等參元單元法演示文稿

等參元單元法演示文稿當(dāng)前第1頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)優(yōu)選等參元單元法當(dāng)前第2頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)二維線性單元坐標(biāo)變換公式為直線24的方程形心坐標(biāo)當(dāng)前第3頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)子單元的4條邊都是二次曲線，局部坐標(biāo)系（ξ，η）是曲線坐標(biāo)當(dāng)前第4頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)空間坐標(biāo)變換經(jīng)過空間坐標(biāo)變換后，原來的直線將變成空間曲線，原來的平面將變成空間曲面。母單元正六面體，將變?yōu)榫哂星?、曲面的六面體子單元。當(dāng)前第5頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)例相鄰單元公共邊連續(xù)性驗(yàn)證當(dāng)前第6頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)選擇坐標(biāo)變換式：式中ξi、ηi是結(jié)點(diǎn)i的局部坐標(biāo)

當(dāng)前第7頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)通過這一變換，兩單元的點(diǎn)具有一一對應(yīng)的關(guān)系。對于變換后的基本單元，取位移模式：單元的位移模式和坐標(biāo)變換式采用等同的形函數(shù)（階次相等），同時用以規(guī)定單元形狀的結(jié)點(diǎn)數(shù)等于用以規(guī)定單元位移的結(jié)點(diǎn)數(shù)，這種單元稱為等參數(shù)單元。

當(dāng)前第8頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)2、單元的特性分析

采用類似四結(jié)點(diǎn)矩形單元的特性分析，可以建立單元應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣、剛度矩陣、結(jié)點(diǎn)力向等的計算公式。但要將對整體坐標(biāo)x，y的導(dǎo)數(shù)計算和積分計算轉(zhuǎn)換為對局部坐標(biāo)ξ，η的微分和積分計算。單元應(yīng)變：當(dāng)前第9頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)由于Ni是ξ，η的函數(shù)，ξ，η是x，y的函數(shù)，根據(jù)復(fù)合求導(dǎo)規(guī)則，有：矩陣表示：當(dāng)前第10頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)式中[J]稱為雅可比矩陣：由上式可得：當(dāng)前第11頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)應(yīng)力矩陣：單元剛度矩陣是一個8×8的矩陣，仍為由于[B]是用局部坐標(biāo)系ξ、η給出，因此有：

當(dāng)前第12頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)3、等效結(jié)點(diǎn)力計算（1）體積力：設(shè)單元的體積力為(pvx，pvy),則

（2）表面力：設(shè)單元的某邊（如ξ=±1）上作用有表面力（psx，psy），則當(dāng)前第13頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)5.2八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元四結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元仍然不夠理想。原因是：（1）實(shí)際單元為直線邊界，不能準(zhǔn)確擬合物體的曲線邊界；（2）位移模式的階次還不夠高，影響計算精度。為此，下面介紹一種精度較高、應(yīng)用廣泛的八結(jié)點(diǎn)四邊形形等參數(shù)單元。其實(shí)際單元和基本單元如下圖所示。當(dāng)前第14頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)1、基本單元的位移模式采用形函數(shù)表示：當(dāng)前第15頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)2、坐標(biāo)變換式仿照位移模式，將坐標(biāo)變換式取為該坐標(biāo)變換式將ξη平面上的正方形映射為xy平面上的曲邊四邊形。xy平面上每一條邊都是一條二次曲線，它由對應(yīng)邊上3個結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定。因此，單元是協(xié)調(diào)的，同時也可證明，單元的位移函數(shù)反映剛體位移和常應(yīng)變，具有完備性。滿足收斂性要求。

當(dāng)前第16頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)3、單元分析單元特性分析與結(jié)點(diǎn)力計算過程與上節(jié)四結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元完全相同，具體公式形式也一致。區(qū)別僅在于兩種單元有關(guān)矩陣的維數(shù)不同。見下表：四結(jié)點(diǎn)單元八結(jié)點(diǎn)單元{δ}8×1列陣16×1列陣[B]3×8矩陣，4個分塊3×16矩陣，8個分塊[k]8×8矩陣16×16矩陣面力分到2個結(jié)點(diǎn)分到3個結(jié)點(diǎn)當(dāng)前第17頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)單元應(yīng)變式中：當(dāng)前第18頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)由于Ni是ξ，η的函數(shù)，ξ，η是x，y的函數(shù)，根據(jù)復(fù)合求導(dǎo)規(guī)則，有：矩陣表示：當(dāng)前第19頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)式中[J]稱為雅可比矩陣：由上式可得：當(dāng)前第20頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)應(yīng)力矩陣：單元剛度矩陣是一個16×16的矩陣，仍為由于[B]是用局部坐標(biāo)系ξ、η給出，因此有：

當(dāng)前第21頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)3、等效結(jié)點(diǎn)力計算（1）體積力：設(shè)單元的體積力為(pvx，pvy),則

（2）表面力：設(shè)單元的某邊（如ξ=±1）上作用有表面力（psx，psy），則當(dāng)前第22頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)受內(nèi)壓厚壁圓筒算例作為八結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元法的應(yīng)用，現(xiàn)考察受內(nèi)壓情況下厚壁圓筒的有限元解。該問題屬平面應(yīng)變問題，幾何尺寸如圖所示。由于對稱性，只需將1/4區(qū)域離散成9個八結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元。材料的彈性模量E=1000，泊松比u=0.3，厚度取1.0，厚壁筒受內(nèi)壓為10。圓筒內(nèi)半徑為5，外半徑為20。N-M-C。當(dāng)前第23頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)網(wǎng)格劃分當(dāng)前第24頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)

受內(nèi)壓厚壁圓筒的徑向、環(huán)向應(yīng)力分布當(dāng)前第25頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)5.3二十結(jié)點(diǎn)六面體等參數(shù)單元由于精度高，容易適應(yīng)不同邊界，在平面問題中常選用八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元。與此類似，在三維問題中常選用二十結(jié)點(diǎn)六面體等參數(shù)單元。如下圖。當(dāng)前第26頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)Solid95inANSYS四面體角錐體棱柱體當(dāng)前第27頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)1、位移模式采用與平面8結(jié)點(diǎn)四邊形等參元類似的位移模式與坐標(biāo)變換式：其形函數(shù)為：當(dāng)前第28頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)2、單元中應(yīng)變子塊矩陣當(dāng)前第29頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，有

[J]為雅可比矩陣，其表達(dá)式為：當(dāng)前第30頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)3、單元中應(yīng)力4、單元剛度矩陣(60X60)5、等效結(jié)點(diǎn)荷載（1）體積力單位體積力當(dāng)前第31頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)（2）面力某面面力當(dāng)前第32頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)5.4高斯（Gauss）積分

在計算單元剛度矩陣和結(jié)點(diǎn)載荷向量式時，由于被積函數(shù)比復(fù)雜，一般很難直接積分求出，通常采用數(shù)值積分?；舅悸肥牵涸趩卧线x擇某些特征點(diǎn)（積分點(diǎn)），求出被積函數(shù)在這些積分點(diǎn)上的數(shù)值，然后用一些權(quán)函數(shù)乘這些函數(shù)值，最后求和就可得到近似積分值。有限元分析中，最常用的高斯數(shù)值積分法。下面作簡單介紹。當(dāng)前第33頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)一維高斯積分公式n高斯點(diǎn)±ξi權(quán)函數(shù)Hi20.57735031.000000030.77459670.00000000.55555560.888888940.86113630.33998100.34785480.652145250.90617980.538469300.23692690.47862870.5688889當(dāng)前第34頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)二維高斯積分公式式中積分點(diǎn)和權(quán)函數(shù)仍按上表采用。等參元數(shù)值積分中一般取2-3就可取得足夠精度當(dāng)前第35頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)當(dāng)前第36頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)當(dāng)前第37頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)2.5.11數(shù)值積分在求解剛度矩陣和結(jié)點(diǎn)荷載時，需計算如的積分。但一般是很復(fù)雜的，通常難以用顯式表示其積分，一般都用數(shù)值積分方法計算積分值，即在單元內(nèi)選出某些點(diǎn)，稱為積分點(diǎn)，求出被積函數(shù)在這些點(diǎn)的值，然后根據(jù)這些數(shù)值求出積分值。數(shù)值積分有兩類方法，一類方法積分點(diǎn)是等間距的，如辛普生方法；另一類方法積分點(diǎn)是不等間距的，如高斯方法。當(dāng)前第38頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)一維高斯積分公式±ξiHi0.5773502692n＝21.00000000000.77459666920.0000000000n＝30.55555555560.88888888890.86113631160.3399810436n＝40.34785484510.6521451549和是根據(jù)計算精度最高而選定的，積分點(diǎn)應(yīng)是勒讓德多項(xiàng)式的根。加權(quán)系數(shù)按下式計算。當(dāng)前第39頁\共有41頁\編于星期三\9點(diǎn)二維及三維高斯積分公式先令保持常數(shù)，計算沿方向的積分再沿方向積分