演示文稿代數(shù)精插值求積及復(fù)化公式

演示文稿代數(shù)精度插值求積及復(fù)化公式第七章數(shù)值積分與微分7-1當(dāng)前第1頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)（優(yōu)選）代數(shù)精度插值求積及復(fù)化公式當(dāng)前第2頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)1.1構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想

定積分I=∫abf(x)dx在幾何上為x=a,x=b,y=0和y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。定積分計(jì)算之所以困難，是不規(guī)則圖形的面積。由積分中值定理，對(duì)連續(xù)函數(shù)f(x)，在區(qū)間[a,b]內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使：

也就是說(shuō),曲邊梯形的面積I恰好等于底為b-a,高為f()的規(guī)則圖形—矩形的面積(圖7-1),f()為曲邊梯形的平均高度,然而點(diǎn)的具體位置一般是不知道的,因此難以準(zhǔn)確地求出f()的值。但是,由此可以得到這樣的啟發(fā),只要能對(duì)平均高度f(wàn)()提供一種近似算法,便可以相應(yīng)地得到一種數(shù)值求積公式。圖7-1abξ

如用兩端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)與f(b)取算術(shù)平均值作為平均高度f(wàn)()的近似值,這樣可導(dǎo)出求積公式：當(dāng)前第3頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)第七章數(shù)值積分與微分7-4

更一般地在區(qū)間[a,b]上適當(dāng)選取某些點(diǎn)xk

(k=0,1,…,n),然后用f(xk)的加權(quán)平均值近似地表示f(),這樣得到一般的求積公式：其中,點(diǎn)xk

稱為求積節(jié)點(diǎn),系數(shù)Ak

稱為求積系數(shù)，Ak

僅僅與節(jié)點(diǎn)xk

的選取有關(guān),而不依賴于被積函數(shù)f(x)的具體形式。另一方面定積分的定義，

其中xk是[a,b]的每一個(gè)分割小區(qū)間的長(zhǎng)度,它與f(x)無(wú)關(guān),去掉極限,由此得到近似計(jì)算公式：當(dāng)前第4頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)因此，式（7-1）可作為一般的求積公式,其特點(diǎn)是將積分問(wèn)題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算,從而避開(kāi)了使用牛頓一萊布尼慈公式需要求原函數(shù)的困難,適合于函數(shù)給出時(shí)計(jì)算積分,也非常便于設(shè)計(jì)算法,便于上機(jī)計(jì)算。求積公式（7-1）的截?cái)嗾`差為：Rn也稱為積分余項(xiàng).1.2代數(shù)精度

定義1

如果某個(gè)求積公式對(duì)所有次數(shù)不大于m的多項(xiàng)式都精確成立，而至少對(duì)一個(gè)m+1次多項(xiàng)式不精確成，則稱該公式具有m次代數(shù)精度。

一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)精度越高，求積公式越好。為了便于應(yīng)用，由定義1容易得到下面定理。數(shù)值積分是一種近似計(jì)算,但其中有的公式能對(duì)較多的函數(shù)準(zhǔn)確成立,而有的只對(duì)較少的函數(shù)準(zhǔn)確成立。為了反映數(shù)值積分公式的準(zhǔn)確差別,引入代數(shù)精度的概念。當(dāng)前第5頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)試驗(yàn)證梯形公式具有一次代數(shù)精度。

例1可以證明矩形公式的代數(shù)精度也是一次的。定理1

一個(gè)求積公式具有m次代數(shù)精度的充分必要條件是該求積公式對(duì)1,x,x2,…,xm

精確成立，而對(duì)xm+1不精確成立。當(dāng)前第6頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)第七章數(shù)值積分與微分7-7上述過(guò)程表明,可以從代數(shù)精度的角度出發(fā)來(lái)構(gòu)造求積公式.如,對(duì)于求積公式（7-1）,若事先選定一組求積節(jié)點(diǎn)xk

(k=0,1,…,n,),

xk可以選為等距點(diǎn),也可以選為非等距點(diǎn),令公式對(duì)f(x)=1,x,…,xn

精確成立,即得：

這是關(guān)于A0、A1、…、An的線性方程組,系數(shù)行列式為范德蒙行列式,其值不等于零,故方程組存在唯一的一組解。求解方程組(7-2)確定求積系數(shù)Ak,這樣所得到的求積公式(7-1)至少具有n次代數(shù)精度.

當(dāng)前第7頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)例2

確定求積公式使其具有盡可能高的代數(shù)精度。

解：求積公式中含有三個(gè)待定參數(shù),可假定近似式（7-3）的代數(shù)精度為m=2,則當(dāng)f(x)=1，x，x2時(shí)，式（7-3）應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有：代回去可得：

檢查（7-4）對(duì)m=3是否成立,為此,令f(x)=x3

代入（7-4）,此時(shí)左邊當(dāng)前第8頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)第七章數(shù)值積分與微分7-9再檢查（7-4）對(duì)m=4是否成立,令f(x)=x4代入(7-4),此時(shí):因此近似式（7-4）的代數(shù)精度為m=3.

由待定系數(shù)法確定的求積公式?jīng)]有確切的誤差估計(jì)式，只能從其所具有的代數(shù)精度去判定求積公式的準(zhǔn)確程度。

上述方法稱為待定系數(shù)法，在具有盡可能高的代數(shù)精度的要求下，利用它可以得出各種求積公式。當(dāng)前第9頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)1.3插值型求積公式

設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)a

x0<x1<…<xn-1<xn

b，且已知f(x)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，則可求得f(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式：其中l(wèi)k(x)為n次插值基函數(shù)。取f(x)

Ln(x)，則有：記：則有：

這種求積系數(shù)由式（7-5）所確定的求積公式稱為插值型求積公式.

根據(jù)插值余項(xiàng)定理，插值型求積公式的求積余項(xiàng)為：其中[a,b]與x有關(guān).當(dāng)前第10頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)關(guān)于插值型求積公式的代數(shù)精度，有如下定理。

具有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值求積公式（7-1）是插值型求積公式的充分必要條件是該公式至少具有n次代數(shù)精度。定理2

定理2說(shuō)明,當(dāng)求積公式（7-1）選定求積節(jié)點(diǎn)xk后,確定求積系數(shù)Ak有兩條可供選擇的途徑：求解線性方程組（7-2）或者計(jì)算積分（7-5）,即利用n次代數(shù)精度或插值型積分來(lái)確定求積系數(shù).由此得到的求積公式都是插值型的,其代數(shù)精度均不小于n次.證：(充分性)設(shè)求積公式（7-1）至少具有n次代數(shù)精度,那么,由于插值基函數(shù)

li(x)(i=0,1,…,n)均是次數(shù)為n的多項(xiàng)式,故式（7-1）對(duì)li(x)精確成立,即:

當(dāng)前第11頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

(必要性)設(shè)求積公式（7-1）是插值型的，則對(duì)所有次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式f(x)，按（7-6）其求積余項(xiàng)Rn=0，即這時(shí)插值型求積公式是精確成立的。由定義1,n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度。（證畢）例3考察求積公式：具有幾次代數(shù)精度.

注：n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式不一定具有n次代數(shù)精度.其原因是此求積公式不一定是插值型的。例：當(dāng)前第12頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)§2牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式

本節(jié)介紹節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí)的插值型求積公式，即牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式。2.1牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式

設(shè)將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,步長(zhǎng)h=(b-a)/n,求積節(jié)點(diǎn)取為xk=a+kh(k=0,1,…,n),由此構(gòu)造插值型求積公式,則其求積系數(shù)為:記：當(dāng)前第13頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)稱之為n階牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式簡(jiǎn)記為N-C公式，稱為柯特斯系數(shù)。顯然，柯特斯系數(shù)與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間[a,b]無(wú)關(guān)，且為多項(xiàng)式積分，其值可以事先求出備用。表7-1中給了了部分柯特斯系數(shù)。柯特斯系數(shù)

表7-19895888-92810496-454010496

-92858889891/2835087513577132329892989132335777511/172807

412162727227216411/8406

1975505075191/2885

732123271/904

13311/83

1411/62

111/21nABk當(dāng)前第14頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

經(jīng)計(jì)算或查表得到柯特斯系數(shù)后，便可以寫出對(duì)應(yīng)的牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式。當(dāng)n=1時(shí),按公式（7-7）有：得求積公式：即梯形公式

當(dāng)n=2時(shí)當(dāng)前第15頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)第七章數(shù)值積分與微分7-16相應(yīng)的求積公式：稱為辛卜生(Simpson)公式.

當(dāng)n=4時(shí)，所得的公式稱作柯特斯公式，它有五個(gè)節(jié)點(diǎn)，其系數(shù)：當(dāng)前第16頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)所以柯特斯公式是：柯特斯系數(shù)的性質(zhì)1、與積分區(qū)間無(wú)關(guān):當(dāng)n確定后,其系數(shù)和都等于1,即

2、對(duì)稱性：此特性由表7-1很容易看出，對(duì)一般情況可以證明。(略)

3、柯特斯系數(shù)并不永遠(yuǎn)都是正的。表7-1看出當(dāng)n=8時(shí),出現(xiàn)了負(fù)系數(shù),在實(shí)際計(jì)算中將使舍入誤差增大,并且往往難以估計(jì),從而牛頓一柯特斯公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證,因此實(shí)際計(jì)算中不用高階的。

當(dāng)前第17頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)第七章數(shù)值積分與微分7-18當(dāng)前第18頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)第七章數(shù)值積分與微分7-192n階Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。

我們知道，由n次插值多項(xiàng)式導(dǎo)出的n次牛頓一柯特斯公式至少具有n次代數(shù)精度.由于節(jié)點(diǎn)等距，更進(jìn)一步有以下結(jié)論：定理3證：計(jì)算知由2n次插值多項(xiàng)式導(dǎo)出的求積公式的截?cái)嗾`差為0即可.當(dāng)前第19頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)例4

驗(yàn)證辛卜生(Simpson)公式:具有三次代數(shù)精度。（定理3直接得到）解：由定理2,3個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值積分公式辛卜生公式至少具有二次代數(shù)精度,因此只需檢查對(duì)f(x)=x3成立否。當(dāng)f(x)=x3時(shí)：

所以I=S，表明辛卜生公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)三次的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，用同樣的方法可以驗(yàn)證對(duì)于f(x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代數(shù)精度可以達(dá)到三次。

在幾種低階N-C公式中,感興趣的是梯形公式（最簡(jiǎn)單,最基本）辛卜生公式和柯特斯公式。當(dāng)前第20頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)例5解：由梯形公式（7-9）：

由辛卜生公式（7-10）得：由柯特斯公式（7-11）得：事實(shí)上，積分的精確值：

與之相比可以看到，柯特斯公式的結(jié)果最好，具有七位有效數(shù)字；辛卜生公式的結(jié)果次之，具有四位有效數(shù)字；而梯形公式的結(jié)果最差,只有兩位有效數(shù)字。

分別用梯型公式、辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算積分：當(dāng)前第21頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)2.2幾種低價(jià)N-C求積公式的余項(xiàng)

考察梯形公式,按N-c的截?cái)嗾`差知,梯形公式（7-9）的余項(xiàng)：

這里被積函數(shù)中的因子t(t－1)在區(qū)間[0,1]上不變號(hào)（非正），故由積分中值定理，在[0,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使：2.對(duì)于辛卜生公式,當(dāng)前第22頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

需要注意的是，關(guān)于牛頓-科特斯公式的收斂性，可以證明，并非對(duì)一切連續(xù)函數(shù)f(x),都有：

,也就是說(shuō)牛頓—柯特斯公式的收斂性沒(méi)有保證。當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)，它的穩(wěn)定性也沒(méi)有保證，因此，在實(shí)際計(jì)算中，一般不采用高階(n8)的牛頓-柯特斯公式。3.柯特斯公式（6-10）的余項(xiàng)為：

當(dāng)前第23頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

在實(shí)際計(jì)算中常用前面三種低價(jià)N-C公式，但若積分區(qū)間比較大，直接使用以上三種低階求積公式，則精度難以保證；若增加節(jié)點(diǎn)，就要使用高階的N-C公式，然而前面已指出，當(dāng)n8時(shí)，由于N-C公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此不能采用高階的公式。事實(shí)上，增加節(jié)點(diǎn)，從插值的角度出發(fā)，必然會(huì)提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高階N-C公式。為提高精度，當(dāng)增加求積節(jié)點(diǎn)時(shí)，考慮對(duì)被積函數(shù)用分段低次多項(xiàng)式近似，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式?！?復(fù)化求積公式當(dāng)前第24頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)3.1復(fù)化梯形公式

用分段線性插值函數(shù)來(lái)近似被積函數(shù),等于把積分區(qū)間分成若干小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上以梯形面積近似曲邊梯形面積,即用梯形公式求小區(qū)間上積分的近似值.這樣求得的近似值顯然比整區(qū)間上用梯形公式計(jì)算精度高。式（7-15）稱為復(fù)化梯形公式。當(dāng)前第25頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

因?yàn)閒(x)在[a,b]連續(xù)，由介值定理，存在(a,b)，使得：從而有：這就是復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差.

當(dāng)前第26頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)3.2復(fù)化Simpson公式和復(fù)化Cotes公式

如果用分段二次插值函數(shù)近似被積函數(shù)，即在小區(qū)間上用Simpson公式計(jì)算積分近似值，就導(dǎo)出復(fù)化Simpson公式。當(dāng)前第27頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

如果f(x)C(4)[a,b],由式（7-13）可得復(fù)化Simpson公式的截?cái)嗾`差為：整理得：式（7-17）稱為復(fù)化Simpson公式。

因?yàn)閒(4)(x)連續(xù)，故存在(a,b)，使得：當(dāng)前第28頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)若用復(fù)化求積公式計(jì)算積分:的近似值，要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，n應(yīng)取多大？

例[解]因?yàn)楫?dāng)0≤x≤1時(shí)有0.3<e-1≤e-x≤1于是：

要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字,即要求誤差不超過(guò)10-4/2.又因?yàn)?由復(fù)化梯形公式誤差估計(jì)式：

式（7-18）表明,步長(zhǎng)h越小,截?cái)嗾`差越小.與復(fù)化梯形公式的分析相類似,可以證明,當(dāng)n

時(shí),用復(fù)化Simpson公式所求得的近似值收斂于積分值,而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性.當(dāng)前第29頁(yè)\共有37頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

例子的計(jì)算結(jié)果表明，為達(dá)到相同的精度，用復(fù)化Simpson公式所需的計(jì)算量比復(fù)化梯形公式少，這也說(shuō)明了復(fù)化Simpson公式的精度較高，實(shí)際計(jì)算時(shí)多采用復(fù)化Simpson公式。

復(fù)化求積方法又稱為定步長(zhǎng)方法。復(fù)化求積公式,根據(jù)預(yù)先給定的精度能估計(jì)出合適的步長(zhǎng)或n,進(jìn)而確定對(duì)積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù),如同例7一樣.然而當(dāng)被積函數(shù)稍復(fù)雜一些，要由誤差估計(jì)式給出合適的步長(zhǎng)，就要估計(jì)被積函數(shù)導(dǎo)數(shù)的上界值，而這一點(diǎn)是相當(dāng)困難的