019<巔2。B.4。19a2。21T<°

C.a020是數(shù)列g(shù)'｝中的最大值D.數(shù)列｛1｝無最大值

AB

_2"2019-1〈0

當(dāng)4<0時(shí)，Q2019a2020=a2019g<0,不成立；當(dāng)夕之］時(shí)，〃2019N1，〃2020>1,〃2020-1不成立；故

°〈夕<1,且，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)夕<0時(shí)，Q2019a2020=。2019》<0,不成立；

.20197<Q

當(dāng)［之］時(shí)，“201921，〃2020>1,a2020—不成立；

故0<<1,且%019〉L0<。2020<1,故,^2020>^2019,A正確；

〃2019〃2021-I=。2020-lV。，故§正確；

是數(shù)列｛Z，｝中的最大值，8錯(cuò)誤；

故選：AB

14.如圖，已知點(diǎn)E是平行四邊形48C。的邊的中點(diǎn)，F(xiàn)"（〃*"）為邊BC上的一列點(diǎn)，連接

e

陽交BD于G,,點(diǎn)G,（〃N*）滿足G?D=an+l-G?A-2（2an+3）G,,E,其中數(shù)列也.｝是首項(xiàng)為1的

正項(xiàng)數(shù)列，5是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）

AEB

”是等比數(shù)列

A.%=13B,數(shù)列

。a“=4”3D.S“=2"M-n—2

AB

a

n+\--X

由平面向量線性運(yùn)算和向量共線可得到卜2（26，+3）=2”,

由此可確定遞推關(guān)系式，得到

《川+3=2（%+3）,由此確定B正確：利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得怎+3,進(jìn)而得到％,可確定AC正

誤；利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得S>,知D錯(cuò)誤.

【詳解】

???E為中點(diǎn)，???2/=帝+存，即帝=一彳+2中，

??.D,G,,5三點(diǎn)共線,GIJD--+2九GqE,

又循=「彳—2（2%+3）章，"[-2（2an+3）=24,

化簡(jiǎn)得：%+I=2%+3,?,.a“+i+3=2（%+3）,

???｛"+3｝是以6+3=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，B正確；

.??為+3=42-=2"\'錯(cuò)誤；

則%=24-3=13,人正確；

:.S=（22+23+---+2n+l）—3〃=2—3〃=2n+2-4-3/?

V7I1-=2）,D錯(cuò)誤.

故選：AB.

三、填空題

15.我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列121就是二階等差數(shù)

f?（?+1）]

列，數(shù)列12J（〃eN*）的前3項(xiàng)和是.

10

根據(jù)通項(xiàng)公式可求出數(shù)列｛可｝的前三項(xiàng)，即可求出.

【詳解】

a」（〃+1）

因?yàn)?2,所以G=1，4=3,%=6.

即邑=6+。2+。3=1+3+6=10

故答案為1°

16.記S”為等差數(shù)列包，｝的前〃項(xiàng)和.若q=-2,%+4=2,則工。=.

25

因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，根據(jù)已知條件%+%=2,求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和，即可求得答案.

【詳解】

???｛4｝是等差數(shù)列，且q=-2,%+4=2

設(shè)包｝等差數(shù)列的公差”

根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：%=q+(〃一1”

可得q+d+%+5d=2

即-2+d+(-2)+5d=2

整理可得：6d=6

解得：d=l

c,n(n-l)...

Sn=na.--------d,〃eN

???根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式：2

10x(11)

5IO^10(-2)+°-^-20+45^25

可得：2

...510=25.

故答案為25

17.在①數(shù)列出｝滿足〃+1=24+1,&=3,②數(shù)列但｝的前〃項(xiàng)和Z,滿足乙=2向-〃-2,③數(shù)列

｛'+1｝是等比數(shù)列，4=7,4=63這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.

問題：已知數(shù)列｛""｝的首項(xiàng)為2,,%+「%=，，求數(shù)列｛丐｝的前"項(xiàng)和S’.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

S=2"|-匚±-2

選擇見解析；“2

若選①，先構(gòu)造等比數(shù)列求出數(shù)列｛aJ的通項(xiàng)公式，再用累加法求的通項(xiàng)公式，然后再求和；若選

②，根據(jù)【"一求出數(shù)列也J的通項(xiàng)公式，之后就同①；若選③，根據(jù)數(shù)列物"+1｝是等

比數(shù)列求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，之后就同①.

【詳解】

選①

由4+1=26〃+1,可得"+1+1=2色+1）,

所以數(shù)列｛"+1｝是以2為公比的等比數(shù)列，

所以4+1=221=2",即〃=2〃-1.

即4+1-4〃=2?，-1,

所以當(dāng)〃22時(shí)，%=（%一。〃-1）+（?！?1一?！ㄒ?）+…+（%-％）+%

=2n-'+2n-2+---+22+2-(n-l)+2=-^+3-n=2n-n+l

當(dāng)〃=1時(shí)，⑷=2滿足上式，所以%=2"-〃+1.

2(1-2〃)(〃_])〃/_〃

2

故,一^r—r-?.

選②

因?yàn)?>2J〃—2,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=4=1,

當(dāng)心2時(shí)，。乜一加=(2日一〃一2卜(2。-1)=27,

又〃=1滿足所以d=2"-1,

即4+1-an=2"-1,

所以當(dāng)"22時(shí)，。"=(%—""-I)+(°"-1—。"-2)■1h(a2~a\)+ai

2-2"

2,,-12,,-2+---+22+2-(M-1)+2=-----+3—〃=2"—〃+1

=+1-2

當(dāng)〃=1時(shí)，4=2滿足上式，所以

2

2(1-2")(n-l)nn-n

=-----------------=乙------------2

故1-222

選③

二8

4+1=8,4+1=64,則4+1,

所以等比數(shù)列的"+1｝的公比為2,.

所以a+1=8.2』2",則―，

即%…

所以當(dāng)"22時(shí)，4=(%一《I)+(4,-1一%-2)+…+(%-q)+a\

?—

,,,,22,,

=2-'+2-+---+2+2-(?-1)+2=Y^-+3-?=2-M+1

當(dāng)〃=］時(shí)，％=2滿足上式，所以%=2"_〃+1.

2(1-2")(w-l)rt,〃2_〃

D=-----------------------=Z+1------------Z

故1-222

18.設(shè)｛a.｝是公差為d的等差數(shù)列，｛①｝是公比為0的等比數(shù)列.已知數(shù)列匕〃+?。那啊?xiàng)和

S“="2_〃+2"-1(〃eN+),則則的值是.

4

結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的特點(diǎn)，分別求得｛""｝'｛4｝的公差和公比，由此求得"+4.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列包｝的公差為"，等比數(shù)列也｝的公比為q,根據(jù)題意“Ri.

｛4｝的前及項(xiàng)和公式為p“=叫+

等差數(shù)列

Q」（1_”4.?b\

等比數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和公式為"1-qi-q"q,

-n+2"-\=^n2+(a-^b.?b.

_n2]n-----—q+——

依題意S"=《‘+Q,即2\-q\-q

3

a\~-=-id=2

2

q=2q=0

4q=2

通過對(duì)比系數(shù)可知i-q.4=1,故d+q=4

故4

19.將數(shù)列數(shù)1｝與｛3/7-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列公〃｝,則｛%｝的前〃項(xiàng)和為.

3?2-2n

首先判斷出數(shù)列""I｝與｛3〃-2｝項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差,

利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閿?shù)列｛2〃一1｝是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列｛3〃一2｝是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，

所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列｛""｝是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，

1拉（〃一I）,c2C

,\------------6=3〃--2n

所以的前"項(xiàng)和為2,

故答案為3/-2〃

20.數(shù)列"｝滿足“"+2+（-1）"%=3〃一1,前16項(xiàng)和為540,則q=.

7

對(duì)〃為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用外表示，由

偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立《方程，求解即可得出結(jié)論.

【詳解】

a“+2+(T)"a“=3〃T

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，a，，+2=%+3〃_l；當(dāng)“為偶數(shù)時(shí)，4+2+4=3〃

設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s“，

S|6=%+。2+%+&4+…+。16

=%+〃3+。5?,,+%5+(°2+。4)++。16)

=q+(q+2)+(6f1+10)+(67)+24)+((21+44)+(4+70)

+(4+102)+?+140)+(5+17+29+41)

=8%+392+92=8%+484=540

6Z1--7

故答案為7

〃

Y—1

21.等差數(shù)列S"｝的前〃項(xiàng)和為S，，%=3,84=10,則*=iS*

2〃

〃+1

q+2d=3

4x3q=1

4q+—-^=10

解得I"=1

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為q,公差為d,由題意有2

n(n-\},n(n-l}n(n+l}

S,na.+——』d=nx\+——Lx1=——I

數(shù)列的前〃項(xiàng)和222

1_2=哈占)

裂項(xiàng)可得skk(k+1)

￡J=2[(1-；)+(<-：*??+(,^-)]=2(1---=

所以太=['k223+l〃+l/?+1

四、雙空題

22.已知"J為等差數(shù)列，0為其前〃項(xiàng)和，若％=6,邑=2%,則公差"=,S"的最大值

為.

-212

根據(jù)已知條件可求得”的值，求出S，的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得S”的最大值.

【詳解】

$3=3%+3d=2q,即18+31=12,解得d=-2,

2r（7丫49

S=na4-------=on-n[n-1）=-n+7〃=-n——+—

所以，nx2I2J4,

當(dāng)〃=3或4時(shí)，$“取得最大值12.

故-2；12.

五、解答題

23.已知有限數(shù)列｛%｝共有30項(xiàng)，其中前20項(xiàng)成公差為〃的等差數(shù)列，后11項(xiàng)成公比為夕的等比數(shù)列,

記數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S，.從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

（D-應(yīng)的值;

（2）數(shù)列｛6J中的最大項(xiàng).

條件①：%=4,$5=30,a2l=20；

條件②：S｝=0,%。=-36,%=-9.

條件③:S'="S’%=20,44=160.

答案見解析.

（1）分別選擇一個(gè)條件，利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前〃項(xiàng)和公式計(jì)算即可.

（2）根據(jù)（1）所得到的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)數(shù)列等差部分、等比部分的單調(diào)性簡(jiǎn)單判斷即可.

【詳解】

選擇條件①：%=4,凡=30,⑹=20

解：（1）因?yàn)椋?｝的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，02=4,55=30,

q+d=4,

<5x4

5a+------d=30,

所以12

q=2,

解得〔"=2.

所以“20=2+19x2=40

因?yàn)閿?shù)列S“｝后11項(xiàng)成公比為《的等比數(shù)列，

?,?21_1

q—1-T

所以.2.

d=2,q=—

綜上，2.

（2）S'的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，.

所以前20項(xiàng)為遞增數(shù)列.

即：前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為生。=40

數(shù)列｛4｝的后11項(xiàng)成等比數(shù)列，‘-a,

所以后11項(xiàng)是遞減數(shù)列.

即：后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為由。=皿

綜上，數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)為第20項(xiàng)，其值為40.

選擇條件②：‘3=°，勺。=-36,出2=-9

解：（1）因?yàn)椋鹮J的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，凡=0,/。=-36,

3%+3d=0,

所以〃+19d=-36,

q=2,

<

所以1"=-2.

因?yàn)閿?shù)列缶"｝后11項(xiàng)成公比為夕的等比數(shù)列，

?=-36,又因?yàn)椋?-9,

,1

q=±—

所以2.

d=-2,q=±—

綜上，2.

(2)｛凡｝的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，d<°.

所以前20項(xiàng)為遞減數(shù)列.

前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為q=2.

(1V"20

7=-《,=-36-I(20WWK30〃eN")

1.當(dāng)2時(shí)，

所以當(dāng)20。430時(shí)，氏<°.

此時(shí)，數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，其值為2；

q=—?-?！?一36(-1(20WWB30neN,)

ii.當(dāng)2時(shí)，〈2),

后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為句句8

此時(shí)，數(shù)列SC的最大項(xiàng)為第21項(xiàng)，其值為18

綜上，當(dāng)5時(shí)，數(shù)列｛4｝的最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，其值為2；

當(dāng)5時(shí)，數(shù)列｛""｝的最大項(xiàng)為第21項(xiàng)，其值為18.

選擇條件③：5=48此1=20,。24=160

解：(1)因?yàn)閿?shù)列｛%｝后11項(xiàng)成公比為4的等比數(shù)列，%=20,%=160,

所以叫

解得9=2.

?20=—=10

所以q

又因?yàn)镾"｝的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，工=4=48,

d=4。一。__2

所以20-1.

綜上，"=-2,4=2.

（2）｛4｝的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，d<°.

所以前20項(xiàng)為遞減數(shù)列.

前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為為=48

｛""｝的后11項(xiàng)成等比數(shù)列，而4=2,

a“=10?2"-20（20WW且30〃eN"）,

所以后11項(xiàng)為遞增數(shù)列.

后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為外。=1024°

綜上,數(shù)列-J的最大項(xiàng)為第30項(xiàng),其值為10240.

24.己知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為邑，且滿足4+2牝=蟾，§3=15.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

（2）令3=3",求"也｝的前〃項(xiàng)和看.

⑴?！?2〃+1；⑵7>小3川

（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前〃項(xiàng)和公式即可求解.

（2）利用錯(cuò)位相減法即可求解.

【詳解】

(1)

a=5,/a+2a5=a；

29x

(%—d)+2(g+3d)=a；

,4=3d=2

an=2〃+1

(2)令c“=%也=(2〃+l>3",

7；=3x31+5x32+7x33+…+(2〃+l)x3”①

3T=3x32+5x33+7x344---+(2n+l)x3fl+1今

①一②得：*=9+2*+33+…+3)(2〃+1)3-

32

=9+2x―~(2〃+l)3n+,=3"+'-(2n+1)3,,+|=—2〃-3,,+|

n+l

：.Tn=n-3

25.已知公比大于1的等比數(shù)列｛%>滿足g+4=20,%=8.

(1)求的通項(xiàng)公式；

(2)求?？?一。2a3+…

8(1產(chǎn)

-2"￡_(T)-

(1)a“一；(2)55

(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公比的方程組，求解方程組得到首項(xiàng)、公比的值即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)首先求得數(shù)列《T)%”向｝的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求解其前〃項(xiàng)和即可.

【詳解】

%+。4=%q+a/=20

<

⑴設(shè)等比數(shù)列""｝的公比為g(g>l),則〔用=。/=8,

整理可得：2g2-5g+2=0,

丁q〉l,q=2,q=2

數(shù)列的通項(xiàng)公式為為=2N,i=2"

⑵由于：(TV4%="x2"x2*"2^.

《々2-2/+???+(_I)"”a,

=23-25+27-29+...+(-1)"-'.22,1+I

26.已知數(shù)列｛""｝的前〃項(xiàng)和為S“,且滿足2%=S“+〃(“€N)

(1)求證：數(shù)列｛""±1｝是等比數(shù)列；

c=__________!__________3

⑵記log2(an+l)log,(a?+2+l)(求證：數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和北，

(1)證明見解析；(2)證明見解析.

%+1=2

⑴由2a“=S,,+〃得2%=Si+〃-1(〃22),作差得《,=2%+1,進(jìn)而得%+1，故數(shù)列

g+1｝是等比數(shù)列;

c=__________1__________1=1<1__

⑵由⑴得%=2"T,故lo§2(a?+O,lo§2(an+2+O〃(〃+2)21〃"+2),再根據(jù)裂

項(xiàng)求和證明即可.

【詳解】

解：(1)因?yàn)?a〃=5〃+〃①，

所以2a,,T=S，T+〃_l(〃22)②

由①一②得，%=2%_|+1.

兩邊同時(shí)加1得%+1=2%T+2=2(a“_]+1),

"〃+1_2

所以凡T+1,故數(shù)列｛""+1｝是公比為2的等比數(shù)列.

(2)令〃=1,24=5+1,則q=1

由%+1=(q+1>2"，得%=2"-1

[____=]in_o

噢2(%+1>噢2(。"+2+1)〃(〃+2=)2{nn+2)

因?yàn)?/p>

211324〃-1n+1nn+2

所以

1

-22/7+4

113

-------------1-------------<—

因?yàn)?〃+22/7+44

113

--------1-------------<—

所以+22/7+44

27.已知公比大于1的等比數(shù)列｛""｝的前6項(xiàng)和為126,且4%，3a3,2%成等差數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為；

(II)若數(shù)列也｝滿足b"=%+噫%(〃22旦〃eN),且4=1,證明：數(shù)列Rj的前“項(xiàng)和

北<2

(])%=2"(〃eN)；(n)證明見解析.

(1)利用基本量代換，列方程組求出《和公比9,得到通項(xiàng)公式;

(2)用累加法求出“，再用裂項(xiàng)相消法求和.

【詳解】

解：(I)設(shè)等比數(shù)列匕"｝的公比為q(q>D,前〃項(xiàng)和為s“

貝ij6%=4%+2%,整理得夕2—3q+2=0,

解得：4=1(舍)或4=2,

q(26-1)

Ss=4-----63a.=126

由2-1

解得《2

/.a“=2"GeN*)

(j[)“N2時(shí)，b“=b“_\+log,an

即包一如=〃，

bn-x-b?_2=n-\

b「b\=2

(〃+2)(〃-l)n2+n-2

bn-b.=----------------=------------

累加得：22

,n2+n

j_ih=-------

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)〃=1時(shí)，5=1符合上式，2fj

...1:2.11]

bn(n+1)\n/?+1J

n，

T/1111112"c

Tn=21-7+丁三+…+--------=---7<2

則I223++l

印證.

28.己知等差數(shù)列㈤｝中，%—4=1且％,%,劭成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列S"｝的通項(xiàng)公式；

b—__

⑵若數(shù)列應(yīng)｝的前〃項(xiàng)和S",數(shù)列也｝滿足“S”,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

2n

(1)an=fl.⑵T"=〃+1.

(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,根據(jù)%一%=1求得，再由外,“3,為成等比數(shù)列求得%,寫出通

項(xiàng)公式;

(2)根據(jù)(1)得到“S,〃(〃+1)【〃〃+”,利用裂項(xiàng)相消法求解.

【詳解】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛“"｝的公差為

因?yàn)榈炔顢?shù)列S"｝中，％一%=1,

所以公差為-4=1,

因?yàn)閝，a3,%成等比數(shù)列，

所以"得(“1+2")=%(4|+8(7)

即3+2)2=q(q+8),

解得勾=1,

所以通項(xiàng)公式為%=1+(〃T)=〃.

s=〃(q+%)=〃(〃+i)

(2)由(1)可得，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和“22,

b一1=2Ji__

則"S“n(n+l)U77+1J

11111、/112〃

//))T“=21--+T-T+---+----------=21-----=

所以數(shù)列的前"項(xiàng)和1223nn+\)1n+\)n+\

方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的前〃項(xiàng)和的方法

〃(%+%)J(〃T)/

Sn=------------=na,+----------d

(1)公式法：①等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，22②等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公

n%,q=1

s.=<q(iW)

—7-----,<7*1

式11一“；

(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.

(3)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).

(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.

(5)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則這個(gè)數(shù)

列的前〃項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法求解.

(6)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如為=(一1)"(力類

型，可采用兩項(xiàng)合并求解.

29.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，%為外,%的等差中項(xiàng).

(1)求的公比；

(2)若4=1,求數(shù)列｛"%｝的前”項(xiàng)和.

1—(1+3〃)(—2)"

3=--------------------

(1)-2；⑵"9

(1)由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比q的方程，求解即可得出結(jié)論；

(2)由(1)結(jié)合條件