第七節(jié)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)演示文稿

第七節(jié)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)演示文稿當(dāng)前第1頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)（優(yōu)選）第七節(jié)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)當(dāng)前第2頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)二階線性微分方程的概念方程(1)稱為二階非齊次線性微分方程.本節(jié)所討論的二階線性微分方程的解的一些性質(zhì),還可以推廣到階線性微分方程當(dāng)前第3頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)二階線性微分方程解的定理定理1如果函數(shù)與是方程(1)的兩個(gè)解,則也是方程(1)的解,其中是任意常數(shù).當(dāng)前第4頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)定義1設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)數(shù).如果存在兩個(gè)不全為零的常數(shù)使得在區(qū)間內(nèi)恒有則稱這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān).否則稱線性無(wú)關(guān).的兩個(gè)函當(dāng)前第5頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)二階線性微分方程解的定理定理2若與是方程(1)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,則就是方程(1)的通解,其中是任意常數(shù).當(dāng)前第6頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)二階線性微分方程解的定理定理3設(shè)是方程(1)的一個(gè)特解,而是其對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的通解,則就是二階非齊次線性微分方程(1)的通解.當(dāng)前第7頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)二階線性微分方程解的定理定理4設(shè)與分別是方程與的特解,則是方程的特解.當(dāng)前第8頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)二階線性微分方程解的定理定理5設(shè)是方程的解,其中為實(shí)值函數(shù),為純虛數(shù).則與分別是方程與的解.當(dāng)前第9頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)例1已知是某二階非齊次線性微分方程的三個(gè)特解：求此方程的通解;寫出此微分方程;求此微分方程滿足的特解.當(dāng)前第10頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)齊次線性微分方程的解法設(shè)是方程(1)的一個(gè)已知非零特解,作變量替換當(dāng)前第11頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)解線性微分方程的降階法把它們代入(1)式,得再作變量替換得當(dāng)前第12頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)解線性微分方程的降階法分離變量得兩邊積分得為任意常數(shù)).對(duì)積分,得為任意常數(shù)).代回原變量,就得到方程(1)的通解當(dāng)前第13頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)解線性微分方程的降階法為任意常數(shù)).代回原變量,就得到方程(1)的通解這個(gè)公式稱為二階線性微分方程的劉維爾公式.當(dāng)前第14頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)例2已知是方程個(gè)解,試求方程的通解.的一當(dāng)前第15頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)常數(shù)變易法設(shè)有二階非齊次線性方程如果其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程(1)的特解為其中是兩個(gè)特定函數(shù),對(duì)求導(dǎo)數(shù),得當(dāng)前第16頁(yè)\共有18頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)常數(shù)變易法我們補(bǔ)充如下條件:得方程組當(dāng)前